专题09 等腰三角形（word）2025-2026学年八上数学人教版2024期中复习学案知识点+习题

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▉考点01等腰三角形的性质
▉考点02等腰三角形的判定
1.判定方法
2.尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形
已知：等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.(如图(1))
求作：这个等腰三角形.
分析：根据等腰三角形“三线合一”
的性质，当底边确定时，底边所对的
顶点在底边的垂直平分线上.由此，
作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
作法：如图(2).
(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C,使DC=h.
(4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.
▉考点03等边三角形的性质
▉考点04等边三角形的判定
▉考点05含30°角的直角三角形的性质
一．等腰三角形的性质（共8小题）
1．（2024秋•平桥区期中）如果等腰三角形的一个内角等于40°，那么它的底角是（ ）
A．100°B．70°C．70°或100°D．40°或70°
2．（2024秋•青秀区校级期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
3．（2025春•城关区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD平分∠BAC
C．AD⊥BCD．AB＝2BD
4．（2024秋•惠州校级期中）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（ ）
A．60°B．75°C．70°D．90°
5．（2024秋•石家庄期中）题目：“在△ABC和△A'B'C'中，两个三角形的高线分别为AD和A'D'．∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'．AC＝A'C'，AD＝A'D'，且AB＞AC＞AD．已知∠C＝n°．求∠C′的度数．”对于其答案．甲答：∠C＝n°，乙答：∠C＝150°，丙答：∠C＝180°﹣n°，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
6．（2024秋•夏津县期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
7．（2025春•紫金县期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝CDB．∠BAC＝∠ABC
C．AD平分∠BACD．S△ABD＝S△ACD
8．（2024秋•海淀区校级期中）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（ ）
A．40°B．80°C．100°D．40°或100°
二．等腰三角形的判定（共8小题）
9．（2024秋•秦淮区期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条B．4条C．3条D．2条
10．（2024秋•东城区校级期中）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2024秋•海珠区校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
12．（2024秋•龙湾区期中）在数学探究社团活动中，小明同学探索“具备什么条件的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形”问题，通过尝试，他画出如图所示的△ABC，已知AB＝AC，AC上取一点D，连结BD，若AD＝BD，BC＝CD，则∠A的度数为（ ）
A．36°B．30°C．1807°D．22.5°
13．（2024秋•海曙区期中）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（ ）
A．2，3，4B．3，7，7C．2，2，6D．5，6，7
14．（2025春•清流县期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（ ）个．
A．4B．6C．8D．10
15．（2025春•临泽县校级期中）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．
16．（2024秋•伊金霍洛旗期中）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 ．
三．等腰三角形的判定与性质（共8小题）
17．（2024秋•山东校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（ ）
A．14B．16C．18D．20
18．（2024秋•江门期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知AB＝3，AC＝4，BC＝4.5，则△AMN的周长为（ ）
A．6B．7C．7.5D．8.5
19．（2024秋•香洲区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＝4，CN＝3，则线段MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
20．（2025春•紫金县期中）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，若BE＝4，CF＝6，则线段EF的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
21．（2024秋•山丹县期中）如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（ ）
A．③④B．①②C．①②③D．②③④
22．（2024秋•安定区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
23．（2024秋•宜城市期中）如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从海岛B到灯塔C的距离为（ ）
A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里
24．（2024秋•渑池县期中）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则下列说法错误的是（ ）
A．△BDF是等腰三角形
B．DF＝EF
C．若∠A＝50°，则∠BFC＝115°
D．DE＝BD+CE
四．等边三角形的性质（共10小题）
25．（2024秋•仪征市期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（ ）
A．7B．8C．172D．9
26．（2024秋•南岗区校级期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16B．32C．64D．128
27．（2024秋•黔东南州期中）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（ ）
A．240°B．120°C．170°D．360°
28．（2024秋•东川区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
29．（2025春•包头期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．16B．32C．64D．128
30．（2024秋•惠民县期中）如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（ ）
A．6B．12C．32D．64
31．（2024秋•肇源县期中）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
32．（2024春•禹州市期中）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（ ）
A．18°B．20°C．30°D．15°
33．（2024春•滨城区校级期中）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝ ．
34．（2024秋•海州区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝4，则BE+CF＝ ．
五．等边三角形的判定（共8小题）
35．（2024秋•南安市校级期中）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
36．（2024春•清苑区期中）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C
37．（2024秋•高新区校级期中）如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（3，0），点C在第一象限内，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标是（ ）
A．（1，23）B．（2，23）C．（1，3）D．（2，3）
38．（2025春•介休市期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝16cm（O为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是（ ）
A．8cmB．16cmC．12cmD．6cm
39．（2024秋•思明区校级期中）下列条件中，能说明△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A＝60°B．∠B＝60°，AB＝AC
C．∠B+∠C＝120°D．AB＝AC
40．（2024秋•前郭县期中）如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中α的度数是（ ）
A．110°B．120°C．140°D．150°
41．（2024秋•武陵区期中）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 ．（填序号）
42．（2024秋•宽城区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．
六．等边三角形的判定与性质（共8小题）
43．（2024秋•丛台区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B、D两点之间的距离为（ ）
A．25cmB．50cmC．55cmD．100cm
44．（2024秋•吉首市校级期中）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．8C．6D．12
45．（2024春•上杭县期中）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD=12CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（ ）
A．233B．343C．563D．3
46．（2024秋•黄梅县校级期中）在等腰三角形ABC中，∠A＝60°，BC＝4，则△ABC的周长为（ ）
A．12B．14C．10D．16
47．（2024春•锡山区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是（ ）
A．3+1B．3C．−2+1D．3
48．（2025春•广东校级期中）将含30°的直角三角板直角顶点C放置在直尺的一边上，AC，AB与直尺的交点分别为点E，F，D，如图．若点E，F对应的刻度分别为2cm，6cm，∠ACD＝60°，则AE的长是（ ）
A．2cmB．4cmC．5cmD．6cm
49．（2024秋•兰山区校级期中）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
50．（2024秋•巴彦县期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 ．
七．含30度角的直角三角形（共10小题）
51．（2024秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D是边BC上的任意一点，则AD的长不可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
52．（2024秋•河北区期中）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若∠B＝30°，BC＝8cm，则BD的长为（ ）
A．7cmB．6cmC．5.5cmD．5cm
53．（2024春•新城区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）
A．5B．6C．8D．10
54．（2024秋•江门期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的垂直平分线，AD＝16，则CD的长是（ ）
A．3B．4C．6D．8
55．（2024秋•忻州期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AC等于（ ）
A．6B．8C．9D．12
56．（2024秋•汉阳区期中）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AD⊥AB，垂足为点A，交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段AC，AD＝3，则BC的长是（ ）
A．6B．9C．12D．18
57．（2024秋•香洲区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．6B．7C．8D．9
58．（2024秋•南岗区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝2，则BH＝ ．
59．（2024秋•齐齐哈尔期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝ ．
60．（2024秋•永城市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 ．
文字语言
符号语言
图示
性质1
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
如图，在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C.
性质2
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”).
如图，在△ABC中，AB=AC,①∵BD=CD,
∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.②∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC且BD=CD.③∵AD⊥BC,
∴AD平分∠BAC且BD=CD.
轴对
称性
等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线(或底边上的高或底边上的中线)所在的直线.
文字语言
符号语言
图示
利用定义
有两边相等的三角形是等腰三角形.
如图，在△ABC中，
∵AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.
利用判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).
如图，在△ABC中，∵∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形.
文字语言
符号语言
图示
性质1
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.
性质2
等边三角形每条边上的中线、高及所对角
的平分线重合，即“三线合一”.
如图，在△ABC中，
①∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC,∴AD⊥BC且BD=CD.
②∵△ABC为等边三角形，AD1BC,∴AD平分∠BAC且BD=CD.③∵△ABC为等边三角形，BD=CD,∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.
轴对称性
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高线所在直线).
方法
文字语言
符号语言
图示
定义法
三边都相等的三角形是等边三角形.
如图，∵AB=AC=BC,
∴△ABC为等边三角形.
判定定
理法1
三个角都相等的三角形是等边三角形.
如图，∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形.
判定定
理法2
有一个角是60°的等
腰三角形是等边三角形.
如图，∵AB=AC,∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°),
∴△ABC为等边三角形.
文字语言
符号语言
图示
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∵∠A=30°,BC=1/2AB