【02-暑假预习】第06讲 第一章 集合与常用逻辑用语-章末复习（教师版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)

这是一份【02-暑假预习】第06讲 第一章 集合与常用逻辑用语-章末复习（教师版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)，共20页。试卷主要包含了集合的相关概念，集合间的基本关系，集合的三种基本运算，已知集合，已知，且，则，设集合，A是S的一个子集，若，则以下正确的是等内容，欢迎下载使用。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 集合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
2．集合间的基本关系
3．集合的三种基本运算
4.集合基本运算的常见性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；
∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
知识点2 充分条件与必要条件
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
3.熟记常用结论
eq \\ac(○,1)．充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．
知识点3 全称量词与存在量词
1．全称量词与存在量词
2．全称量词命题与存在量词命题
3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定
考点一 集合的概念
1．已知集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】A选项，因为，可设，
，
所以，即，故A错误；
B选项，因为，
所以，故B错误；
C选项，因为，其中，所以，故C正确；
D选项，因为，其中，所以，故D错误．
故选：C
（多选题）2．若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【详解】因为伙伴关系集合满足与，
所以集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是，BCD符合题意，
而不是的子集，不符合题意．
故选：BCD.
3．已知集合，，记且.则 ， .
【答案】
【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则.
4．已知集合．
(1)若，求集合；
(2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，
解得或或，故．
（2）因为，
解该方程可得或或．
根据集合中元素的互异性知当方程有重根时，
重根只能算作集合的一个元素，
当时，可得，不符合题意；
当，即时，可得，符合题意；
当且时，，则，
解得，此时，符合题意．
综上，实数的值为或；
当时，；当时，．
考点二 集合间的基本关系
1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，，
故当时，易求；
当时，由得，或,
所以所有的取值构成的集合为，
故选：C.
2．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是．
故选：A.
3．若，则集合M的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个．
4．.设，，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由在上是增函数，得，
即．
作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示：
①当时，，即，
要使，必须且只需，得，与矛盾．
②当时，，即，
要使，由图可知：必须且只需解得．
③当时，，即，
要使，必须且只需解得．
④当时，，此时，则成立．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：
考点三 集合的基本运算
1．已知集合，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由得或．又，所以，故．
2．已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】由中元素的互异性，得，即且，
而，则当且时，与均互异，
因此中至少有元素，取，此时，有4个元素，
∴ 中的元素个数至少为4个.
故选：C
3．已知集合，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，故A正确.
故选：A
4．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（ ）
A．4B．10C．11D．12
【答案】D
【详解】解法1 由题意知S所有可能的集合为，，则符合条件的集合S的个数为12．
解法2 由题意，集合，若，则，此时集合S的个数为，所以当时，可得集合S的个数为．
5．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为A为非空集合，则，
解得；，
若，则，
则或，
解得或，又，
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：.
考点四 充分条件与必要条件
1．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（ ）
A．0B．2或C．或D．0或或
【答案】D
【详解】解法1 ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或．
解法2（代入法） ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意．
2．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得，若p是q的充分条件，则，故．
3．下列命题中，为假命题的是（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的充分条件
C．“”的充要条件是“”D．“”是“”的必要条件
【答案】D
【详解】因为，所以“”是“”的必要条件，A是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，B是真命题；因为，C是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，D是假命题．
4．已知．
（1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得．
考点五 全称量词与存在量词
1．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】命题的否定为：“”
若该命题为真命题得，所以，
所以为该命题的一个必要不充分条件，
故选：C.
2．下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】①③是全称量词命题．
3．已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】“”为真命题，则，“”为真命题，则．
4．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
知识导图记忆
知识目标复核
1．集合的概念
2．集合间的基本关系
3．集合的基本关系
4．充分条件与必要条件
5．全称量词与存在量词
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a，b都是有理数，则是有理数B．若a，b都是无理数，则是无理数
C．若，则D．若是小数}，则
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的真假
【详解】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误．
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断两个集合的包含关系、补集的概念及运算、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先求集合，根据即可的基本关系和运算即可求解.
【详解】依题意得，，所以.
均不成立，,ABC错误
故选：D.
3．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．若，则
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】集合新定义
【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果.
【详解】对于A，由，则，
所以，故A正确；
对于B，由，所以，故B错误；
对于C,由，则，
由，，则，
所以，，则，
所以，故C错误；
对于D，当时，结合选项B知，，故D错误.
故选：A.
4．对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据并集结果求集合或参数、集合新定义、根据交集结果求集合或参数
【分析】依题意可得，令，则，再分、、三种情况讨论，分别求出的值（范围），即可得解.
【详解】因为，
且，即，
令，则，
所以，
当时，；
当时，；
当时，；
为了使，需将正数尽可能的分配给，负数分配给，
如，，
此时，，此时，
所以的最大值为.
故选：C
5．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（ ）.
A．506B．507C．1012D．1013
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】集合新定义
【分析】假设中的最大元素为，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解.
【详解】假设中的最大元素为，
将其余元素分组：，，，…，，共组，
一定不包含.
若中元素多于个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为，与条件矛盾.
所以中元素不能多于个.
所以当时，中元素个数最多，为个.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.
6．已知，且，则（ ）
A．0B．C．0或3D．或3
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】根据集合相等关系进行计算
【分析】分，两种情况解方程，可求的值.
【详解】由题意知n为方程的根，当时，；
当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得，
此时，即．
综上所述：或．
故选：D．
7．设集合，A是S的一个子集．若对任意，总有，则A中元素个数的最大值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义
【分析】由奇数一奇数＝偶数，要使A中元素的个数最多，则集合A中应可以取所有的奇数即可．
【详解】因为A是S的一个子集，记，
而奇数一奇数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，奇数与偶数的差为奇数，
若对任意总有，
要使A中元素的个数最多，则集合A中应可以取所有的奇数即可，
即，得集合A中元素个数的最大值为：5．
故选：A
8．命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（ ）
A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据特称命题的否定是全称命题判断即可.
【详解】命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数”.
故选：B
9．若，则以下正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可
【详解】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误；
对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确；
对于C，为集合，是有序数对，故C错误；
对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误.
故选：B
10．(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【难度】0.94
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可.
【详解】当时，满足，此时；
当时，，此时，
因为，所以或，
即；或
综上所述，或或，
故选：BCD.
11．(多选)下列关于集合的描述，正确的是（ ）
A．偶数集用描述法可以表示为
B．方程组的解集可表示为
C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为
D．集合与集合交集为空集
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算、列举法表示集合
【分析】对A根据偶数特点即可判断；对B，代入即可判断；对C，直接解出一元二次方程即可；对D，分别得出他们均表示集合即可判断.
【详解】对A，根据偶数的特点和描述法的特征知偶数用描述法可以表示为，故A正确；
对B，若，则不适合第二个方程，
若，则不适合第一个方程，故B错误；
对C，，解得或，则用列举法可表示为，故C正确；
对D，，，则其交集为，则D错误.
故选：AC.
12．(多选)已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（ ）
A．若，则具有性质B．若，则具有性质
C．若，则一定具有性质D．若，则一定具有性质
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】集合新定义
【分析】根据已知条件新定义逐个分析即可．
【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误；
对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确；
对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G ,
当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同，
比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义，
如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合，
比如 ，则也是5的倍数，故C正确；
对 D 选项，
将整数分成这10类，
依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类，
分两类情况，如果七个属于的集合各不相同，
比如，
那么肯定是10的倍数，且，满足的定义，
如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合，
比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义，
故D正确．
故选：BCD.
13．(多选)给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】集合新定义
【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C.
【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确，
对于B，取故B正确，
对于C，当时，，如时，设，
由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确，
对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误，
故选：ABC
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
14．设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质.
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A；
(2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】判断元素与集合的关系、集合综合
【分析】（1）根据题意直接写出即可；
（2）根据性质可知，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可．
【详解】（1）由，可得恰含有两个元素且具有性质的集合；
（2）若集合A具有性质，不妨设，
由非空数集A具有性质，有．
①若，易知此时集合A具有性质．
②若实数集A只含有两个元素，不妨设，
由，且，解得：，此时集合A具有性质．
③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素，
则有，由于集合A具有性质，
所以有，这说明集合A具有性质；
综合以上可知集合A具有性质.
15．(判断题)在集合中，可用符号表示为．( )
【答案】错误
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合的关系判断即可.
【详解】在集合中，可用符号表示为.
故答案为：错误.
16．(判断题)判断下列结论是否正确（请在括号中填“正确”或“错误”）
（1）集合，用列举法表示为．( )
（2）．( )
（3）若，则或．( )
（4）对任意集合，都有．( )
【答案】 错误 错误 错误 正确
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合、交集的概念及运算、并集的概念及运算
【分析】根据数集的特性可判断（1）；根据集合的研究元素以及取值范围可判断（2）；根据集合元素的互异性可判断（3）；根据集合间的运算可得到（4）.
【详解】（1）是自然数集，，该说法错误；
（2）对于集合，；对于集合，；
对于集合研究的元素为点的坐标，该三个集合不相等，所以该说法错误；
（3）时，不满足集合元素的互异性，该说法错误；
（4）对任意集合，都有，该说法正确.
故答案为：错误；错误；错误；正确.
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
eq \a\vs4\al(N)
N*或N＋
eq \a\vs4\al(Z)
eq \a\vs4\al(Q)
eq \a\vs4\al(R)
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
AB或
BA
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A
⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B且B≠∅
文字语言
图形表示
符号语言
集合的并集
所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
集合的交集
所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
集合的补集
全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
p是q的充分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p
A＝B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
AB
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
AB
p是q的既不充分条件也不必要条件
pq且qp
AB且A⊉B
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
命题
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词命题
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
命题名称
命题结构
命题简记
全称量词
命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
存在量词命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
命题
名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称量词
命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，
p(x)
∃x0∈M，p(x0)
存在量词命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，
p(x0)
∀x∈M，p(x)
教材习题01
已知全集，，，那么是（ ）
A．B．
C．D．
解题方法
由题可得，全集
对于选项A，，不符合题意；
对于选项B，，，不符合题意；
对于选项C，，不符合题意；
对于选项D，，符合题意；
【答案】D
教材习题02
已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)求能使成立的实数的取值范围．
解题方法
（1）当时，集合，，
所以，.
（2）由，可知，
则，解得，
故实数的取值范围为．
【答案】(1)，
(2)
教材习题03
已知：，：．若是的充分而不必要条件，求的取值范围．
解题方法
由题意，命题，，
因为是的充分而不必要条件，即是的充分而不必要条件，
即命题是命题的真子集，
则满足且等号不能同时成立，解得，
所以实数的取值范围为.
【答案】