第一章 勾股定理（举一反三单元测试·拔尖卷）数学北师大版2024八年级上册 含答案

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第一章 勾股定理·拔尖卷【北师大版2024】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级上·广西百色·期末）已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（   ）A．∠A=∠C−∠BB．∠A:∠B:∠C=2:3:4C．b+cb−c=a2D．a=54，b=34，c=1【答案】B【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在90°角即可求解．【详解】解：A． 由∠A=∠C−∠B，结合内角和得∠A+∠B+∠C=180°，代入得∠C−∠B+∠B+∠C=180°，解得∠C=90°，△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意．B． 设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，则2x+3x+4x=180°，解得x=20°，故∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，无直角，不能判定为直角三角形，故此选项符合题意．C． b+cb−c=a2展开得b²−c²=a²，即b²=a²+c²，由勾股定理的逆定理知∠B=90°，△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意．D． ∵a²=542=2516，b²+c²=342+12=2516∴a²=b²+c²，由勾股定理的逆定理知∠A=90°，∴故△ABC为直角三角形故此选项不符合题意．故选：B．2．（3分）（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC=1，连接AC，在AC上截取CD=BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（   ）A．5−1B．−5+1C．5D．5+1【答案】A【分析】本题考查实数与数轴的关系，勾股定理，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键，根据勾股定理可求得AC的长，再根据题意得到AD=AE，从而得到答案．【详解】解：由题可得：BC⊥AB，BC=1，AB=2，∴由勾股定理得：AC=AB2+BC2=22+12=5，∵CD=BC=1，∴AD=5−1，∵AD=AE，∴AE=5−1，∴点E表示的实数是5−1，故选：A．3．（3分）（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2−S1=20，则图中阴影部分的面积为（   ）A．5B．10C．15D．20【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得AC2−AB2=BC2,再由正方形面积公式得S3−S1=S2，求出S2=10，即可得到阴影部分的面积．【详解】解：∵Rt△ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴AC2−AB2=BC2， ∴S3−S1=S2， ∵S3+S2−S1=20， ∴S2=10，∴阴影部分的面积为12S2=5，故选：A．4．（3分）（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ）A．2026B．2025C．22025D．22022−1【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=正方形A的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026．故选：A．5．（3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（ ）A．△ABD B．△ADC C．△BCD D．△ABC 【答案】A【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可．【详解】解：A．∵AB2=5，BD2=5，AD2=10，∴AB2+BD2=AD2，则△ABD为直角三角形，故该选项符合题意；B．∵AD2=10，CD2=5，AC2=13，∴AD2+DC2≠AC2，则△ADC不是直角三角形，故该选项不符合题意；C．∵BD2=5，CD2=5，BC2=16，∴BD2+DC2≠BC2，则△BCD不是直角三角形，故该选项不符合题意；D．∵AB2=5，AC2=13，BC2=16，∴AB2+AC2≠BC2，则△ABC不是直角三角形，故该选项不符合题意；故选：A．6．（3分）（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，则∠BPC的度数为（　　）A．120°B．135°C．140°D．150°【答案】B【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键．将△ACP绕C点旋转90°，根据旋转的性质可得出∠QPC=45°，根据勾股定理可证出∠PBQ=90°，从而可得出答案．【详解】如图，将△ACP绕C点旋转90°，得△BCQ，连接PQ，由旋转的性质可知：Rt△ACB∽Rt△PCQ，∠PCQ=90°，∴CQ=CP=2，BQ=PA=3，∠QBC=∠PAC，∴PQ2=CQ2+CP2=8，且∠QPC=45°，在△BPQ中，PB2+PQ2=8+1=9，∴PB2+PQ2=BQ2，∴∠QPB=90°，∴∠BPC=∠QPB+∠QPC=135°．故选B．7．（3分）（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段MN长的平方为（　　）A．100B．80C．89D．84【答案】B【分析】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接ME，作MP⊥CD交CD于点P，根据折叠的性质，在Rt△ECN中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．在Rt△MFE中，有MF2+FE2=ME2，在Rt△MBE中，有BE2+BM2=ME2，根据这两个式子可求得MF=1，得到AM=PD=1，NP=4，在Rt△MPN中，运用勾股定理求出MN=80．【详解】解：如图，连接ME，作MP⊥CD交CD于点P，由四边形ABCD是正方形及折叠性知，AM=MF，EN=DN，EF=AD，∠MFE=∠BAD=90°，在Rt△ECN中，CE2+CN2=EN2，∵AB=BC=CD=DA=8，E为BC的中点，∴CE=4，∴42+CN2=8−CN2，解得CN=3，在Rt△MFE中，MF2+FE2=ME2，在Rt△MBE中，BE2+BM2=ME2，∴MF2+FE2=BE2+BM2，∴MF2+82=42+8−MF2，解得，MF=1，∴AM=PD=1，∴NP=CD−CN−PD=8−3−1=4，在Rt△MPN中，MN2=MP2+NP2=82+42=80，故选：B．8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ）A．29B．32C．36D．45【答案】D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．9．（3分）（23-24八年级下·全国·单元测试）斜拉桥是我国流行的桥型之一，大跨径斜拉桥已居世界第一．如图，OA1=A1A2=A2A3=A3A4，OB1=B1B2=B2B3=B3B4，如果最长的钢索A4B4=80m，那么钢索A2B2、A1B1的长分别是（   ）A．60m,40mB．60m,30mC．40m,20mD．40m,10m【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设OA1=xm,OB1=ym，先根据OA1=A1A2=A2A3=A3A4，OB1=B1B2=B2B3=B3B4，得出OA2=2xm,OA4=4xm，OB2=2ym,OB4=4ym，再根据∠O=90°，得到△OA1B1,△OA2B2,△OA4B4都是直角三角形，得到OA42+OB42=A4B42=802，即16x2+16y2=16×5×80，由A1B12=OA12+OB12,A2B22=OA22+OB22，代入计算即可求解．【详解】解：设OA1=xm,OB1=ym，∵OA1=A1A2=A2A3=A3A4，OB1=B1B2=B2B3=B3B4，∴OA2=2xm,OA4=4xm，OB2=2ym,OB4=4ym，∵∠O=90°，∴ △OA1B1,△OA2B2,△OA4B4都是直角三角形，∵ A4B4=80m，∴ OA42+OB42=A4B42=802，即16x2+16y2=16×5×80，∴x2+y2=400，4x2+4y2=1600，∴ A1B12=OA12+OB12=x2+y2=400,A2B22=OA22+OB22=4x2+4y2=1600，∴ A2B2=40m（负值舍去），A1B1=20m（负值舍去），故选：C．10．（3分）如图有一圆柱，高为8cm，底面直径为4cm，在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想吃上底面与A相对的B点处的食物，需爬行的最短路程大约为(取π=3)(    )  A．10cmB．12cmC．14cmD．20cm【答案】A【分析】首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．【详解】将此圆柱展成平面图得：          ∵圆柱的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），∴AC=8cm，BC=12 BB′=12 ×4π=6(cm)∴AB=AC2+BC2=82+62==10（cm）．答：它需要爬行的最短路程为10cm．故选A【点睛】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，△ABC中，AC:BC:AB=3:4:5，点D在BC上，点E为AB的中点，AD，CE相交于点F，且AD=DB．若∠B=35°，则∠DFE的度数是 ．【答案】105°/105度【分析】根据AC:BC:AB=3:4:5，可知△ABC为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知BE=CE=AE，利用等边对等角，可求得∠ECB=∠B，∠B=∠BAD，接着利用外角，推出∠ADC，最后利用∠DFE=∠ECB+∠ADC求得答案．【详解】解： △ABC中，AC:BC:AB=3:4:5，不妨设AC=3，BC=4，AB=5，∵AC2=32=9，BC2=42=16，AB2=52=25，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵点E为AB的中点，∴BE=CE=AE，∴∠ECB=∠B，∵AD=DB，∴∠B=∠BAD，∵∠B=35°，∴∠ECB=∠BAD=∠B=35°，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADC=35°+35°=70°，∴∠DFE=∠ECB+∠ADC=35°+70°=105°．故答案为：105°．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．12．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，高度为1米的平台上有一根长为8米的木杆垂直于台面AB，在一降大风后，木杆从点E处折断，AE依然垂直于AB，木杆顶端落在地面的点D处，已知AB∥CD，AB=2米，CD=1米，则木杆依然直立的部分AE的长为 ．【答案】3【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，延长EA交DC延长线于点F，证明四边形ABCF是矩形，则AF=BC=1m，AB=CF=2m，故有FD=FC+CD=3m，设AE=xm，则DE=8−xm，EF=x+1m，由勾股定理得：EF2+FD2=DE2，即x+12+32=8−x2，然后求出x的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，延长EA交DC延长线于点F，∵AB∥CD，AE⊥AB，∴AE⊥CD，由BC⊥CD，则有∠AFB=∠BCF=∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形，∴AF=BC=1m，AB=CF=2m，∴FD=FC+CD=3m，设AE=xm，则DE=8−xm，EF=x+1m，由勾股定理得：EF2+FD2=DE2，∴x+12+32=8−x2，解得：x=3，∴AE=3m，故答案为：3．13．（3分）（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC=6，CD=2，则长方形的面积为 ．【答案】48【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．设BD的长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积．【详解】解：由已知可得CD=CE，AF=AE，BF=BD，∴CE=CD=2，设BD的长为x，∵AC=6，CD=2，∴AE=AF=AC−CD=4，BF=BD=x∴BC=BD+CD=x+2，AB=4+x在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即（2+x）2+62=（4+x）2，整理得，4x=24，∴x=6∴BC=x+2=8而矩形面积为：8×6=48，故答案为：48．14．（3分）（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的3×4的网格系中，△ABC的顶点都在格点上，则∠ABC= ．【答案】135°/135度【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质．取格点D，使得AD=BC=5，CD=AB=10，连接BD．证明△ABD，△BCD是等腰直角三角形即可求解．【详解】解：AB=12+32=10，BC=12+22=5，取格点D，使得AD=BC=5，CD=AB=10，连接BD，∴BD=12+22=5，∴AD=BD，AD2+BD2=52+52=10=102=AB2，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∵BD=CD，BD2+BC2=CD2，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBD=90°，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=45°+90°=135°．故答案为：135°15．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，射线OM、ON互相垂直，OA=8，在线段OA的垂直平分线l上取一点B，连接AB,AB=5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线OM的距离d= ．【答案】325【分析】连接OB,OA′，作A′D⊥OB′,AC⊥OB，垂足分别为D,C，根据旋转的性质得到△OA'B'≌△OAB，进而得到A′D=AC，中垂线的性质，结合勾股定理求出BE的长，等积法求出AC的长，进而得到A′D的长，再根据勾股定理求出OD的长，即可得出结果．【详解】解：连接OB,OA′，作A′D⊥OB′,AC⊥OB，设l与OM交于点E，∵旋转，∴△OA'B'≌△OAB，∴OA′=OA=8，A′D=AC，∵在线段OA的垂直平分线l上取一点B，∴OB=AB=5,AE=OE=12OA=4，BE⊥OA，∴BE=AB2−AE2=3，∵AC⊥OB，BE⊥OA，∴12OA⋅BE=12OB⋅AC，∴AC=245，∴A′D=AC=245，在Rt△A′DO中，OD=OA′2−A′D2=325，∵射线OM、ON互相垂直，A′D⊥OB′，∴A′D∥OM，∴点A′到射线OM的距离d=OD=325；故答案为：325【点睛】本题考查旋转的性质，中垂线的性质，全等三角形的性质，勾股定理，等积法求线段的长，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．16．（3分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）把一副三角板按如图所示的位置放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠CAB=45°，∠CDE=30°，斜边AB=12，CD=14，AB与CD相交于点O，若∠BCE=15°，连接AD，则AD的长为 ．【答案】10【分析】先证明CD⊥AB，再由等腰直角三角形的性质得OA=OB=12AB=6，OC=12AB=6，则OD=CD−OC=14−6=8，然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出AD的长即可．【详解】解：∵∠ACB=∠CED=90°，∠CAB=45°，∠CDE=30°，∴△ACB是等腰直角三角形，∠DCE=90°−30°=60°，∵∠BCE=15°，∴∠DCB=60°−15°=45°，∴∠ACO=90°−45°=45°，∴∠AOC=180°−45°−45°=90°，∴CD⊥AB，∴OA=OB=12AB=6，∴OC=12AB=6，∴OD=CD−OC=14−6=8，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=OA2+OD2=62+82=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处．已知BC=10cm，AB=8cm．(1)求CF、CE的长；(2)求阴影部分的面积．【答案】(1)CF=4cm，CE=3cm(2)30cm2【分析】此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．（1）由折叠的性质得，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=10cm，在Rt△ABF中，由勾股定理求出BF=6cm，进而求出CF=4cm；设CE=x，则DE=EF=8−x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求解即可；（2）根据三角形面积公式计算即可．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，BC=10cm，AB=8cm，∴∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=10cm，CD=AB=8cm由折叠的性质得，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=10cm，DE=EF，在Rt△ABF中，BF=AF2−AB2=102−82=6cm，∴CF=BC−BF=10−6=4cm．设CE=x，则EF=DE=CD−CE=8−x，在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，∴x2+42=8−x2，解得x=3，∴CE=3cm；（2）解：阴影部分面积为12AB⋅BF+12CF⋅CE=12×8×6+12×4×3=30cm2．18．（6分）（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路PB、PA与l相连接，其中AP=AB，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路PC（A，C，B在同一条直线上），测得PB=6.5千米，BC=2.5千米，PC=6千米．(1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明：(2)求原来的路线PA的长．【答案】(1)是，理由见解析(2)原来的路线PA的长为8.45千米【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理内容并正确运用是关键；（1）计算PC2+BC2与PB2的值，两者的值相等，则是直角三角形，则 PC是从村庄P到l的最近路；（2）设AP=x，则AC=x−2.5；在Rt△PAC中，利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：是；理由是：在△PCB中，∵PC2+BC2=62+2.52=42.25，PB2=6.52=42.25，∴PC2+BC2=PB2，∴△PCB是直角三角形，∴PC⊥AB，PC是从村庄P到l的最近路；（2）解：设AP=x，则AC=x−2.5，在Rt△PAC中，∵PC2+AC2=PA2，∴62+x−2.52=x2，解得：x=8.45，答：原来的路线PA的长为8.45千米．19．（8分）（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，一个实心长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CC1=1，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答）【答案】把长方体沿CD展开，蚂蚁沿着AC1的路线爬行的路程最短，最短距离为5．【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿CD展开，把长方体沿BB1展开，把长方体沿A1D1展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案．【详解】解：如图所示，把长方体沿CD展开，则蚂蚁沿着AC1的路线爬行的路程最短，由题意得，AB=4，BC1=BC+CC1=3，∴由勾股定理得AC1=AB2+BC12=5；如图所示，把长方体沿BB1展开，则蚂蚁沿着AC1的路线爬行的路程最短，由题意得，AC=AB+BC=6，CC1=1，∴由勾股定理得AC1=AC2+CC12=37；如图所示，把长方体沿A1D1展开，则蚂蚁沿着AC1的路线爬行的路程最短，由题意得，AB1=AA1+A1B1=5，B1C1=2，∴由勾股定理得AC1=AB12+B1C12=29；∵5