四川省阆中中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设命题 ： ， ，则 ：（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由全称量词命题 否定为特称量词命题得到.
【详解】因命题 ： ， ，所以 ： ， .
故选：A.
2. 设全集 ，集合 ， ，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合 ，然后根据集合并集补集运算求解.
【详解】因为 ， ，所以
，因为 ，所以 .
故选：D.
3. 已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 Venn 图可知图中阴影部分表示的集合为 ，再根据集合间的运算求解.
【详解】因为全集 ，集合 ，则 或 ，且集合
，
所以图中阴影部分表示的集合为 .
故选：B.
4. 设集合 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式可得集合 ，再由子集的运算求出结果即可；
【详解】由题可知 ，
由 ，可得 ，
所以 ．
故选：A.
5. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城
遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼
兰”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
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【解析】
【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件
的定义即可判断
【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但
是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；
即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件
故选：A
6. 已知命题 ：集合 ，命题 ，则命题 与 的推
出关系是（ ）
A. B.
C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】通过集合间的子集关系，借助数轴分析可得命题 中 ，再由简易逻辑知识得到命题的等价
性.
【详解】当命题 为真时，由 ，得 ，
当命题 为真时， ，因此 .
故选：C
7. 设集合 ，集合 ，若 ，则实数 取值集合的真子集的个数为（ ）.
A. 2 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】分 和 两种情况由 可求出 的值，从而可求出实数 取值集合，进而可求出其真
子集的个数.
【详解】当 时， ，满足 ，
当 时， ，因为 ，所以 或 ，得 或 ，
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综上，实数 取值的集合为 ，
所以实数 取值集合的真子集的个数为 ，
故选：C
8. 若 ，则 的最大值为（ ）
A. 12 B. 13 C. 16 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由题，要使 取最大值，则 a 取 ，c 取 ，b 取 ，据此可得答案.
【详解】因 ，要使 最大，
则 a 取 ，c 取 ，b 取 ，则 .
故选：C.
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 下列各组对象可以组成集合的是（ ）
A. 数学必修第一册课本中所有的难题
B. 小于 8 的所有质数
C. 直角坐标平面内第一象限的一些点
D. 周长为 10 cm 的三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】根据集合的定义和集合元素的特征逐个分析判断.
【详解】对于 A，“难题”的标准不确定，因而不能构成集合，所以 A 错误，
对于 B，小于 8 的所有质数能构成集合，所以 B 正确，
对于 C，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的
一些点”不能构成集合，所以 C 错误，
对于 D，周长为 10 cm 的三角形具有确定性，能构成集合，所以 D 正确，
故选：BD
10. 设 U 为全集，下面命题中为真命题的是（ ）
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A. 若 ，则 ；
B. 若 ，则 ；
C. 若 ，则 ；
D. 若 ，则 .
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据交集、补集、并集的概念进行判断即可.
【详解】对于 A：
因为 ，对等式左右两边求补集得 ，所以 A 正确；
对于 B：
因为 ，对等式左右两边求补集得 ，所以 B 正确；
对于 C：
因为 ，所以集合 中没有相同的元素或 均为空集，所以 C 错误；
对于 D：
因为 ，所以集合 中没有元素，即 均为空集，所以 D 正确；
故选：ABD.
11. （多选）下列四个命题中正确的是（ ）
A. 方程 的解集为
B. 同时满足 的整数解的集合为
C. 由实数 所组成的集合最多含 2 个元素
D. 中含有 3 个元素
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A，解方程求解集即可；对于 B，解不等式组并结合整数解 概念即可；对于 C，化简，得在
， 中，当 时， ，当 时， ，当 时， ，三者中至少有
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两个相等，所以由集合中元素的互异性判断元素个数即可；对于 D，结合 6 的因数并对 讨论即可.
【详解】对于 A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为 解集为 ，故 A 错误；
对于 B，由 得 ，所以整数解组成的集合为 ，故 B 正确；
对于 C，由于 ，且在 ， ， 中，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含 2 个元素，故 C 正确；
对于 D，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以集合 含有 4 个元素 ，故 D 错误，
故选：BC．
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，若 是 成立的充分不必要条件，则实数 的取值范
围是______．
【答案】
【解析】
【分析】设 ， ，根据 是 成立的充分不必要条件求出集合 与 的关系，
列不等式组求解.
【详解】设 ， ，
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是 成立 充分不必要条件，
真包含 ，则 或 ，
解得 ， 的取值范围是 ．
故答案为： .
13. 已知命题 ， ，若 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是
________________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据命题 为假命题，转化为 ， 恒成立，即可求解.
【详解】因为命题“ ， ”且命题 p 是假命题，
可得命题“ ， ”为真命题，
即 ， 恒成立，
可得 ，即 ，解得 或 ，
即实数 a 的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的
关系，以及恒成立问题的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
14. 定义集合 的“长度”是 ，其中 a， R.已知集合 ，
，且 M，N 都是集合 的子集，若集合 的“长度”大于 ，则 的
取值范围是______.
【答案】
【解析】
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【分析】根据区间长度定义得到关于 的范围，再根据并集的区间长度大于 ，分类讨论得到关于 的不等
式，解出即可.
【详解】因为 都是集合 的子集，
所以 ，解得 ，
又 ，可知集合 M 的“长度”为 ， ，
要使集合 的“长度”大于 ，
若 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ；
若 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ；
则 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据并集的含义得到不等式组，结合分
类讨论的思想即可.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 已知集合 A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|a+2≤x≤3a}．
（1）当 a＝2 时，求 A∩B；
（2）若 B⊆A，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝∅
（2）（﹣∞， ）
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【解析】
【分析】（1）利用交集及其运算求解即可．
（2）利用集合间的关系列出不等式组，求解即可．
【小问 1 详解】
当 a＝2 时，B＝{x|a+2≤x≤3a}＝{x|4≤x≤6}，
∵A＝{x|2≤x＜4}，
∴A∩B＝∅．
【小问 2 详解】
若 B⊆A，
①当 B＝∅时，则 a+2＞3a，∴a＜1，
②当 B≠∅时，则 ，∴1≤a ，
综上，实数 a 的取值范围为（﹣∞， ）．
16. 设命题 ：方程 有两个不相等的实数根；命题 ： .
（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 ， 一真一假，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据判别式即可求解，
（2）分类即可求解.
【小问 1 详解】
若命题 为真命题，
则 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
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若命题 为真命题，解得 ，
当 真 假时， ，得 ；
当 假 真时， ，得 ；
综上所述，实数 的取值范围为 或 .
17. 已知集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）代入算出 ，根据并集概念计算即可；
（2）根据交集概念，结合空集条件，由此列不等式来求得取值范围.
（3）根据充分不必要条件转化为集合与集合的关系，由此列不等式来求得取值范围.
【小问 1 详解】
当 时，由 得 ， ，
【小问 2 详解】
， .
又 . 实数 的取值范围 .
【小问 3 详解】
“ ”是“ ”的充分不必要条件，即 是 的真子集，
， .
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.
实数 的取值范围是 .
18. 已知 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）从① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，
并进行解答.
问题：若__________，求实数 的所有取值构成的集合 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）条件选择见解析，
【解析】
【分析】（1）当 时，求出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求得集合 ；
（2）选①，分 、 两种情况讨论，在 时，直接验证即可；在 时，求得 ，根
据 可得出关于 的等式，综合可得出集合 ；
选②，分析可知 ，分 、 两种情况讨论，在 时，直接验证即可；在 时，求得
，根据 可得出关于 的等式，综合可得出集合 ；
选③，分 、 两种情况讨论，在 时，直接验证即可；在 时，求得 ，根据
，可得出关于 的等式，综合可得出集合 .
【小问 1 详解】
解：当 时， ，
又因为 ，故 .
【小问 2 详解】
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解：若选①，当 时， ，则 ，满足 ，
当 时， ，若 ，则 或 ，解得 或 .
综上所述， ；
若选②， ，则 .
当 时， ，满足 ；
当 时， ，因为 ，则 或 ，解得 或 .
综上所述， ；
若选③，当 时， ，满足 ；
当 时，则 ，因为 ，则 或 ，解得 或 .
综上所述，
19. 已知有限集 ，若 ，则称 为“完全集”.
（1）判断集合 是否为“完全集”，并说明理由；
（2）若集合 为“完全集”，且 ， 均大于 ，证明： ， 中至少有一个大于 ；
（3）若 为“完全集”，且 ，求 .
【答案】（1）是，理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由“完全集” 定义判断即可；
（2）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；
（3）设 ，得到 ，分类讨论求解即可.
【小问 1 详解】
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由 ，
，
所以 ，
故集合 是“完全集”.
【小问 2 详解】
由题设，令 ，
则 ， 是方程 的两个不同的正实数根，
所以 或 （舍），即 ，
又 ， ，若 ， 都不大于 2，则 ，矛盾，
所以 ， 至少有一个大于 2.
【小问 3 详解】
不妨令 ，则 ，
所以 ，
当 ，即 ，故 ，显然 无解，不满足；
当 ，即 ，只能有 ， ， ，
故存在一个“完全集” ；
当 ， ，
即 ，
又 ，
且 ，
此时 ，显然有矛盾，
所以 时不存在“完全集”；
综上， .
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
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（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
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