高中数学人教A版 (2019)必修 第二册复数的概念课后复习题

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 复数的基本概念
题型2：复数相等的充要条件
题型3：虚数单位及其性质
题型4：求复数的实部与虚部
题型5：复数的分类
题型6：复数中的比较大小
题型7：已知复数的类型求参数
题型8：根据复数相等求参数
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：实数系
（1）实数系的分类
(2)实数的性质
①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍是实数；
②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律；
③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系.
知识点2：复数的概念
（1）复数的引入
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,设想引入一个新数,使得是方程的解,即使得,并且可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立.
所以实数系经过扩充后得到的新数集是.
（2）复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
（3）复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
知识点3：复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
二、重点题型分类研究
题型1: 复数的基本概念
典型例题
例题1．下列说法正确的是（ ）
A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．的平方根是
C．是纯虚数
D．若，则复数没有虚部
【答案】B
【详解】A： 表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误；
B： 由，可知的平方根是，故B正确；
C： 当是实数，故C错误；D： 若，则复数虚部为0，故D错误；故选：B
例题2．有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为；
⑥是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．
【答案】①②③
【详解】若两个复数相等，则它们的实部、虚部均相等，故①正确；
若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；
满足形如的数均为复数，故③正确；
纯虚数的平方小于0，如，故④错误；
的平方根不止一个，因为，故⑤错误；是虚数，故⑥错误．
综上可得，①②③正确．
同类题型演练
1．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③ 是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤-1的平方根只有一个，即为；
⑥i是方程的一个根；
⑦是一个无理数．
其中正确命题的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】对①②，两个复数相等的充要条件是实部和虚部都对应相等，故①②对；
对③，形如的数称为复数，故③对；对④，由，④错；
对⑤，-1的平方根为，故⑤错；对⑥，，故⑥对；
对⑦，是一个纯虚数、复数，不是无理数、实数，故⑦错；
综上，命题①②③⑥对，④⑤⑦错．故选：B
2．请写出一个能够说明“若复数，则”是假命题的复数：______．
【答案】i （答案不唯一，符合（，且）即可）．
【详解】若，（，且），则，但，故“若复数，则”是假命题.故答案为：i（答案不唯一）.
题型2：复数相等的充要条件
典型例题
例题1．若，是虚数单位，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，，即，，所以．
故选：D．
例题2．已知复数，且，则______．
【答案】或
【详解】由题知，复数，且，
因为，
所以，即，解得或，所以或.
故答案为：或
同类题型演练
1．若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，故，故复数的虚部为2，故选：D
2．若复数，为虚数单位，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】C
【详解】因为，所以.故选：C
题型3：虚数单位及其性质
典型例题
例题1．下列的取值中，使=1(是虚数单位）的是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为,故选C.
例题2．设复数=（ ）
A．B． C．1D．-1
【答案】D
【详解】.故选：D
例题3．若复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，则z的虚部6，故选：D.
例题4．计算：______．
【答案】
【详解】因为，所以，，，，
又，所以是以为周期，且每个周期内的和为，
又，所以.故答案为：.
同类题型演练
1．复数（ ）
A．1+2iB．1-2iC．-1D．3
【答案】C
【详解】故选：C.
2．若复数，则z的虚部是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】因为，所以，，所以复数z的虚部是.故选：A.
3．是虚数单位，则（ ）
A．1B．iC．1-iD．0
【答案】D
【详解】试题分析：根据题意，,故可知答案为0，选D.
4．虚数单位：它的平方等于_______.
【答案】
【详解】根据虚数单位的定义，可得.故答案为：
题型4：求复数的实部与虚部
典型例题
例题1．的实部等于3，虚部等于( )
【答案】错误
【详解】的虚部是4.故答案为;错误.
例题2．复数（其中为虚数单位）的虚部为____．
【答案】
【详解】由复数的概念可知复数的虚部为.故答案为: .
例题3．已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数 和 的值分别是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，复数 的实部和虚部分别为 和 4，
因此，解得，所以实数 和 的值分别是.故选：D
同类题型演练
1．若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【详解】由复数的实部与虚部之和为0，得，即．故选：A
2．已知x，，若（i为虚数单位），则x的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【详解】，∴，∴，∴．故选：D
3．复数的虚部为___________.
【答案】4
【详解】由复数的概念可得复数的虚部为.故答案为：
题型5：复数的分类
典型例题
例题1．“复数为纯虚数”是“”的（ ）
A．必要非充分条件B．充分非必要条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【详解】由纯虚数的概念可知，若复数为纯虚数，则且，故“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：B
例题2．在，，，，，0，，中，是实数的有__________；是虚数的有__________；是纯虚数的有__________.
【答案】 ，0， 2i，i，i，i，i，i 2i， i， i，i
【详解】解：在，2i，i，i，i，0，i，i中，
是实数的有，0；
是虚数的有2i，i，i，i，i，i
是纯虚数的有2i， i， i，i
故答案为：，0；2i，i，i，i，i，i；2i， i， i，i
例题3．在复平面内，复数 (其中)．
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
【答案】（1）或4；（2）.
【详解】（1）因为复数为实数，所以，所以或4．
（2）因为复数为纯虚数，所以，所以.
例题4．求实数的值，使得复数分别是：
(1)实数；
(2)纯虚数．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）由题知，复数为实数当且仅当，即或，
所以当或时，复数为实数.
（2）复数为纯虚数当且仅当，即，
唯一满足此条件的的值是，所以当时，复数为纯虚数.
同类题型演练
1．若是纯虚数，则实数的值等于（ ）
A．0或2B．2或C．D．2
【答案】C
【详解】因为是纯虚数，所以，解得；故选：C.
2．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2B．－2C．D．4
【答案】A
【详解】解：由是纯虚数，得，解得．故选：A.
3．实数m取什么数值时，复数分别是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【答案】(1)或(2)且(3)
(1)当，即或时，复数z是实数；
(2)当，即且时，复数z是虚数；
(3)当，即时，复数z是纯虚数．
4．已知复数.
(1)若复数是虚数，求实数的值；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值.
【答案】(1)；(2)1.
(1)因为是虚数，所以，解得，
(2)因为是纯虚数，所以，解得.
题型6：复数中的比较大小
典型例题
例题1．判断下列说法是否正确．
(1)大于；
(2)若复数，则，一定都是实数．
【答案】(1)×；(2)√.
(1)和无法比较，故说法错误；
(2)因为复数无法比较，所以当时，必然都为实数，故说法正确.
例题2．若复数，则实数的值为_________.
【答案】4
【详解】由题意，可得.故答案为：4
例题3．已知(是虚数单位)，则实数的值为________．
【答案】
【详解】依题意，所以，，
解得.故答案为：
例题4．若，且，求实数的取值范围．
【答案】
【详解】由题意知，可得，解得，
当时，可得，此时满足，所以实数x的取值范围.
同类题型演练
1．已知z1，z2为复数．若命题p：z1-z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】设，，若，则，，若，则，，满足，若，则不能比较大小；若，则，，故，综上：p是q成立的必要不充分条件.故选：B
2．如果则实数m的值为________．
【答案】2
【详解】由题意得，解得．故答案为：2
3．若复数，则实数的值为________.
【答案】3
【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数，可得解得
所以实数的值为，故答案为：
题型7：已知复数的类型求参数
典型例题
例题1．若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】C
【详解】令，得，时，，所以.故选：C.
例题2．当实数为何值时，复数i是实数、纯虚数、虚数？
【答案】时，复数为实数；或时，复数为纯虚数；且时，复数为虚数.
【详解】解：当且时，复数为实数，解得，所以当时，复数为实数；
当且，且时，复数为纯虚数，由，得或，由，且得且，所以当或，复数为纯虚数；
当且时，复数为虚数，解得且，所以当且时，复数为虚数，综上，当时，复数为实数；或时，复数为纯虚数；且时，复数为虚数
例题3．当实数分别为何值时，
(1)复数是：实数？虚数？
(2)复数纯虚数？
【答案】(1)当或时复数为实数，当且时复数为虚数
(2)当时复数为纯虚数
(1)若复数为实数，则
∴ 或，
若复数为虚数，则
∴ 且，
(2)若复数纯虚数，则且，
由可得或，又时不存在，时，
所以.
同类题型演练
1．已知为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或0
【答案】A
【详解】因为是纯虚数，所以，解得.故选：A.
2．若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值为（ ）
A．1B．0C．1D．1或1
【答案】C
【详解】由已知得，解得,故选：C
3．实数a分别取什么值时，复数是
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数？
【答案】(1)(2)且(3)或
【详解】（1）由题意知，
∴当a=5时，复数z是实数.
（2）由题意知，且
∴当且时，复数z是虚数.
（3）由题意知，或
∴当或时，复数z是纯虚数.
4．若复数a为实数，复数为纯虚数，则_________，z的虚部为_________．
【答案】 3 6
【详解】因a为实数，而复数为纯虚数，则有，解得，
则，z的虚部为6．故答案为：3；6
题型8：根据复数相等求参数
典型例题
例题1．已知，其中为虚数单位，为实数，则= （ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【详解】，，，.故选：A.
例题2．已知，且，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【详解】由于，所以.故选：C
例题3．已知，，其中均为实数，且，求.
【答案】或
【详解】，，解得：或.
同类题型演练
1．若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝（ ）
A．0B．2
C．5D．1
【答案】D
【详解】由，得解得所以a2＋b2＝1．故选：D
2．已知，则______.
【答案】1
【详解】因为，，所以 解得.所以
故答案为：
3．若，则实数_________．
【答案】.
【详解】由已知得,解得,故答案为：.
三、高考（模拟）题体验
1．已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，而为实数，故，故选：B.
2．已知，若是纯虚数（是虚数单位），则（ ）
A．－1或1B．0C．－1D．0或1
【答案】C
【详解】是纯虚数，且，解得，故选：C
3．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】由题意得，所以，得，所以.故选：A
4．设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，故，解得，.故选：A.
5．若复数是纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为复数是纯虚数，则，解得.故选：A.
6．已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则（ ）
A．2或B．2C．D．0
【答案】C
【详解】因为复数是纯虚数，所以且，所以．故选：C.
7．已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】，复数和是实数，成立，当时，例如，推不出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.