【01-暑假复习】初高衔接点01 乘法公式（学生版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (通用版)

这是一份【01-暑假复习】初高衔接点01 乘法公式（学生版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (通用版)，共35页。试卷主要包含了初中知识再现，高中相关知识等内容，欢迎下载使用。

1、初中知识再现
（1）平方差公式：；注意公式的正逆应用.
（2）完全平方公式：
（3）高频应用方式：
①
②
③
④
⑤
⑥
2、高中相关知识
（1）立方和公式：
（2）立方差公式：
（3）两数和立方公式：
过程：
（4）两数差立方公式：
过程：
（5）三数和平方公式：
过程：
对点集训一：平方差公式的应用
典型例题
例题1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ．
例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则等于 ．
例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算：．
例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）运用平方差公式计算：
(1)；
(2)．
精练
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（ ）．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则m的值是 ．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）利用平方差公式计算：
(1)；
(2)．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：．
对点集训二：平方差公式与几何图形
典型例题
例题1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
例题2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ．
例题3．（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分的面积可以用正方形的面积与正方形的面积的差来计算；也可以用长方形的面积与长方形的面积的和来计算．
(1)根据图中阴影面积的不同计算方式，请直接写成，，之间的等量关系；
(2)根据（）中得到的等量关系，解决下面的问题：
①计算：；
②若，求的值．
例题4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形．
（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：
图中________，图中________；
（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（3）已知，，则的值为：________；
计算；
【拓展】计算
（4）的结果为________．
精练
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示．
(1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；
(3)试利用此公式计算：．
3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”）
A． B． C．
(2)已知，，则的值为 ．
(3)计算：．
4．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
对点集训三：完全平方公式的应用
典型例题
例题1．（24-25八年级上·重庆万州·期末）若，则的最小值是（ ）
A．2014B．2016C．2018D．2020
例题2．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算 ．
例题3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中．
例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
精练
1．（24-25八年级上·河南周口·期末）已知，，则 ， ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）利用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)
对点集训四：通过完全平方公式变形求值
典型例题
例题1．（24-25八年级上·辽宁·期末）长方形的长和宽分别为a，b，若，，则该长方形的面积为（ ）
A．10B．11C．12D．13
例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以．请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为 ．
例题3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ．
例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，求下列各式的值：
(1) ；
(2)．
精练
1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）若方程的两个实数根为、，则的值为 ．
2．（24-25九年级上·山东日照·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知实数满足．
（1）代数式的值为 ；
（2）代数式的值为 ．
4．（24-25七年级下·全国·周测）两个不相等的实数满足，．
（1）的值为 ；
（2）的值为 ．
对点集训五：完全平方式中的字母系数
典型例题
例题1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如果能写成一个完全平方的形式，则（ ）
A．B．12C．D．
例题2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若一个多项式的平方的结果为，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值是 ．
例题4．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ； ； ；
（2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系：
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： ；
②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值．
精练
1．（2025七年级下·全国·专题练习）若是一个完全平方式，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）若是一个完全平方式，则的值 ．
4．（24-25八年级上·广东汕头·期末）探究题：
【问题情景】
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
___________；__________；___________；
【探究发现】
（2）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明发现：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间存在的关系式为__________；
【问题解决】
（3）若多项式是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出的值．
对点集训六：完全平方公式在几何图形中的应用
典型例题
例题1．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）阅读与思考
仔细阅读下列材料并完成相应任务．
任务：
(1)代数式的最小值为 ．
(2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值．
(3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？
例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到．
【活动猜想】
（1）写出由图2所表示的数学等式： ；
【类比探究】
（2）①根据上面的等式，如果将看成，则 （结果化简）；
②若，求的值．
【拓展运用】
（3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求k的值．
例题3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，．
(1)根据以上变形填空：
①已知，，则______；
②已知，，则______；
(2)若，，求的值；
(3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和．
例题4．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) ；若是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足，且．
① 求的值；
② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．

精练
1．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①，，求和的值；
②已知，求的值．
2．（23-24八年级上·福建福州·期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子：
，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列问题：
(1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ．
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务．
①用含的式子表示花圃的面积；
②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
3．（22-23八年级下·四川成都·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形；B型卡片是长为y，宽为x的长方形；C型卡片是边长为y的正方形．

(1)用1张A型卡片，2张B型卡片拼成如图1的图形，根据图1，多项式因式分解的结果为______．
(2)请用1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．

4．（22-23七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若，，则的值为______；
(2)拓展：若，则______．
(3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
对点集训七：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的应用
典型例题
例题1．（24-25高一上·江西南昌·开学考试）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：.
根据材料和已学知识解决下列问题
(1)因式分解：；
(2)先化简，再求值：，其中.
(3)利用材料因式分解：
例题2．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读理解题：
拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：
原式
公式：，
根据上述论法和解法，
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)因式分解：．
例题3．（23-24高一·全国·假期作业）已知函数满足条件：
(1)对称轴为；(2)y的最大值为15；(3)的两根立方和为17.
求的表达式．
精练
1．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
2．（24-25高一上·全国·假期作业）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.
根据以上材料，请完成下列问题：
(1)因式分解：
(2)因式分解：
(3)已知：，求的值
3．（24-25高一上·全国·假期作业）利用多项式乘法法则计算：
(1) = ______； =______.
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．
已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
(2)______；（直接写出答案）
(3)______；（直接写出答案）
(4)______；（写出解题过程）
第01讲 乘法公式 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为（ ）
A．8B．C．或8D．或5
2．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）若，则下列各式不能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式（ ）．
A．B．
C．D．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：．根据图②你能得到的数学公式是（）
A．B．
C．D．
5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的数学公式是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列式子：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了运用平方差公式计算，必须先对式子进行变形．下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（24-25八年级下·北京·开学考试）如果是一个完全平方式，那么为（ ）
A．25B．C．100D．
二、多选题
10．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．D．
三、填空题
13．（24-25八年级上·广东广州·期末）以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为 ．
14．（2025·陕西西安·一模）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ．
15．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）化简的值是 ．
16．（2025七年级下·全国·专题练习）根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是 ．
四、解答题
17．（24-25八年级上·山西临汾·期末）先化简，再求值：，其中，．
18．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）计算：．
（2）解方程：．
19．（24-25八年级上·云南昆明·期末）【阅读材料】
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以
，
【尝试应用】
（1）利用材料中得到的因式分解等式计算：_____；
（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____；
【拓广探索】
（3）若，，且，．求的值．
20．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列等式：
；
；
；
；
…
(1)根据上述等式，写出_______=_______；
(2)试猜想是哪一个数的平方，并说明理由．
B能力提升
1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：．
解：原式．
例如：求代数式的最小值．
解：，
因为：，所以：当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
(3)已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状．
2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）我们知道形如的二次三项式可以分解因式为，所以
但小明在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式．
教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：求代数式的最小值．
解：．
因为，所以
所以当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中的值．
3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考
阅读以下材料并完成相应任务．
任务：
(1)若x满足，求的值．
(2)如图，在长方形中，，，E、F分别为边，上的点，且，分别过点E、F作边，的垂线段，交于点O，再以和为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积．
4．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：
(1)分解因式：________．
(2)求代数式的最小值：
，
对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________．
请完成上面的填空．
(3)根据材料解决下列问题：
①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________．
②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值．
5．（24-25六年级上·山东济南·期末）如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边，两个小正方形的边长分别是a、b．
(1)将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：
方法一：____________；方法二：____________；
(2)观察图2，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系：____________；
(3)若图1中一个三角形面积是3，图2的大正方形面积是，求的值．
6．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题：
(1)写出图所表示的数学等式 ；
(2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ；
(3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ．
7．（24-25高一上·全国·假期作业）杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家．杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．
8．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：．
根据材料和已学知识解决下列问题
(1)因式分解：；
(2)先化简，再求值：，其中．初中阶段
高中阶段
1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意义和应用
2、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式展开与化简
1、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式的形式及完全平方公式的凑配
2、掌握立方和，立方差公式，并能灵活展开与化简
3、掌握三数和公式展开过程，并能灵活应用
衔接指引
初中阶段考查形式：选填题，信息题阅读并运用。
高中阶段考查形式：作为数学工具在代数运算中灵活应用。
利用因式分解解决代数式的最值问题
我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题．
例如：．
∵，∴，∴，
∴当时，取得最小值，最小值为2．
换元法，是指引入一个或者几个新的变量代替原来的变量，通过引入的新变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子．可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元）可以化繁为简，从而找到解题的路径．
例：若x满足，求的值．
解：令，，则，，
，，
，
．
方法提取
数学学习活动，是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子a3﹣b3进行如下推导：
．
对于，称为立方差公式．
公式推导
（1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式： ．
学以致用
（2）请灵活运用公式进行因式分解：
①______；
②______.
③______.