2025-2026学年河北省石家庄市桥西区第十七中学九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年河北省石家庄市桥西区第十七中学九年级上学期10月月考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．sin30°的值等于（ ）
A．B．C．D．
2．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1：B．1：2C．1：3D．1：4
3．下列属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则AE：AC等于（ ）
A．3：2B．2：3C．4：9D．1：2
5．在中，，，，那么（ ）
A．B．C．2D．
6．如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＜1且k≠0C．k＞1D．k＞1且k≠0．
7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A．B．3C．2D．1
8．某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
9．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
10．在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，为等腰三角形，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在矩形中，过点D作对角线的垂线，垂足为E，过点E作的垂线交于点F，如果，，那么的长是（ ）
A．3B．C．D．
二、填空题
13．已知，则 .
14．在Rt中，∠C=90°，AB=10，csB=，则AC的长为 ．
15．如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，B′C与AD交于点E，AD的延长线与A′D′交于点F．当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，则EF＝ ．
三、解答题
17．解下列方程（或式）
(1)，
(2)，
(3)，
(4)．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：
（1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标；
（2）以点A为位似中心将放大2倍，得到，画出并写出点B2的坐标．
19．某水果店销售一种水果的成本价是元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在元/千克时，每天可以卖出千克．在此基础上，这种水果的单价每提高元/千克，该水果店每天就会少卖出千克．
若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是元，则单价应定为多少？
在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？
20．如图，在菱形中，E为边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，，求菱形的边长．
21．如图，，，，．
(1)求的值；
(2)求点B到直线的距离．
22．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．
①求证：；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
《河北省石家庄市第十七中学2025-2026学年上学期九年级数学10月月考试卷》参考答案
1．A
【详解】据特殊角三角函数值，可得: sin30°=.
故选A.
2．D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴这两个三角形们的面积比为1：4，
故选：D．
【点睛】此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．
3．A
【分析】本题主要是是考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，是整式方程．利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】解：A、是是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：A．
4．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：∵DE∥BC，AD：AB＝2：3，
∴AE：AC＝AD：AB＝2：3．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，属于常考题型，熟练掌握该定理是解题关键．
5．A
【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作．
依据中，，，，进行表示即可．
【详解】解：∵在中，，画图如下：
∴，
故选A．
6．A
【详解】分析：由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围．
详解：
∵关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（-2）2-4k＞0，解得k＜1，
故选A．
点睛：本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
7．D
【详解】试题解析：由题意得：DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∵∠C=∠DEA，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB,
∴=,
∵A′为CE的中点，
∴C A′=E A′，
∴C A′=E A′=AE，
∴==，
∴DE=1.
故选D.
8．B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答．
【详解】解：依题意，，
移项得，
整理得，
∴
∴，
∴
∴．
观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的，
故选：B
9．A
【分析】利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出＝，由AB∥CD可得出，再利用相似三角形的性质即可求出DF∶BF的值．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE∶EC＝2∶3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键．
10．D
【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为：聚会人数（聚会人数）总握手次数，把相关数值代入即可．
【详解】解：设参加这次聚会的同学共有x人，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
11．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键．
过点A作于点D，过点B作于点E，根据勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式进行表示求解即可．
【详解】解：过点A作于点D，过点B作于点E，
∵，
∴是边上的中线，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
，
∴，
故选C．
12．D
【分析】根据矩形的性质可求出，根据三角形的面积公式以及勾股定理可求出、，再根据等角的余角相等得出、，可证明，最后利用相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在和中

∴，
∴，
即，
解得：；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是解题关键．
13．/0.75
【分析】此题考查的是分式的运算法则，掌握分式的运算法则是解题关键．
根据分式的运算法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
14．6．
【详解】试题分析：∵csB=，∴CA：AB=4：5，∵AB=10，∴CA=8，∴BC=6．故答案为6．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．
15．
【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．
【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
由题意得:,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
故答案为2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程．
16．/
【分析】根据矩形的性质得，根据勾股定理得，再证明得，证明得，分别计算DF和DE的长即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴DF，
同理可得，
∴，
∴，
∴ED，
∴EF＝ED+DF，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键．
（1）对方程进行配方运算即可；
（2）直接开平方法运算即可；
（3）根据特殊的三角函数值求解即可；
（4）根据特殊的三角函数值求解即可．
【详解】（1）解：
解得；
（2）解：
，
解得;
（3）解：
；
（4）解：
．
18．（1）见解析，；（2）见解析，
【分析】根据平移的定义“把一个图形整体沿某一直线方向移动， 会得到一个新的图形，新图形与原图形的大小和形状完全相同”即可得；
根据位似图形的定义“一般得，如果一个图形上的点，，…，和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足①直线，，…，都经过同一点O；②”即可得．
【详解】（1）根据题意可得：
∴；
（2）如图所示：以点A为端点作射线AC，AB；分别在射线上取，，使，连接，，，即可得；
∴．
【点睛】本题考查了作图—平移变换，作图—位似变换，解题的关键是掌握平移作图方法和图形位似的作图方法．
19．（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是元，则单价应为元或元．因为让利于顾客，所以定价定为元．
【分析】（1）根据等量关系：每千克水果的利润×每天的销售量=每天的总利润420元，可列出方程，解方程即可；
（2）让定价尽量小即可让利于顾客．
【详解】解：（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，设单价应为x元，
由题意得：（x-5）[160-20（x-7）]=420，
化简得，x2-20x+96=0，
解得 x1=8，x2=12．
答：若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元．
（2）因为让利于顾客，所以定价定为8元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键．
（1）根据菱形的性质，得出，进而证明结论即可；
（2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到，即可求出菱形的边长．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
，
为边长，
21．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握正弦的定义，以及直角三角形的边角关系．
（1）根据正弦的定义，即可解答；
（2）根据同角的三角函数值，得出，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：过点B作于点E，
∵，
∴，
∴．
22．感知：（1）；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或
【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；
②根据相似三角形的性质计算，即可求解；
（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．
【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，
∴，
∴，
故答案为：；
应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，
∴∠BAP=∠CPD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
②BC=12，点P为BC中点，
∴BP=PC=6，
·∵△ABP∽△PCD，
∴，即，
解得：CD=3.6；
拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，
∴PC=AB=10，
∴BP=BC-PC=12-10=2；
当AP=AD时，∠ADP=∠APD，
∵∠APD=∠B=∠C，
∴∠ADP=∠C，不合题意，
∴AP≠AD；
当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△BCA∽△ACP，
∴，即，
解得：，
∴，
综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ．
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
B
A
A
D
B
A
D
题号
11
12








答案
C
D