2025-2026学年江苏省南菁高级中学高二上学期10月阶段考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省南菁高级中学高二上学期10月阶段考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l过点A(1,2)，B(3,4)，则直线l的倾斜角为( )
A. -π6B. -π3C. π4D. π3
2.已知直线l1:x-2ay-1=0和直线l2:(3a-1)x-ay+1=0，则a=16是“l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.如图所示，在三棱锥A-BCD中，O为CD的中点，设BA=a，BC=b，
BD=c，则AO=( )
A. -a+12b+12cB. a-b+12c
C. -b+12a+12cD. -c+12b+12a
4.已知空间向量a=(1,2,0),b=(0,-1,1),c=(2,3,m)，若a,b,c共面，则实数m=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.若平面α的一个法向量为n=(2,1,1)且该平面过点A(6,3,0)，则点P(5,1,5)到平面α的距离为( )
A. 39B. 66C. 33D. 63
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与A1C1所成角的余弦值为( )
A. -120B. - 1010C. 1010D. 120
7.如图，已知AB和CD是圆O的两条互相垂直的直径，将平面ABC沿AB翻折至平面ABC'，使得平面ABC'⊥平面ABD，此时直线AB与平面C'BD所成角的余弦值为( )
A. 63B. 33C. 22D. 32
8.正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1= 3，O为BC的中点，M为棱B1C1上的动点，N为棱AM上的动点，且MNMO=MOMA，则线段MN长度的取值范围为( )
A. 3 64, 7B. 62,4 77C. 34,4 77D. 3, 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 点(0,1)关于直线y=x的对称点为(1,0)
C. 直线x-y-3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
10.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP=λBB1+μBC,λ∈[0,1],μ∈[0,1]，则下列说法正确的是( )
A. 若λ=μ，则DP//平面AB1D1
B. 若λ=2μ，则点P的轨迹长度为 52a
C. 若μ=1，则存在λ，使DP⊥A1P
D. 若μ=12，则存在λ，使A1C⊥平面DPB
11.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，AB，AD，AA1两两所成夹角均为60°，点E，F分别在棱BB1，DD1上，且BE=2B1E，D1F=2DF，则( )
A. |EF|= 103B. AA1在AC1方向上的投影向量为13AC1
C. A，E，C1，F四点共面D. 直线AC1与EF所成角的余弦值为 1515
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1：mx+3y+1=0与直线l2：2x+(m+5)y-4=0互相垂直，则它们的交点坐标为 ．
13.已知点D是▵ABC所在平面内的任意一点，O是平面ABC外的一点，满足OD=1xOA+1yOB-3OC(x>0,y>0)，则4x+9y的最小值是 ．
14.已知空间向量a，b，c两两的夹角均为60°，且a=b=2，c=6.若向量x，y分别满足x⋅x+a-b=0与y⋅c-8=0，则x-y的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面内两点A(6,-6)，B(2,2)．
(1)求过点P(1,3)且与直线AB垂直的直线l的方程；
(2)若C(3,2)，求▵ABC的边AB上的中线CD所在直线方程；
16.(本小题15分)
已知ABCD是正方形，直线AE⊥平面ABCD，且AB=AE=1．
(1)求异面直线AC,DE所成的角；
(2)求二面角A-CE-D的大小．
17.(本小题15分)
已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1．
(1)求直线l所过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，∠ACB=90°，AA1=2，A1到平面BCC1B1的距离为1．

(1)证明：A1C=AC；
(2)设点P，Q分别在直线AA1和BC上移动，求PQ长的最小值；
(3)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
如图1，在平行四边形ABCD中，D=60°,DC=2AD=2，将▵ADC沿AC折起，使点D到达点P位置，且PC⊥BC，连接PB得三棱锥P-ABC，如图2．
(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；
(2)在线段PC上是否存在点M，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为58，若存在，求出|PM||PC|的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.A
5.B
6.C
7.A
8.B
9.AB
10.ABD
11.BCD
12.76,56
13.254
14.13
15.解：(1)由点A(6,-6),B(2,2)，得直线AB的斜率kAB=-6-26-2=-2，
由直线l⊥AB，得直线l的斜率为-1kAB=12，而直线l过点P(1,3)，
所以直线l的方程为y-3=12(x-1)，即x-2y+5=0．
(2)由点A(6,-6),B(2,2)，得边AB的中点D(4,-2)，而点C(3,2)，
则直线CD的斜率kCD=-2-24-3=-4，方程为y-2=-4(x-3)，即4x+y-14=0，
所以中线CD所在直线方程为4x+y-14=0．

16.解：(1)由于AE⊥平面ABCD，AB,AD⊂平面ABCD，
所以AE⊥AB,AE⊥AD．
四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD，
故AB,AD,AE两两垂直，
以A为原点建立空间直角坐标系，
C(1,0,1),E(0,1,0),D(1,0,0),DE=(1,-1,0),CE=(-1,1,-1)，
设异面直线AC,DE所成的角为α，0° 1，
令y=0，得x=13-2a>0，得a