人教版（2024）七年级上册数学期末综合能力测试卷（含答案解析）

这是一份人教版（2024）七年级上册数学期末综合能力测试卷（含答案解析），共20页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
满分120分 时间120分钟
班级___________ 姓名___________ 学号___________
一、解答题（共120分）
1．（本题6分）计算：
(1)；(2)．
2．（本题6分）计算：
(1)．(2)．
3．（本题6分）已知：，且．
(1)求；(2)若，求的值．
4．（本题6分）为了迎接国家对恩施市教育“均衡验收”，某初中学校急需添置960套课桌椅，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙工厂每天加工的课桌椅套数是甲工厂每天加工课桌椅套数的倍，甲工厂加工完这批课桌椅比乙工厂多用20天．在费用方面需支付甲工厂每天80元，支付乙工厂每天130元．
(1)求甲、乙两个工厂每天各能加工多少套课桌椅？
(2)距离“均衡验收”只有50天时间了，为了在验收前新课桌椅能及时到位，学校制定课桌椅加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家同时合作完成，在加工过程中，学校需派一名管理人员每天到厂进行监督与指导，并负担每天5元的午餐补助费．请帮助学校选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
5．（本题8分）某车间为提高生产总量，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的倍多人．
(1)求调整后车间共有多少名工人；
(2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产个螺栓或个螺母，个螺栓需要个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
6．（本题8分）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．
【解决问题】
（1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为___________；（用含，的式子表示）
（2）若代数式的值为5，求代数式的值；
【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题：
已知，的值为最大的负整数，求的值．
7．（本题8分）如图，点C在线段上，点O是线段的中点，点E在线段上，且，．

(1)若，求的长：
(2)若，点D在线段上且，则______（用含m的代数式表示）
8．（本题8分）一位老牧羊人，所有儿子都成了家．一天，病重老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你两头羊，其余羊的给你妻子；往下，每个弟弟都比他最小哥哥多分一头羊，其余羊的给他妻子．”说着，老人就咽气了．已知最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．那么，老人一共有几个儿子，几头羊？
9．（本题8分）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒．
(1)求a，b，c的值；
(2)当 秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数；
(3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值．
10．（本题8分）小真、小善和小美三人是好朋友，同住幸福小区．为了鼓励节约用水，幸福小区对自来水的收费标准作如下规定：
另外：每立方米收污水处理费1元．
(1)月小真家用水立方米，交费 ___________元；小善家用水立方米，交费 ___________元．
(2)幸福小区某个家庭用水量记为x立方米，请列式表示应交费___________元？
(3)已知小美家月份缴水费元，他家月用水多少立方米？
11．（本题8分）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案：
(1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元；
(2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元；
(3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？
12．（本题8分）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为元．每盒坚果礼盒的成本为元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多元，售卖个水果篮获得的利润和售卖盒坚果礼盒获得的利润一样多．
(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；
(2)该水果店第一批购进了个水果篮和盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利元，按此计划每个水果篮应打几折出售？
(3)在年末时，该水果店购进水果篮个和坚果礼盒盒，进行“新春特惠”促销活动，水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒．水果篮每个售价打九折后再参与店内“每满元减元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满元减元”的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有个没办法售出．若该水果店获得的利润率为，求的值．
13．（本题8分）【阅读】
求值
解：设 ①
将等式①的两边同时乘以2得：②
由②-①得：，
即：
【运用】
仿照此法计算：(1)；(2)．
【延伸】
如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为 选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形， ，依次操作2024次，依次得到小正方形 ．
完成下列问题：
(3)小正方形的面积等于 ；
(4)求正方形的面积和．
14．（本题8分）【基础演练】：观察下列等式
，，，
将以上三个等式两边分别相加得：
．
（1）猜想并写出：_____________
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①__________________________________；
②________________________________________．
【举一反三】：（3）探究并计算：．
【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此，
所以．．
仿照上面推理计算：求的值；
15．（本题8分）我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题：
(1)若都是有理数，，且，求的值；
(2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值；
(3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？
16．（本题8分）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为．
(1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____；
(2)若，则_____；
(3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：．
参考答案
1．(1)4；(2)2
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，
（1）先计算乘方，再算括号内的，然后计算除法，最后计算有理数的加减法；
（2）根据乘法分配律计算，求绝对值，再计算有理数的加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．(1)；(2)0
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算乘方、绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可；
（2）先去括号，再利用加法运算律简便计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．(1)；(2)12
【分析】此题主要考查了整式的化简求值，以及非负数的性质，关键是注意去括号时符号的变化问题．
（1）把表示A、B的式子代入，去括号，然后再合并同类项即可；
（2）首先根据非负数的性质可得x、y的值，再把x、y的值代入化简后的式子求值即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
∴，
∴，，
原式
4．(1)甲工厂每天能加工16套，乙工厂每天能加工24套
(2)选择甲、乙两家工厂合作完成这批课桌椅比较合适，理由见解析
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．
（1）设甲工厂每天能加工x套课桌椅，则乙工厂每天能加工套课桌椅，等量关系为：甲工厂单独加工完成这批产品的天数=乙工厂单独加工完这批产品的天数．
（2）比较三种方案的价钱及相应的天数．
【详解】（1）解：设甲工厂每天能加工x套课桌椅，则乙工厂每天能加工套课桌椅，
依题意得：，
解得：，
检验：是原方程的一个解．
答：甲工厂每天能加工16套，乙工厂每天能加工24套．
（2）解：甲工厂单独完成需（天），不符合题意；
乙工厂单独完成需（天），所需费用为（元）；
设他们合作完成这批课桌椅所用时为y天，
则：，
解得：，
所需费用为（元）．
∵，
∴选择甲、乙两家工厂合作完成这批课桌椅比较合适．
5．(1)名
(2)名工人生产螺栓，名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套
【分析】本题考查一元一次方程的应用，
（1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍多人”得：，求解即可；
（2）设名工人生产螺栓，由“个螺栓需要个螺母”，可得，求解即可；
解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
【详解】（1）解：设调入名工人，
根据题意得：，
解得：，
∴调入名工人，
∴（名），
答：调整后车间共有名工人；
（2）设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，
∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，
∴，
解得：，
∴（名），
答：名工人生产螺栓，名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．
6．（1）；（2）19；灵活运用：17
【分析】本题考查了整体思想，合并同类项，负整数，理解题意，熟练掌握整体思想是解题的关键．
（1）令，则原式化为，然后合并同类项，最后将代入即可；
（2）将变形为，然后整体代入求值即可；
灵活运用：由题意得出，结合即可得出，将化简，然后代入求值即可．
【详解】解：（1）令，
则
，
故答案为：；
（2）由题意得，，
∴，
∴
；
灵活运用：∵的值为最大的负整数，
∴①，
∵②，
②①，得，
∴
．
7．(1)；(2)
【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段的中点的定义，一元一次方程，正确作图，熟练运用线段的加减是解决此题的关键．
（1）设，则可得，可利用列方程，即可解答；
（2）用表示的长，再利用，表示出的值，即可解答．
【详解】（1）解：设，，
点C在线段上，点是线段的中点，
，，
，
，
根据，
可得，
解得，
；
（2）解：，，
，
，
，
∵点是线段的中点，
∴，
，
故答案为：．
8．老人一共有7个儿子，56头羊
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设老人一共有只羊，根据每个弟弟都比他最小哥哥多分一头羊，其余羊的给他妻子，每个小家庭却分到相同多的羊，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设老人一共有只羊，由题意，得：老大家庭和老二家庭分到相同多的羊，
可列方程为：，
解得：，
，
，
答：老人一共有7个儿子，56头羊．
9．(1)，，14；(2)22，11；(3)或15
【分析】（1）根绝绝对值的非负性求解；
（2）根据数轴上两点间距离公式计算出，根据线段的运动速度及方式确定点P与点C重合时点N所在位置；
（3）在运动过程中：点P所表示数为：，点Q的起始位置所表示数为：，分，，三个阶段，表示出点Q所表示的数，根据列绝对值方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，，，
∴，，，
∴，，；
（2）解：当秒时，点P与点C重合，
∵A所表示数为，C所表示数为14，
∴，
∴点P从A运动到点C所用时间为：（秒），
故答案为：22；
线段的运动时间为（秒），
线段从B运动到C所用时间为：（秒），
∵数轴上点N起始位置所表示数为：，
∴线段运动17秒后，点N所表示数为：；
（3）解：点Q的起始位置所表示数为：；
在运动过程中：点P所表示数为：，
①当，即时，点Q第一次由B向C运动，
点Q所表示数为：，
，
解得（舍去）或（舍去）；
②当，即时，点Q第一次由C向B运动，
点Q所表示数为：，
即：，
解得或；
③当，即时，点Q第二次由B向C运动，
点Q所表示数为：，
，
解得（舍去）或（舍去），
综上所述：t的值为或15．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解一元一次方程的应用，数轴上两点间距离公式，绝对值的非负性等，难度较大，用含t的式子表示出不同阶段点Q所表示的数是解题的关键．
10．(1)，；(2)；(3)小美家月用水立方米
【分析】（1）用水量在的供水价格加污水处理费用，即可求得小真家的交费金额，用水量为立方米的供水价格加污水处理费用与用水量的供水价格加污水处理费用，即可求得小真家的交费金额；
（2）当用水量时，可求得应交费用为
（3）由（2）知，小美家月份用水量超过立方米，设小美家月用水立方米，可得到方程，即可求得小美家月份用水量
【详解】（1）∵月小真家用水立方米，
∴小真家交费为：（元）
∵小善家用水立方米，
∴小善家交费为：（元）
故答案为：，
（2）当时，应交费用为：
（元）
故答案为：
（3）由（2）知，当用水量为立方米时，应交费用为：（元），
∵，
∴小美家月份用水量超过立方米，
设小美家月用水立方米，
∴，
整理得：，
解得：，
答：小美家月用水立方米
【点睛】本题考查了电费和水费问题(一元一次方程的应用)及有理数的混合运算，解题的关键是：根据数量关系，正确列出一元一次方程
11．(1)270；(2)1050；(3)10人；40人
【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键．
（1）根据题意，列出算式计算即可；
（2）根据题意，列出算式计算即可；
（3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可．
【详解】（1）解：元．
答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元；
（2）解：元．
答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元；
（3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．
分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即，
则可列方程为：，
解得：，符合题意，
人
所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人．
②非学生乘客若未达到团购人数，即，
则可列方程为：，
解得：，不符合题意舍去．
综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人．
12．(1)每个水果篮售价元，坚果礼盒售价元；(2)计划每个水果篮应打折出售；(3)的值为
【分析】（1）设买水果篮售价元，坚果礼盒售价元，根据等量关系：售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多，即可列出方程，解方程即可；
（2）设计划每个水果篮应打折出售，列出方程，即可得出答案；
（3）根据方案，得出实际水果篮售价元，坚果礼盒售价元，再根据该水果店获得的利润率为40%，列出方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设买水果篮售价元，坚果礼盒售价元，依题意得：
，
解得：．
∴．
答：每个水果篮售价元，坚果礼盒售价元．
（2）设计划每个水果篮应打折出售，依题意得：
，
解得：，
答：计划每个水果篮应打折出售．
（3）∵，
∴实际水果篮售价元，坚果礼盒售价元，
∴，
∴．
答：的值为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键．
13．(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】本题主要考查图形和数字的变化规律，明确题意，发现图形和数字得变化规律是解题的关键．
（1）仿照阅读材料求解即可；
（2）仿照阅读材料求解即可；
（3）根据有理数乘方的意义，表示出，然后寻找到规律即可解答．
（4）根据(1)的方法，进行计算即可．
【详解】（1）解：设①
将等式①的两边同时乘以3得： ②
由②-①得：，
∴，即．
（2）解：设①，
将等式①的两边同时乘以，得：②，
由①-②得：，
∴，即；
（3）解：；
故答案为：；
（4）解：根据题意得：①
设，
可得：②，
①-②得：，
∴
∴．
14．（1）；（2）①；②；（3）；（4）
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，数字的变化规律．
（1）根据，，找到规律可得出答案；
（2）①根据规律裂项后代入计算即可得出答案；
②根据规律裂项后代入计算即可得出答案；
（3），其他项都类似计算后，代入抵消计算即可得答案；
（4）设，则，进而得，由此可得出答案．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
故答案为：；
（2）①
；
②
；
（3）
；
（4）设，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．(1)的值是10或4；(2)的值为2或−2；(3)的值可能是或．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的性质等知识点，
(1)根据,都是有理数，,,且,可以得到、的值，然后代入所求式子计算即可；
(2)根据都是非零的有理数，且满足同号，可知或,然后代入所求式子计算即可；
(3)根据a,b,c都是有理数，且,可知中三正或一正两负，然后代入所求式子计算即可；
熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】（1）解：都是有理数,,且，
或,
当时，，
当时，；
∴由上可得，的值是10或4；
（2）解：都是非零的有理数，且满足同号，
,或,,
当时，，
当时，，
∴由上可得，的值为2或−2；
（3）解：都是有理数，且,
中三正或一正两负，不妨设或,
当时，，
当时，，
∴由上可得，的值可能是或．
16．(1)，，；(2)或；(3)
【分析】（）根据数轴解答即可求解；
（）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解；
（）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可；
本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：由数轴可得，，，，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：∵，
∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，
∵，
∴数不可能在与之间，
当在左侧时，则，
解得；
当在右侧时，则，
解得；
∴或，
故答案为：或；
（3）解：由数轴可得，，，
∴，，，，
∴原式
．
用水量（立方米）
的部分
以上的部分
费用（元/立方米）
乘客
优惠方案
学生
凭学生证票价一律打六折；
非学生
10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折．