数学七年级下册（2024）消元—解二元一次方程组第1课时学案设计

这是一份数学七年级下册（2024）消元—解二元一次方程组第1课时学案设计，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究，典型例题等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1.通过解决实际问题，结合一元一次方程的解法，掌握代入消元法的意义，发展抽象思维能力和转化迁移思想.
2.会用代入法解二元一次方程组，提高解题能力； 在解题过程中渗透代入消元法的化归思想.
【学习重点】用代入消元法解二元一次方程组.
【学习难点】探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的 消元过程.
【自主学习】
1.二元一次方程的概念是什么?
2.什么叫方程组的解?
引言：一个苹果和一个梨的质量合计 300 g,这个苹果的质量加上一个 100 g 的砝码恰好与这个梨的质量相等，问苹果和梨的质量各是多少?
【合作探究】
探究点一、平方根的概念
x+y=300 ①，x+100=y ②
问题 1：你能把方程 ① 改写成用含 x 的式子表示y的形式吗?
问题 2：你能把方程 ② 改写成用含 y 的式子表示x的形式吗?
【练一练】
1. 将以下方程用含 x 的式子表示y ，含有y的式子表示x.
(1) x - 3y = 6； (2) x + y = -2； (3) 3x + 2y = 1.
探究点二、用代入法解二元一次方程组
x+ y = 300①，x+100=y ②
问题1：在情境问题里 ①② 两个方程中的 x 和 y 所表示的意义一样吗?
问题2：把探究点一问题1 中所得的式子代入②中得到的方程是什么方程?
问题3：以上做法达到怎样的目的?
追问1：解方程 x＋100 = 300－x 的结果是什么?能否由 x 的值得出y的值?
合作探究
归纳总结:将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作___________.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程的方法称为代入消元法，称为代入法.
【典型例题】
例1 解方程组 x − y= 3 ①，3x−8y=14 ②.
例2 用代入法解方程组 3x −5y= 3 ①，2x−y=16 ②.
【练一练】
1. 解二元一次方程组：x +5y=8 ①，5x+3y=16②.
【典型例题】例3 第一次买 3 个篮球和 1 个排球共花费 380 元，第二次买 2 个篮球和 3 个排球共花费 440 元，求篮球和排球的价格分别是多少元？
【练一练】2.一种商品分装在大、小两种包装盒内，三大盒和四小盒共装108瓶,两大盒和三小盒共装76瓶大、小包装盒各装多少瓶?
【典型例题】
例4 用代入法解方程组2x −5y=−11 ①，9x+7y=39 ②.
方法归纳：用代入法解二元一次方程组，变形有技巧：
①若方程组含一个未知数表示另一个未知数的关系式，直接代入.
②当未知数系数为 1 或 －1 ，选该系数的方程变形.
③未知数系数都不是 1 或 －1 时，通常选系数绝对值较小的方程变形.
【典型例题】例5 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件. 某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120 件和 45 件，报酬为 270 元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90 件和 25 件，报酬为 185 元. 如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
课堂检测
1.用代入法解方程组 x=2y ①，y−x=3 ②，下列说法正确的是（ ）
A. 直接把①代入②，消去y B. 直接把①代入②，消去x
C. 直接把②代入①，消去y D. 直接把②代入①，消去x
2. 代入法解方程组 x−2y=7 ①，y=1−x ②时，代入正确的是( )
A. x－2－x＝7 B. x－2－2x＝7
C. x－2＋2x＝7 D. x－2＋x＝7
3.由方程组 2x+m=1 ①，m=y−3 ②可得x与y的关系是( )
A. 2x＋y＝4 B. 2x＋y＝－4
C. 2x－y＝4 D. 2x－y＝－4
4.方程组 x=3 ①，x+y=5 ② 的解是________.
5. 在2(3y－3)＝5x－4中，用含x的式子表示y，则y＝_______.
6. 解方程组：
(1) y=2x−4 ①，3x+y=1 ② (2) 2x+3y=−19 ①，x+5y=1 ②
7. 若关于x，y的二元一次方程组 2x=3y=k−3 ①，x−2y=2k+1 ②的解互为相反数，求k的值.
参考答案
【自主学习】
(1)每个方程都含有两个未知数 (x和y)，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程.
(2)二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
引言 解：设苹果的质量为 x g，梨的质量为y g.可得x+y=300①x+100=y②
【合作探究】
探究点一、用一个未知数表示另外一个未知数
问题1 y = 300 - x 问题2 x = y -100
【练一练】(1) x = 3y + 6；y = 1/3 x -2 .(2) x = -2 - y y = -2 -x . (3) x = 1/3 - 2/3 y；y = 1/2 - 3/2 x .
探究点二、用代入法解二元一次方程组
问题1 一样 问题2 把 y = 300-x 代入②，得x+100 = 300-x .一元一次方程
问题3 消去未知数 y，把二元一次方程组转化成一元一次方程.
追问1 可以解出x的值，可以将x的值代入另外一个方程就可以求出y的值
总结 消元思想
【典型例题】
例1 x=2 ①y=−1② 例2 x=11 ①y=6 ② 【练一练】1.x=2 ①y=2②
例3.解：设篮球单价为 x元，排球单价为 y 元，依题意得3x+y=380 ①2x+3y=440②
解得：x=100①y=80② ，答：篮球的价格是 100 元，排球的价格是 80 元.
【练一练】2.解：设大包装有 x 瓶，小包装为 y 瓶，依题意得： 3x+4y=108①2x+3y=76②
解得：x=20①y=12② ，答：大包装有 20 瓶，小包装为 12 瓶.
例4. x=3 ①y=2②
例5.解：设这名快递员每送一件的报酬是 x 元，每揽一件的报酬是 y 元.
可得 120x+45y=270①90x+25y=185② 解得 x=1.5 ①y=2 ②
答：这名快递员每送一件的报酬是 1.5 元，每揽一件的报酬是 2 元.
课堂检测
1.B 2.C 3.A
4. x=3 ①y=2 ② 5. y=56x+13
6. (1) x= 1 ①y=−2 ② (2) x=−14 ①y=3 ②
7.解：由题意得y＝－x，则原方程组可化为 x=−k+3 ③3x=2k+1④ ，将③代入④中，得3(－k＋3)＝2k＋1，解得k＝8/5 .