2025-2026学年河北省石家庄市裕华区第二十七中学九年级上学期10月份月考数学试题

这是一份2025-2026学年河北省石家庄市裕华区第二十七中学九年级上学期10月份月考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如果（m﹣1）x2+3x﹣2=0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0B．m≠1C．m=0D．m=1
2．若，是关于的方程的两个根，且，则的值为（ ）
A．2B．C．2或D．6或
3．已知，则＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣D．
4．若，且，的周长为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
5．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，年投入经费 万元，年投入经费 万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
7．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB，②∠B=∠ACD，③，④，其中不能判定∽的条件为（ ）

A．①B．②C．③D．④
9．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或B．24C．D．或24
10．如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ）
A．4B．6C．8D．10
11．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．若关于x的方程kx2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
二、填空题
13．已知是方程的一个实数根，则的值是 ．
14．分别10年的同学相邀在一起聚会，每两人之间通过手机通话一次，设x人共通话15次，则列方程的一般形式为： ．
15．在平面直角坐标系中，关于x的一次函数，其中常数k满足，常数m满足且m是1和9的比例中项，则该一次函数的解析式为 ．
16．如图，，，延长交于，且，则的长 ．
三、解答题
17．用适当的方法解下列方程．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏围成两个矩形围栏（图中实线部分），且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米．若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长．

19．阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
(2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值．
20．如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥AC，DF∥BC，分别交BC，AC于点E，F．
（1）求证：△ADF∽△DBE．
（2）若BE：CE＝2：3，求AF：DE的值．
21．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
(2)商家能达到平均每天赢利1800元吗？请说明你的理由．
22．在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度．
23．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．
(1)运动开始后，当为何值时，的长度等于？
(2)连接，当为何值时，的面积等于？
24．四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点．
(1)若，求的长；
(2)如果，求证：．
《河北省石家庄市第二十七中学2025-2026学年上学期10月份月考九年级数学试卷》参考答案
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,且未知数的最高指数是2的整式方程,一元二次方程的定义解答即可．
【详解】由一元二次方程的定义,可得:m-1≠0,∴m≠1,故选B．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义．
2．A
【分析】由题意得到，， ，再由，得到方程，解得，分别代入进行检验即可得到答案．
【详解】解：∵，是关于的方程的两个根，
∴，， ，
∴，
∵，
∴，
解得，
当时，，满足题意，
当时，，不满足题意，
∴，
故选：A
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式等知识，准确计算是解题的关键．
3．A
【分析】根据得到a=-2b，c=-2d，e=-2f，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴a=-2b，c=-2d，e=-2f，
∴= ，
故选：A．
【点睛】此题考查了比例的化简求值，正确掌握比例的性质，根据已知等式得到a=-2b，c=-2d，e=-2f是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比．
【详解】解：，，的周长为，
的周长 ：的周长=，
的周长为，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平均增长率列出年的投入经费是解答本题的关键，年投入经费 万元，则年投入经费 万元，即万元，所以年投入经费 万元，即万元．
【详解】根据题意，得
故选C．
6．C
【分析】本题主要考查了比例的基本性质．
根据比例的基本性质将变形为，即可得到的值．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设，根据正方形的性质可得，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：设，
四边形是正方形，
，
∴．
由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足，
∴
．
经检验：是原方程的根，
．
故选：D．
8．D
【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．
【详解】①∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
④中∠A不是已知的比例线段的夹角，不能判定两个三角形相似；
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，理解和掌握相似三角形判定定理是解题的关键．
9．D
【分析】此题考查的是解一元二次方程、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，先解方程得到或，当第三边长为10时，则可利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，据此利用三角形面积公式求解即可；当第三边长为6时，如图所示，不妨设，过点A作于D，则，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：解方程得或，
∴该三角形的第三边的长为10或6，
当第三边长为10时，
∵，
∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，
∴该三角形的面积为；
当第三边长为6时，如图所示，不妨设，
过点A作于D，则，
∴
∴该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或24，
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由位似的性质得出，结合的周长等于周长的，得出相似比为，计算即可得出答案．
【详解】解： 与位似，
∴，
∵的周长等于周长的，
∴相似比为，
∵，
，
故选：C．
11．C
【详解】①∵MN ∥ BC，∴ AN：CN = AM：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC，∴ AD：DM = AN：NC ，再由（1）得 AD：DM = AM：BM，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故选C．
点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
12．B
【分析】分两种情况讨论：
（1）当k=0时，方程为一元一次方程，必有实数根；
（2）当k≠0时，方程为一元二次方程，当△≥0时，必有实数根．
【详解】（1）当k=0时，方程为一元一次方程，必有实数根；
（2）当k≠0时，方程为一元二次方程，当△≥0时，方程有实数根：
△=4-4k（-1）≥0，
解得k≥-1，
综上所述，k≥-1．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式，要注意，先进行分类讨论，当方程是一元一次方程时，总有实数根；当方程为一元二次方程时，根的情况要通过判别式来判定．
13．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将m代入已知方程，即可求得的值，即可得解．
【详解】解：是方程的一个根，
，
解得，，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．x2﹣x﹣30=0．
【详解】试题分析：共有x人通话，每两个同学之间通话一次，则每个同学都要与其它（x﹣1）名同学通话一次，则所有同学共握手x（x﹣1）次，通话是在两个之间进行的，所以同学们之间共握手x（x﹣1）÷2=15次．
解：设共有x人，由题意得：
x（x﹣1）÷2=15，
整理得：x2﹣x﹣30=0，
故答案为x2﹣x﹣30=0．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
15．或
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象和系数的关系，根据常数m满足且m是1和9的比例中项，可以求得m的值，再根据，即可求得k的值，从而可以写出该一次函数的解析式．
【详解】解：∵常数m是1和9的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴当时，，
当时，，则，
∴该一次函数的解析式为或，
故答案为：或．
16．
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：过D作的平行线交于G，
∵，，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可；
（4）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（4）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
18．10米
【分析】若设米，则米．根据矩形围栏的面积为210平方米，即可得出关于的一元二次方程，解出即可．
【详解】解：由栅栏的全长49米可得：，
，
又矩形围栏面积为210平方米，即，
可列出方程是：．
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：栅栏的长为10米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19．(1)是
(2)或
【分析】本题考查解一元二次方程，理解新定义，是解题的关键：
（1）因式分解法求出方程的两个根，进行判断即可；
（2）因式分解求出方程的两个根，根据新定义求出的值即可．
【详解】（1）解：
，
解得：，
∵，
故方程是“邻根方程”；
（2）解：
，
解得：，
∵方程（是常数）是“邻根方程”，
∴，或．
20．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质与判定即可求出答案．
【详解】（1）∵DE∥AC，DF∥BC，
∴∠A＝∠EDB，∠B＝∠FDA，
∴△ADF∽△DBE；
（2）∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形FDEC是平行四边形，
∴DF＝CE，
∵△ADF∽△DBE，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
21．(1)20元
(2)不可能每天盈利1800元，理由见解析
【分析】（1）设每件童装降价x元，则销售量为（20+2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（2）设每件童装降价y元，则销售量为（20+2y）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＜0可得出原方程无解，进而即可得出不可能每天盈利1800元．
【详解】（1）解：设每件服装降价元，则销售量为件，
根据题意可得：，
化简得：，
解得：，，
又因为需要让利于顾客，所以，
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）解：设每件服装降价元，
根据题意可得：，
化简得：，
∵，
∴此方程无解．
因此不可能每天盈利1800元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．2.3米
【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可
【详解】解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM，
∴△ABC∽△QDN，
．
∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，
=1.5（米），
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）．
答：木杆PQ的长度为2.3米．
【点睛】此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握相似三角形的性质.
23．(1)2
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用等知识．
（1）根据题意得到，根据勾股定理列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解；
（2）由题意得，列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
在中，根据勾股定理得，
解得（舍去），．
答：当为2时，的长度等于；
（2）解：由题意得，
∵的面积等于，
∴，
解得（不合题意，舍去）．
答：当为1时，的面积等于．
24．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论；
（2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证．
【详解】（1）解：如图，连接交于点，
∵点和点分别为边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
∴的长为；
（2）证明：∵为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
D
C
C
D
D
D
C
题号
11
12








答案
C
B