2025-2026学年江苏省南京师范大学附属中学高二上学期10月阶段测试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省南京师范大学附属中学高二上学期10月阶段测试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(2+i)z=3-4i，则|z|=( )
A. 2B. 5C. 5D. 10
2.直线l1经过A(0,0),B 3,1两点，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角大小的2倍，则l2的斜率为( )
A. 3B. - 3C. 33D. - 33
3.已知α,β均为锐角，且sin(α+β)=2sin(α-β)，则tanαtanβ=( )
A. 13B. 12C. 2D. 3
4.在古典概型中，我们记某事件C含有的样本点个数为n(C)，若一个古典概型的样本空间Ω和事件A,B满足nΩ=12,n(A)=6,n(B)=4,n(A+B)=8，则事件A与事件B( )
A. 是互斥事件，不是独立事件B. 不是互斥事件，是独立事件
C. 既是互斥事件，也是独立事件D. 既不是互斥事件，也不是独立事件
5.若动点A，B分别在直线l1：x+y–7=0和l2：x+y–1=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A. 3 22B. 3 2C. 2 2D. 2 3
6.点A(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ为任意实数)的距离的最大值为( )
A. 2B. 2 2C. 11D. 13
7.若圆C:(x-2 7)2+(y+2 3)2=r2(r>0)与y轴相切，则这个圆截x轴所得的弦长为( )
A. 4B. 2 7C. 8D. 4 3
8.已知不同的两点Ax1,y1,Bx2,y2在曲线y= -(x-2)2+1上，且满足y1+1x1=y2+1x2，则直线AB斜率的取值范围是( )
A. 0, 33B. 1,43C. 33,1D. 1,54
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲､乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如下图，根据这7天的数据，则下列说法正确的是( )
A. 乙城市日均气温的极差为3∘C
B. 乙城市日均气温的众数为24∘C
C. 甲城市日均气温的中位数与平均数相等
D. 甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定
10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,D,E分别是棱A1C1,A1B1的中点，则( )
A. 平面CDB1
B. 平面CDB1与平面A1B1C1夹角的余弦值为 55
C. 三棱锥B1-A1BC的体积为43
D. 若正三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在球O上，则球O的表面积为283π
11.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(2,0)，点Pkk∈N*满足PkAPkB=k，设点Pk所构成的曲线为Ck.则下列说法正确的是( )
A. C1是一条直线
B. P1P2的最小值为13
C. 当k≥2时，Ck围成的图形面积的最大值为649π
D. ∀m>n≥2，且m,n∈N*,Cm与Cn无公切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b满足a=(2,-2),b=3,a⋅b=-6，则a与b的夹角为 ．
13.已知圆C1：(x-3)2+(y+2)2=1与圆C2：(x-7)2+(y-1)2=50-a，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于
14.已知圆C1:x2+y2-8x-8 3y+56=0，半径为2 2的圆C2的圆心沿着直线 3x-y=0自下往上运动，若当圆C1和圆C2相交于A,B两点，且第一次使得C1C2=AB时，则两圆的公共弦所在的直线方程为 ．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC．
(1)求A；
(2)若 2a+b=2c，求sinC．
16.(本小题12分)
已知光线通过点A(2,4)，经直线l:x-2y+1=0反射，其反射光线通过点B(6,6)．
(1)求反射光线所在直线的方程；
(2)若圆M经过A,B两点，且与直线l相切，求圆M的方程．
17.(本小题12分)
已知在平面直角坐标系xOy中，A(1,0),B(5,8)，点P满足PA⋅PB=-16，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)若经过点(2,1)的直线l1与C相交于点E,F，且|EF|=2 3，求直线l1的方程；
(3)已知l2:x+2y+2=0.若直线l3经过点A且与C相交于P,Q两点，线段PQ的中点为M,l2与l3的交点为N，证明：|AM|⋅|AN|为定值，并求出该定值．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.B
5.C
6.D
7.C
8.B
9.BC
10.ABD
11.ACD
12.3π4/135∘
13.34或14
14.x+ 3y-12=0
15.【详解】(1)sinB-sinC2=sin2B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC，
即：sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，
由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc，
∴csA=b2+c2-a22bc=12，
∵A∈(0,π)，∴A=π3．
(2)[方法一]正弦定理+两角和差正余弦
由(1)知，B+C=2π3，所以由 2a+b=2c，
得 2sinA+sin2π3-C=2sinC，
整理得 32sinC-12csC= 22，即sinC-π6= 22．
又C∈0,2π3,C-π6∈-π6,π2，所以C-π6=π4，即C=π6+π4，
则sinC=sinπ6+π4= 6+ 24．
[方法二]正弦定理+方程思想
由 2a+b=2c，得sinB=2sinC- 2sinA=2sinC- 62，
代入(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC，
得sinC- 622=34-2sinC- 62sinC，
整理得4sin2C-2 6sinC+1=0，则sinC= 6± 24．
由sinB=2sinC- 62>0，得sinC> 64，
所以sinC= 6+ 24．
[方法三]余弦定理
令ca=t.由b=2c- 2a,b+c>a，得t> 2+13．
将b=2c- 2a代入b2+c2-a2=bc中，可得3c2-3 2ac+a2=0，
即3t2-3 2t+1=0，解得t=3 2+ 66或t=3 2- 66(舍去)．
所以t=ca=sinCsinA=3 2+ 66，
从而sinC= 6+ 24．
[方法四]摄影定理
因为2c= 2a+b，所以c= 22a+12b=acs45°+bcs60°，
由射影定理得∠C=180°-45°+ 60°=75°，
所以sinC=sin75°= 2+ 64．
【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解sinC的值；
方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得sinC的值；
方法三：利用余弦定理求得t=ca的值，然后结合正弦定理可得sinC的值；
方法四：利用摄影定理求得∠C的值，然后由两角和差正余弦公式求解sinC的值；
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系．

16.【详解】(1)解：设A关于l的对称点为A'(m,n)，
则n-4m-2=-2m+22-2×n+42+1=0，解得m=4,n=0，即A'(4,0)，
因为B(6,6)，所以反射光线所在直线方程为y=6-06-4(x-4)，即y=3x-12．
(2)解：方法1：因为直线AB的斜率为12，AB中点为(4,5)，
所以直线AB的中垂线方程为y-5=-2(x-4)，即y=-2x+13．
设圆心M的坐标为(t,13-2t)，则t-2(13-2t)+1 5= (t-2)2+(9-2t)2，解得t=4，
所以圆心M(4,5)，半径为 5，所以圆M的方程为(x-4)2+(y-5)2=5．
方法2：由A(2,4),B(6,6)，可得直线AB的斜率为kAB=12，所以AB//l，
又由直线AB的方程为x-2y+6=0，所以AB与l间的距离为|6-1| 5= 5，
设圆M与直线l的切点为T，TM⊥l，设直线TM与AB的交点为S，则S为AB的中点，
因为AB=2 5，ST= 5，故AT⊥BT，故AB为直径，所以点M为AB中点，
所以圆心M(4,5)，半径为 5，
所以所求圆M的方程为(x-4)2+(y-5)2=5．

17.【详解】(1)解：设P(x,y)，因为点A(1,0),B(5,8)且PA⋅PB=-16，
所以(x-1)(x-5)+y(y-8)=-16，即(x-3)2+(y-4)2=4，
所以P的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=4．
(2)解：由(1)知C:(x-3)2+(y-4)2=4，圆心为C(3,4)，半径为r=2，
因为|EF|=2 3，设圆心C到l的距离d，可得2 3=2 r2-d2，解得d=1，
当l1斜率不存在时，l1方程：x=2，此时d=1，满足题意；
当l1斜率存在时，设l1方程：y=k(x-2)+1，即kx-y-2k+1=0，
则d=|k-3| k2+1=1，解得k=43，此时l1:y=43x-53．
综上可得，直线l1的方程为x=2或y=43x-53．
(3)解：当l3斜率不存在时，此时l3与圆C相切，不符合题意，
所以l3斜率存在，设直线l3的斜率为k，则l3:y=k(x-1)，且P(x1,y1),Q(x2,y2)
联立方程组y=k(x-1)(x-3)2+(y-4)2=4,
整理得k2+1x2-2k2+8k+6x+k2+8k+21=0，
令Δ=2k2+8k+62-4(k2+1)k2+8k+21=0>0，解得k>34，
且x1+x2=2k2+8k+6k2+1，所以Mk2+4k+3k2+1,4k2+2kk2+1，
又由y=k(x-1)x+2y+2=0，解得x=2k-22k+1,y=-3k2k+1，所以N2k-22k+1,-3k2k+1，
因为A,M,N均在直线l3上，且AM=4k+2k2+1,4k2+2kk2+1,AN=-32k+1,-3k2k+1
所以|AM||AN|=AM⋅AN=4k+2k2+1⋅-32k+1+4k2+2kk2+1⋅-3k2k+1=-6k2+1k2+1=6．