【01-暑假复习】初高衔接点02 根式、分式的化简（学生版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (通用版)(1)

这是一份【01-暑假复习】初高衔接点02 根式、分式的化简（学生版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (通用版)(1)，共24页。试卷主要包含了初中知识再现，高中相关知识等内容，欢迎下载使用。

1、初中知识再现
（1）二次根式的定义
一般地，形如的式子叫做二次根式.
（2）二次根式性质：
①
②
③
④
（3）分式
形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式.
（4）分式的基本性质：
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变.用式子表示为：
2、高中相关知识
（1）无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式
（2）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：.
（3）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有：
①与 ②与
（4）繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如：或等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算.
对点集训一：二次根式有意义的条件
典型例题
例题1．（2025八年级下·全国·专题练习）若成立，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
例题2．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）若，求 ．
例题3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则的算术平方根为 ．
例题4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知为有理数，求式子的值．
精练
1．（甘肃省武威二十四中联片教研2024-2025学年下学期开学检测八年级数学试卷）当实数 时，有意义．
2．（2025九年级下·湖北·学业考试）已知函数的自变量的取值范围是全体实数，则的取值范围为 ．
3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若有意义，则的取值范围是 ．
4．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ．
对点集训二：求二次根式中的参数
典型例题
例题1．（2024八年级上·北京·专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么 ．
例题2．（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值．
例题3．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）已知二次根式．
(1)求使得该二次根式有意义的的取值范围；
(2)已知是最简二次根式，且与可以合并．
①求的值；
②求与的乘积．
精练
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）最简二次根式与能合并，则 ．
2．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如果最简根式和是同类二次根式，则
3．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式．
(1)求a的平方根；
(2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值．
对点集训三：二次根式的乘法与除法及其混合运算
典型例题
例题1．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简：
(1)
(2)
(3)
(4)．
(5)
(6)；
(7)
例题2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）观察与计算：
；；
__________；__________．
像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；；
【应用】
（1）化简：
①；
②；
（2）化简：．
例题3．（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）计算：
(1)
(2)
例题4．（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）计算：
(1)；
(2)．
精练
1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
对点集训四：最简二次根式
典型例题
例题1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）将二次根式化为最简二次根式为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）已知、满足，则 ．
例题3．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？
① ② ③ ④ ⑤， ⑥
例题4．（24-25八年级上·河北保定·期末）解决下列问题：
(1)计算：；
(2)计算：．
精练
1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，，则的值为 ．
2．（2025九年级下·安徽·学业考试）计算 ．
3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）计算：
(1)
(2)
4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）计算：．
对点集训五：二次根式的加法与减法及其混合运算
典型例题
例题1．（24-25九年级上·四川乐山·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25八年级上·广西来宾·期末）计算 ．
例题3．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）计算
(1)
(2)
例题4．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）计算
(1)；
(2)．
精练
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）计算： ．
3．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）化简
(1)
(2)
4．（24-25八年级下·全国·期中）计算：
(1)．
(2)．
对点集训六：分母有理化
典型例题
例题1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
，
，
，
，
．
若，则的值为（ ）
A．5B．1C．D．
例题2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）若，，则 ．
例题3．（24-25九年级下·福建泉州·开学考试）先化简，再求值：其中．
例题4．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题：
我们可以将其进一步化简：；，
以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．
(1)根据上面规律化简：______；______；
(2)化简：．
精练
1．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）阅读与理解
周学们，你知道平方差公式吗？它实际上就，你会用吗？请阅读下列解题过程：
这实际上就是分母有理化的过程！
利用上面的解法， ．
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）若，则 ．
3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”）
4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）阅读并观察下列各式及其验证过程．
；．
验证：；
．
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：________；
(2)通过上述探究，猜想________（，且为整数）
(3)计算：
对点集训七：分式的意义
典型例题
例题1．（24-25八年级上·广西来宾·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
例题2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）关于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义B．当时，分式的值为
C．当时，分式没有意义D．当时，分式的值为
例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值；
（2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值．
例题4．（2025·广东深圳·一模）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
精练
1．（2025八年级下·全国·专题练习）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）要使分式有意义，则需满足的条件是 ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数x的值为 ．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
(1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）；
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值．
对点集训八：分式的化简求值
典型例题
1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）若实数a，b满足，，则的值等于（ ）
A．2025B．C．D．
2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
；
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
______+______．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
3．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)，其中．
4．（24-25八年级上·辽宁·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：．
(1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和；
(2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值；
(3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值．
精练
1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）化简求值：，其中．
2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）先化简再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
3．（24-25九年级下·新疆喀什·开学考试）化简：
(1)；
(2)先化简，再求值：，其中．
4．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）下面是一位同学化简代数式的解答过程：
解；原式＝
(1)这位同学的解答，在第 步出现错误，错误的原因是 ；
(2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值．
对点集训九：分式的基本性质
典型例题
例题1．（24-25七年级下·全国·期末）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的B．扩大倍
C．不变D．缩小到原来的
例题2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2025·河南郑州·一模）已知为整式，若计算的结果为，则（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若成立，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
精练
1．（2025七年级下·全国·专题练习）将分式中的的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的D．扩大为原来的3倍
2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
第02讲 根式、分式的化简(分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．
2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（ ）．
A．5B．3C．4D．7
3．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）在，，，中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025七年级下·全国·专题练习）对分式通分以后，的结果是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25八年级上·山西忻州·期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）下列分式化简错误的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若分式的值为，则 ．
12．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ．
四、解答题
13．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值．因为，所以所以，所以，所以，请根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：＝______-________．
(2)计算：．
(3)若，求的值．
14．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）化简：
(1)
(2)
15．（24-25八年级上·山东日照·期末）先化简，再求值：，其中．
16．（2025七年级下·全国·专题练习）（教材变式）先约分，再求值：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中．
B能力提升
1．（山西省长治市部分学校2025年九年级下学期中考一模数学试卷）（1）计算：
（2）下面是小明同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：以上化简步骤中第_______步是进行分式的通分，通分的依据是______________；第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．
2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）观察下列一组等式．解答后面的问题：
；
．
(1)化简：_____，_____（n为正整数）．
(2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）．
(3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：
__________．
3．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）【阅读材料】
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
【解决问题】
(1)仿照上面的解题过程，化简：__________．
(2)计算：．
(3)已知，，求的值．
4．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”
如，，则和都是“和谐分式”．
(1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(2)应用：求分式的最大值；
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．初中阶段
高中阶段
1、能熟练把二次根式化简为最简根式
2、了解分式和最简分式
3、能熟练应用分式基本性质约分和通分
1、能熟练化简分式
2、熟悉分母有理化，并能灵活应用
衔接指引
初中阶段考查形式：选择，填空题。
高中阶段考查形式：融入到代数运算中，作为基本工具。