2025-2026学年广东省部分学校高二上学期10月上进联考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年广东省部分学校高二上学期10月上进联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若过点A(-1,0)，B(2,m)的直线的倾斜角为π6，则m=( )
A. 12B. 3 3C. 33D. 3
2.在空间直角坐标系O-xyz中，若点P(a-1，a，a+2)在平面yOz内，则|OP|=
A. 5B. 10C. 13D. 10
3.若A(1,0)，B(-1,1)，C(a,b)三点共线，则( )
A. a+2b-1=0B. a+2b+1=0C. a-2b-1=0D. a-2b+1=0
4.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量a=(2,3,-1)，向量b=(m,1,5)与平面α平行，则m=
A. -1B. 1C. -2D. 2
5.已知A(3,1)，B(-2,2)，若点C在y轴负半轴上，且∠ACB=π2，则点C的纵坐标为( )
A. -1B. -2C. -3D. -4
6.若向量OP在基底{a,b,c}下的坐标为(4,3,-1)，则向量OP在基底{a+2b,2a-b,c}下的坐标为( )
A. (10,5,-1)B. (2,1,-1)C. (-2,-1,1)D. (7,1,-1)
7.已知点A，B，C，D是空间中四点，点M，N分别为AB，CD的中点，则( )
A. 对任意点A，B，C，D恒有AD+BC=MN
B. 当且仅当点A，B，C，D共面时AD+BC=MN
C. 对任意点A，B，C，D恒有AD+BC=2MN
D. 当且仅当点A，B，C，D共面时AD+BC=2MN
8.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2 2，若AA1+2xAB-yAD的最小值为 2，则点C到直线AA1的距离为( )
A. 43B. 2C. 4 63D. 2
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是
A. 任意一条直线的倾斜角都存在
B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限
C. 两条平行的直线一定有相等的斜率
D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角
10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则( )
A. AB⋅CD=AB2
B. BD⋅AA1=0
C. AB1⋅B1D1>0
D. 当n为平面AB ​1 D ​1的法向量时，|n⋅AB||n|= 33|AB|
11.在空间直角坐标系O-xyz中，经过点P(x0,y0,z0)，且一个法向量为n=(a,b,c)的平面的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.若平面α的方程为x-y-z=0，平面β的方程为kx+2y-z=6，则( )
A. 对任意k∈R，α，β不平行
B. 存在k∈R，使得α，β垂直
C. 当α，β夹角的余弦值为 39时，k=2
D. 不存在k∈R，使得α，β的夹角在区间π6,π4内
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.与向量a=(2,1,-2)同向的单位向量的坐标为 ．
13.如图，在正三棱锥A-BCD中，以BC的中点E为原点，直线EC，ED分别为x，y轴，过点E与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系．若A(a,1,3)，则二面角A-CD-B的正切值为 ，三棱锥A-BCD的体积为 ．
14.已知在空间直角坐标系O-xyz中，A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，动点P满足OP=2aOA+bOB+cOC，其中a，b，c∈[0,1]，且a+b+c=1，则点P轨迹的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知直线l经过点A(-1,2)，B(1,m).
(1)若l'斜率为2，且l//l'，求m；
(2)若l'的一个方向向量的坐标为(-1,3)，且l⊥l'，求m．
16.已知空间三点A(1,0,-2)，B(2,1,0)，C(-1,-1,1)．
(1)若O为原点，求异面直线OA与BC所成角的余弦值；
(2)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1，点E满足AE=13EB，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用a，b，c表示A1C，D1E；
(2)若AC=AD1= 2，AC⋅AD1=12，求|2a+c|与D1E的值．
18.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为A1B的中点．
(1)若DE⋅A1B=0，证明：AE⊥A1B；
(2)若以点A为坐标原点，AB，AD，AA1的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，其中A1B=(4,0,-4)，A1D⋅BD=25．
(ⅰ)求点C1的坐标；
(ⅱ)求点C1到平面A1BD的距离．
19.如图所示的几何体由三棱锥P-ABC及三棱锥Q-ABC组成，其中△ABC是边长为2 3的正三角形，且△PBC，△QBC均由△ABC绕BC旋转得到，点D为BC的中点．
(1)证明：直线AD与直线PQ共面;
(2)已知AP=3，AQ=3 2．
(ⅰ)若点A，B，D，Q都在球O的表面上，求球O的表面积;
(ⅱ)求直线BP与平面ACQ所成角的正弦值．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.B
5.A
6.B
7.C
8.C
9.AD
10.BD
11.ABD
12.23,13,-23
13.3；3 3
14.2 3
15.解：(1)因为直线l经过点A(-1,2)，B(1,m)，所以直线l的斜率为m-21-(-1)=m-22，
因为l'的斜率为2，且l//l'，所以m-22=2，解得m=6．
(2)因为l'的一个方向向量的坐标为(-1,3)，
所以l'的斜率为3-1=-3，
由(1)知直线l的斜率为m-22，
因为l⊥l'，所以m-22⋅(-3)=-1，解得m=83．
16.解：(1)因为O(0,0,0)，A(1,0,-2)，B(2,1,0)，C(-1,-1,1)，
所以OA=(1,0,-2)，BC=(-3,-2,1)，
设异面直线OA与BC所成的角为θ，
则csθ=|OA⋅BC||OA||BC|=|1×(-3)+0×(-2)-2×1| 5× 14= 7014，
所以异面直线OA与BC所成角的余弦值为 7014．
(2)解法一：因为A(1,0,-2)，B(2,1,0)，C(-1,-1,1)，所以AB=(1,1,2)，AC=(-2,-1,3)，
所以AB在AC上的投影向量的模为d=|AB⋅AC||AC|=3 14，
所以点B到直线AC的距离h= |AB|2-d2= 6-914=5 3 14，
所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为h⋅|AC|=5 3 14× 14=5 3．
解法二：因为A(1,0,-2)，B(2,1,0)，C(-1,-1,1)，所以AB=(1,1,2)，AC=(-2,-1,3)，
所以|AB|= 6，|AC|= 14，cs∠BAC=AB⋅AC|AB||AC|=3 6× 14= 328，
所以sin∠BAC= 1-cs2∠BAC= 1-328=5 714，
所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为|AB||AC|sin∠BAC= 6× 14×5 714=5 3．
解法三：因为A(1,0,-2)，B(2,1,0)，C(-1,-1,1)，所以AB=(1,1,2)，AC=(-2,-1,3)，
所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为
|AB→||AC→|sin⁡∠BAC= AB2AC2(1-cs2∠BAC)= AB→2AC→2-(AB→⋅AC→)2= 6×14-9=5 3．
17.解：(1)A1C=AC-AA1=AB+AD-AA1=a+b-c，
因为AE=13EB=13(AB-AE)，
所以AE=14AB，所以D1E=AE-AD1=14AB-AD-AA1=14a-b-c．
(2)因为AC=AD1= 2，所以|AC|=|a+b|= 2，
平方可得a2+2a·b+b2=1+2a·b+1=2，所以a·b=0，
同理可得b·c=0，
因为AC⋅AD1=(a+b)⋅(b+c)=b2+a·b+a·c+b·c=1+a·c=12，
所以a·c=-12，
所以|2a+c|= 4a2+4a⋅c+c2= 4-2+1= 3，
D1E=|D1E|=|14a-b-c|= (14a-b-c)2
= 116a2+b2+c2-12a·b-12a·c+2b·c= 116+1+1-0+14+0= 374．
18.解：(1)证明：因为DE⋅A1B=0，
所以DE⊥A1B，
在长方体ABCD-A1B1C1D1中AD⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，
所以AD⊥A1B，
因为AD∩DE=D，AD，DE⊂平面ADE，所以A1B⊥平面ADE，
因为AE⊂平面ADE，所以AE⊥A1B.
(2)
(i)解：设AB=a，AD=b，AA1=c，
则在所给坐标系中可得以下各点坐标：
B(a,0,0)，D(0,b,0)，A1(0,0,c)，C1(a,b,c)，
所以A1B=(a,0,-c)=(4,0,-4)，a=4，c=4，
A1D=(0,b,-c)，BD=(-a,b,0)，
A1D⋅BD=b2=25，
解得b=5，
所以C1(4,5,4)．
(ii)解：设平面A1BD的法向量n=(x,y,z)，
A1B=(4,0,-4)，BD=(-4,5,0)，
则n⋅A1B=0,n⋅BD=0,即4x-4z=0,-4x+5y=0,
不妨取x=5，可得n=(5,4,5)，
又A1C1=(4,5,0)，
所以点C1到平面A1BD的距离为|n⋅A1C1||n|=|5×4+4×5+5×0| 52+42+52=20 6633．
19.(1)证明：连接PD，QD，因为△ABC，△PBC，△QBC都是正三角形，且D为BC的中点，
所以AD⊥BC，PD⊥BC，QD⊥BC，
所以AD，PD，QD都在过点D与BC垂直的平面上，
所以A，D，P，Q共面，所以AD，PQ共面．
(2)解：由(1)知，AD⊥BC，QD⊥BC，
因为AD=QD= 32BC=3，AQ=3 2，
所以AD2+QD2=AQ2，所以AD⊥QD，
所以DA，DB，QD两两垂直．
以D为原点，DA，DB，QD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0, 3,0)，C(0,- 3,0)，Q(0,0,-3)．
(i)设O(a,b,c)，因为OD=OA=OB=OQ，
所以a2+b2+c2=(a-3)2+b2+c2=a2+(b- 3)2+c2=a2+b2+(c+3)2，
解得a=32，b= 32，c=-32，
所以球O的半径R=OD= a2+b2+c2= 212，
球O的表面积S=4πR2=21π．
(ii)因为DA=DP=AP=3，所以∠ADP=π3，P(32,0,3 32)，
BP=(32,- 3,3 32)，AC=(-3,- 3,0)，CQ=(0, 3,-3)．
设平面ACQ的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AC=0,n⋅CQ=0,即-3x- 3y=0, 3y-3z=0,
取x=1，则n=(1,- 3,-1)．
设直线BP与平面ACQ所成的角为θ，
则sinθ=|BP⋅n||BP||n|=92-3 322 3× 5=-3 5+3 1520，
所以直线BP与平面ACQ所成角的正弦值为-3 5+3 1520．