专题03 导数及其应用-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（新高考通用）（原卷版+解析版）

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题型01 导数的几何意义
题型02 利用导数研究函数的单调性
题型03 利用导数研究函数的极值、最值
题型04 利用导数研究函数的零点、方程的根
题型05 利用导数研究不等式证明及恒成立
题型06 三次函数的图象与性质
题型01
导数的几何意义
1．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东清远·二模）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
3．（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 .
4．（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ．
5．（2025·浙江金华·二模）函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 .
6．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求的值：
(2)求的极值．
7．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．
题型02
利用导数研究函数的单调性
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．
3．（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ．
7．（2025·山西吕梁·二模）若函数，，且，满足，则的最大值为 .
8．（2025·山西晋城·二模）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，求实数的值；
(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
9．（2025·辽宁丹东·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恰有两个零点，且
（i）求的取值范围；
（ii）设在定义域内单调递增，求出与的函数关系式，并证明．
题型03
利用导数研究函数的极值、最值
1．（多选）（2025·河北邯郸·二模）已知函数．则下列结论正确的是（ ）
A．B．函数在上单调递减
C．函数有极大值D．函数在上的最小值为
2．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2025·广东肇庆·二模）已知函数有两个极值点，则（ ）
A．或 B．
C．存在实数，使得 D．
4．（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围.
5．（2025·河南新乡·二模）已知函数.
(1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：，；
(3)若在上有两个极值点，求的取值范围.
6．（2025·河南焦作·二模）已知函数．
(1)当时，证明；；
(2)当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围．
7．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为．
(1)求的值；
(2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
8．（2025·山西吕梁·二模）已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)（i）函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：（，且）.
9．（2025·江西新余·二模）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设函数，讨论在区间上的单调性；
(3)若存在两个极值点，，且，证明：.
10．（2025·重庆·二模）已知函数 .
(1)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值;
(2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值;
(3)若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围.
题型04
导数研究函数的零点、方程的根
1．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．（2025·广东广州·二模）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·辽宁·二模）设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2025·山东·二模）若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为 .
6．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是 .
7．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 .
8．（2025·浙江金华·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
9．（2025·陕西渭南·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
10．（2025·江西南昌·二模）已知.
(1)当时，求函数的单调区间：
(2)当时，求证：；
(3)当，试讨论函数的零点个数.
题型05
导数研究不等式证明及恒成立
1．（2025·江苏南通·二模）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·重庆·二模）已知函数，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江西萍乡·二模）已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）（2025·安徽滁州·二模）已知函数，，，则（ ）
A．和的图象有且只有一条公切线
B．若恒成立，则整数的最大值为
C．若、均大于，则
D．关于的方程在区间内有解
7．（2025·广东深圳·二模）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为．
(1)写出与的递推关系式；
(2)记的零点为r，且．
（i）证明：当时，；
（ii）证明：对于任意的，都有．
8．（2025·山东滨州·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的值．
9．（2025·天津南开·二模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)解关于的不等式（其中为的导数）.
题型06
三次函数的图象及性质
1．（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知函数，则（ ）
A．有三个零点
B．，使得点为曲线的对称中心
C．既有极大值又有极小值
D．，，
4．（多选）（2025·辽宁丹东·二模）已知函数在处有极值，则（ ）
A．在上单调递增B．的极大值为
C．直线是曲线的切线D．
5．（多选）（2025·山东临沂·二模）设函数，则（ ）
A．有3个零点
B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C．与交点的横坐标之和为0
D．在区间上的取值范围是
6．（多选）（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数满足，，则（ ）
A．
B．对于任意，有三个零点
C．对于任意，有两个极值点
D．存在，使得点为曲线对称中心
7．（多选 ）（2025·山西吕梁·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有两个极值点、，则
B．函数至少有一个极值，且极小值为
C．使得方程有三个不相等的实数根
D．若函数的极大值点为，且，则
8．（多选）（2025·江西南昌·二模）已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的极大值点为1
B．函数的对称中心为
C．过点可作一条直线与曲线相切
D．当时，