广东省广州外国语学校2024-2025学年上学期八年级数学期中试卷（含答案）

这是一份广东省广州外国语学校2024-2025学年上学期八年级数学期中试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（）
A.B.
C.D.
下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A. 3，8，4B. 5，10，6C. 4，4，8D. 3，7，11
木工在做完门框后，为防止门框变形，常像如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（）
A. 两点之间线段最短
B. 矩形的四个角时直角
C. 三角形的稳定性
D. 长方形的对称性
4. 下列计算正确的是（
）
A. a2  a3  2a5
B. a2  a3  a5
C. a2 3  a6
D. a2  a3  a5
如图， V ABC 的边 BC 上的高是（）
A. 线段 AFB. 线段 BDC. 线段 BFD. 线段 BE
已知图中的两个三角形全等，则1等于()
A. 50B. 58C. 60D. 72
如图，已知OC 平分AOB ，P 是OC 上一点，PH  OB 于点 H，Q 是射线OA 上的一个动点，如 PH  5 ，则 PQ 长的最小值为（）
A. 10B. 5C. 3D. 2.5
如图，若V ABE≌V ACF ，且 AB  5，AE  2 ，则 EC 的长为（）
A. 1B. 2C. 2.5D. 3
如图，在V ABC 中， BE，CE 分别是ABC 和ACB 的平分线，过点 E 作 DF∥BC 交 AB 于 D， 交 AC 于 F，若 AB  6，AC  4 ，则△ADF 周长为（）
A. 6B. 7C. 8D. 10
如图，在等腰V ABC 中， AB  AC ， AD 是 BC 边上的高，点 E 是高 AD 上任意一点，点 F 是边 AB
上任意一点， AB  5 ， BC  6 ， AD  4 ，则 BE  EF 的最小值是（）
724
A. 3B. 5C.D.
25
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
在平面直角坐标系中，点(6, 2) 关于 x 轴对称的点的坐标是．
如图，在V ABC 中， AB  AC  10cm ，DE 垂直平分 AB ，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为18cm ，则 BC 的长为cm ．
如图， ACD 是V ABC 的一个外角，若ACD  115，B  40 ，则A ．
已知一个等腰三角形的一边是 6，另一边是 8，则这个等腰三角形的周长是．
 DEB ABC
如图， AD 是V ABC 的中线， DE 是△ABD 的中线．若 S 3cm2 ，则 Scm2 ．
如图， 已知： AC  BC ， DC  EC ， ACB  ECD  90 ， EBD  38 ， 现有下列结论：
①△BDC≌△AEC ；② BE 平分CBA ；③ BD  AE ；④ AE  BD ．其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题
17 计算：
（1） 4x2 y  2xy ；
（2） 3a  2b   1 a  b  ；
 3

已知一个多边形的边数为 n ，若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的 4 倍多30 ，求 n 的值．
已知：如图，点 E 、F 在线段 BD 上， BF  DE ， AF  CE ， AF ∥CE ．求证：△ABF ≌△CDE ．
如图， V ABC 的三个顶点坐标分别为 A 2, 3 ， B 1,1 ， C 5, 3 ．
作出V ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1 ．
在 x 轴上找一点 P ，使得 PC  PB 最小，请画图并直接写出点 P 的坐标．
如图，在V ABC 中， ACB  90 ．
请用尺规作图，作CAB 的平分线，与 BC 交于点 D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
20
在（1）的条件下，若CD  2 ， AB ，求△ABD 的面积．
3
如图，在V ABC 中， AB  AC ，过 BC 的中点 D 作 DE AB ， DF AC ，垂足分别为 E 、 F ．
求证： DE  DF ；
若BDE  55 ，求BAC 的度数．
两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，如图是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC ．
求证： ABE≌ACD ；
指出线段 DC 和线段 BE 的位置关系，并说明理由．
如图 1，在Rt△ABC 中ACB  90 ， A  30 ， AB  10 ， CD 平分ACB ，交边 AB 于点 D ， 点 E 为边 AC 上的一个动点，连接 DE ．
当CD 是四边形 BCED 的对称轴时，求线段CE 的长；
若△CED 为等腰三角形，求CDE 的度数；
如图 2，点 P 是 AB 的中点，点Q 在线段CD 上，连接 PQ 、 EQ ，求当 PQ  EQ 取最小时CE 的长．
在△ ABC 中， BAC  120 ，点 D 为 BC 的中点，点 E 、 F 分别在边 AB 、 AC 上．
如图 1，若 AB  AC  6 ， DE AB ， DF AC ，求 AE  AF 的值；
如图 2，当EDF  60 ， AB  AC 时，求证： AE  AF  1 AC ；
2
3
（3）如图 3，连接 EF ，已知EDF  90 ， AEF  55， DEF  40 ，若 BE  6  2
，用三条
3
线段 BE 、 EF 、CF 围成的三角形的面积为18  6，求CF 的长．
2024-2025 学年度第一学期期中质量检测八年级数学试题卷
本试卷共 4 页，25 小题，满分 120 分，考试用时 120 分钟．
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A. 3，8，4B. 5，10，6C. 4，4，8D. 3，7，11
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件 “任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．根据构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：A、∵ 3  4  8 ，
∴3，8，4 不能构成三角形，本选项不符合题意；
B、∵ 5  6  10 ，
∴5，10，6 能构成三角形，本选项符合题意；
C、∵ 4  4  8 ，
∴4，4，8 不能构成三角形，本选项不符合题意；
D、∵ 3  7  11 ，
∴3，7，11 不能构成三角形，本选项不符合题意； 故选：B．
木工在做完门框后，为防止门框变形，常像如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（）
两点之间线段最短B. 矩形的四个角时直角
C. 三角形的稳定性D. 长方形的对称性
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟悉三角形稳定性的性质是解题的关键．根据三角形具有稳 定性解答．
【详解】解：木工在做完门框后，为防止门框变形，斜拉两个木条，是根据三角形具有稳定性． 故选：C．
下列计算正确的是（）
A. a2  a3  2a5
B. a2  a3  a5
C. a2 3  a6
D. a2  a3  a5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方运算法则 逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解： A 、a2 与 a3 不是同类项，不能合并，该选项错误；
B 、 a2  a3  a5 ，该选项正确；
C 、a2 3  a6 ，该选项错误；
D 、 a2 与 a3 不是同类项，不能合并，该选项错误； 故选： B ．
如图， V ABC 的边 BC 上的高是（）
线段 AFB. 线段 BDC. 线段 BFD. 线段 BE
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高，从一个顶点到其对边的垂线叫作三角形的高，据此即可求解；
【详解】解：由三角形的高的定义可知：线段 AF 是ABC 的边 BC 上的高， 故选：A ．
已知图中的两个三角形全等，则1等于()
A. 50B. 58C. 60D. 72
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理；根据全等三角形的性质得出 1  B ，
A  D  50， F  C  72 ，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
ABC 和DEF 全等， AC  DF  b ， DE  AB  a ，
1  B ， A  D  50， F  C  72 ，
1  180  D  F  58 ， 故选：B．
如图，已知OC 平分AOB ，P 是OC 上一点，PH  OB 于点 H，Q 是射线OA 上的一个动点，如 PH  5 ，则 PQ 长的最小值为（）
A. 10B. 5C. 3D. 2.5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，当 PQ  OA 时， PQ 有最小值，利用角平分线的性质可得 PH  PQ  5 ，即可解答，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：如图，
当 PQ  OA 时， PQ 有最小值，
∵ OC 平分AOB ，P 是OC 上一点， PH  OB 于点 H， PQ  OA ， PH  5 ，
∴ PH  PQ  5 ，
∴ PQ 的最小值为 5， 故选：B．
如图，若V ABE≌V ACF ，且 AB  5，AE  2 ，则 EC 的长为（）
A. 1B. 2C. 2.5D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 根据全等三角形对应边相等得到 AC  AB  5 ， 则
EC  AC  AE  3 ．
【详解】解：∵V ABE≌V ACF ，
∴ AC  AB  5 ，
∵ AE  2 ，
∴ EC  AC  AE  5  2  3 ， 故选：D．
如图，在V ABC 中， BE，CE 分别是ABC 和ACB 的平分线，过点 E 作 DF∥BC 交 AB 于 D， 交 AC 于 F，若 AB  6，AC  4 ，则△ADF 周长为（）
A. 6B. 7C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，先根据已知条件，证明
DF∥BC，ABE  DEB，ACE  FEC ，从而证明 BD  DF ， CF  EF ，从而求出△ADF 的
周长即可．
【详解】解：∵ BE、CE 分别是ABC 和ACB 的平分线，
∴ ABE  CBE，ACE  BCE ，
∵ DF∥BC ，
∴ DEB  CBE，FEC  BCE ，
∴ ABE  DEB，ACE  FEC ，
∴ BD  DF，CF  EF ，
∴△ADF 的周长 AD  DE  EF  AF
 AD  BD  AF  CF
 AB  AC
 6  4
 10 ， 故选：D．
如图，在等腰V ABC 中， AB  AC ， AD 是 BC 边上的高，点 E 是高 AD 上任意一点，点 F 是边 AB
上任意一点， AB  5 ， BC  6 ， AD  4 ，则 BE  EF 的最小值是（）
724
A. 3B. 5C.D.
25
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，过点 C 作CH  AB 于 H，连接CE ，先证明 AD 是 BC 的垂直平分线得到 BE  CE ，进而推出当 E 、 F 在CH 上时， CE  EF 有最小值，即此时 BE  EF 有最小值，利用等面积法求出CH 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点 C 作CH  AB 于 H，连接CE ，
∵ AB  AC ， AD 是 BC 边上的高，
∴ BD  CD ，即 AD 是 BC 的垂直平分线，
∴ BE  CE ，
∴ BE  EF  CE  EF ，
∵ CE  HE  CH ，
∴当 E 、 F 在CH 上时， CE  EF 有最小值，即此时 BE  EF 有最小值，
∵ S ABC
 1 BC  AD  1 AB  CH ，
22
∴ CH  AD  BC  4  6  24 ，
AB55
∴ BE  EF 的最小值为 24 ，
5
故选 D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
在平面直角坐标系中，点(6, 2) 关于 x 轴对称的点的坐标是．
【答案】(6, 2)
【解析】
【分析】本题考查了关于 x 轴对称点的坐标特点，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到答案．
【详解】解：点(6, 2) 关于 x 轴对称的点的坐标是(6, 2)
故答案为： (6, 2)
如图，在V ABC 中， AB  AC  10cm ，DE 垂直平分 AB ，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为18cm ，则 BC 的长为cm ．
【答案】8
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想 的应用．
根据线段垂直平分线的性质可知 AD  BD ，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可．
【详解】解： △DBC 的周长为18cm ，即 BC  BD  CD  18cm ，
DE 垂直平分 AB，
 AD  BD ，
 BC  AD  CD  18cm ，
 AB  AC  AD  DC  10cm ，
BC  18 10  8cm ， 故答案为：8．
如图， ACD 是V ABC 的一个外角，若ACD  115，B  40 ，则A ．
【答案】75
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并熟练运用．直接利用三 角形的外角性质进行求解即可．
【详解】解：ACD 是V ABC 的外角， ACD  115 ， B  40，
A  ACD  B  75， 故答案为： 75
已知一个等腰三角形的一边是 6，另一边是 8，则这个等腰三角形的周长是．
【答案】 20 或 22 ##22 或 20
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况：当腰为6 时；当腰长为8 时；结合三角形三边关系进行判断能否组成三角形，进而求出周长即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：当腰为6 时，三边长分别为6 ， 6 ， 8 ，符合三角形的三边关系，则其周长为6  6  8  20 ； 当腰长为8 时，三边长分别为6 ， 8 ， 8 ，符合三角形的三边关系，则其周长为6  8  8  22 ；
综上所述，这个等腰三角形的周长是 20 或22 ，
故答案为： 20 或22 ．
 DEB ABC
如图， AD 是V ABC 的中线， DE 是△ABD 的中线．若 S 3cm2 ，则 Scm2 ．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了三角形中线的性质，由三角形中线性质可得 SDAB  2SDEB ，SABC  2SDAB ，据此即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ DE 是△ABD 的中线，
 DAB DEB
∴ S 2S 6cm2 ，
∵ AD 是V ABC 的中线，
 ABC DAB
∴ S 2S 12cm 2 ， 故答案为：12 ．
如图， 已知： AC  BC ， DC  EC ， ACB  ECD  90 ， EBD  38 ， 现有下列结论：
①△BDC≌△AEC ；② BE 平分CBA ；③ BD  AE ；④ AE  BD ．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为 解题的关键．
先证明BCD  ACE ，进而可证明BDC≌AEC SAS ，据此可判断①；由全等三角形的性质得到
DBC  EAC ， BD  AE ，据此可判断③；再根据全等三角形的性质、角的和差、等腰三角形的性质以及等量代换说明ABE  EBC ，即可判断②；根据三角形内角和定理可证明BFE  ACB  90 ， 据此可判断④．
【详解】解：∵ ACB  ECD  90，
∴ ACB  BCE  ECD  BCE ，
BCD  ACE ， 在BDC 和△AEC 中，
 AC  BC

BCD  ACE ，

DC  EC
∴ BDC≌AEC SAS ，故①正确；
DBC  EAC ， BD  AE ，故③正确；；
 EBD  DBC  EBC  38 ，
∴ EBC  38  DBC ， EAC  EBC  38
ABE  EAB  90  38  52 ，
∴ ABE  52  EAB ，
∵ EAB  CAB  CAE  45  CAE  45  CBD ，
∴ ABE  52  45  CBD  7  CBD
∵ EBC  38  DBC ，
∴ ABE 不一定等于EBC ，即 BE 不一定平分CBA ，故②错误； 如图：延长 AE 交 BD 于 F，
3  4 ， DBC  EAC ，
BFE  ACB  90 ，
∴ AE  BD ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 故答案为：①③④．
三、解答题
计算：
（1） 4x2 y  2xy ；
（2） 3a  2b   1 a  b  ；
 3

【答案】（1） 8x3 y2
（2） a2  7 ab  2b2
3
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
根据单项式乘单项式的运算法则计算即可得解；
利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解.
【小问 1 详解】
解： 4x2 y  2xy  8x3 y2 ；
【小问 2 详解】
解： 3a  2b   1 a  b 
 3

 a2  2 ab  3ab  2b2
3
 a2  7 ab  2b2 .
3
已知一个多边形的边数为 n ，若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的 4 倍多30 ，求 n 的值．
【答案】 n 的值为12 ．
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和，内角与外角之间的关系，根据这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的 4 倍多30 ，设多边形的相邻的外角为 x ，由题意得 4x  30  x  180，求出 x ，再根据多边形的边数“ n  360  每一个外角”即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设多边形的相邻的外角为 x ， 由题意得 4x  30  x  180，
解得： x  30，
∴ n  360  12 ，
30
∴ n 的值为12 ．
已知：如图，点 E 、F 在线段 BD 上， BF  DE ， AF  CE ， AF ∥CE ．求证：△ABF ≌△CDE ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判断条件是 解题的关键．
根据平行线的性质可得AFB  CED ，然后利用SAS 即可得出结论．
【详解】证明： AF ∥CE ，
AFB  CED ， 在△ABF 和CDE 中，
BF  DE

AFB  CED ，

 AF  CE
ABF ≌CDE SAS ．
如图， V ABC 的三个顶点坐标分别为 A 2, 3 ， B 1,1 ， C 5, 3 ．
作出V ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1 ．
在 x 轴上找一点 P ，使得 PC  PB 最小，请画图并直接写出点 P 的坐标．
【答案】（1）见解析（2）点 P 的位置见解析，(2，0)
【解析】
【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、最短路径等知识点，找到关于 x 轴、y 轴的对称点是解题的关键．
先确定 A、B、C 关于 y 轴的对称点 A1、B1、C1 ，然后顺次连接即可；
作 B 点关于 x 轴对称的对称点 B2 ，连接 B2C ，与 x 轴交点即为 P，然后确定点 P 的坐标即可．
【小问 1 详解】
解：如图： △A1B1C1 即为所求．
【小问 2 详解】
解：如图：作 B 点关于 x 轴对称的对称点 B2 ，连接 B2C ，与 x 轴交点即为 P，点 P 的坐标为2，0 ．
如图，在V ABC 中， ACB  90 ．
请用尺规作图，作CAB 的平分线，与 BC 交于点 D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
20
在（1）的条件下，若CD  2 ， AB ，求△ABD 的面积．
3
【答案】（1）详见解析
20
（2）
3
【解析】
【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理，
根据角平分线的作图步骤画出图形即可；
根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【小问 1 详解】
解：如图，AD 即为所求．
【小问 2 详解】
解：如图，作 DE AB 交 AB 于 E，
∵ AD 平分CAB ， ACB  90 ， DE AB
∴ DE  CD  2．
∴△ABD 的面积为 1 AB  DE  1  20  2  20 ．
2233
如图，在V ABC 中， AB  AC ，过 BC 的中点 D 作 DE AB ， DF AC ，垂足分别为 E 、 F ．
求证： DE  DF ；
若BDE  55 ，求BAC 的度数．
【答案】（1）见解析（2）110 度
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线 合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是 180 度，是解题的关键．
连接 AD ，根据“三线合一”得出 AD 平分BAC ，再根据角平分线的性质定理，即可求证；
先根据直角三角形两个锐角互余得出B  35 ，再根据“等边对等角”得出C  B  35 ，最后根据三角形的内角和定理，即可求解．
【小问 1 详解】证明：连接 AD ，
 AB  AC ，D 是 BC 的中点，
 AD 平分BAC ，
∵ DE ⊥ AB
， DF AC ，
DE  DF ．
【小问 2 详解】 解：∵ DE ⊥ AB ，
BED  90，
BDE  55 ，
B  35 ，
 AB  AC ，
C  B  35 ，
BAC  110．
两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，如图是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC ．
求证： ABE≌ACD ；
指出线段 DC 和线段 BE 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2） CD  BE ，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得出 AB  AC 、 AD  AE 、BAC  EAD  90 ，进而可得出BAE  CAD ，利用全等三角形的判定定理SAS 即可证出ABE≌ACD ；
（ 2 ） 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 出 ABC  ACB  45 ， 由 全 等 三 角 形 的 性 质 可 得 出
ACD  ABC 45 ，再结合BCD  ACB  ACD 即可得出BCD 90，即CD BE ．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据等腰直角三角形的性质结合角的计算找出 AB AC 、 AD AE 、BAE  CAD ；（2）根据等腰直角三角形的性质结合全等三角形的性质得出ACB 45、ACD 45 ．
【小问 1 详解】
证明：ABC 和V ADE 是等腰直角三角形，
AB AC ， AD AE ， BAC  EAD 90 ，
BAC  CAE  EAD  CAE ， 即BAE  CAD ．
在ABE 和ACD 中，
 AB  AC

BAE  CAD ，

 AE  AD
ABE≌ACD(SAS) ；
【小问 2 详解】
解： CD  BE ，理由如下：
 ABC 是等腰直角三角形，
ABC  ACB  45 ．
 ABE≌ ACD ，
ACD  ABC  45 ，
BCD  ACB  ACD  45  45  90，
CD  BE ．
如图 1，在Rt△ABC 中ACB  90 ， A  30 ， AB  10 ， CD 平分ACB ，交边 AB 于点 D ， 点 E 为边 AC 上的一个动点，连接 DE ．
当CD 是四边形 BCED 的对称轴时，求线段CE 的长；
若△CED 为等腰三角形，求CDE 的度数；
如图 2，点 P 是 AB 的中点，点Q 在线段CD 上，连接 PQ 、 EQ ，求当 PQ  EQ 取最小时CE 的长．
【答案】（1）5（2） 90 或67.5 或 45
（3） 2.5
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的最值等知识点，灵活运用相关 知识是解题的关键．
由直角三角形的性质可求出 BC ，根据轴对称的性质解答即可；
分CD  CE 和CD  DE 两种情况，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
如图：在CB 上截取CF  CE ，连接 EF 、QF ，然后利用三角形的三边关系说明当 PF  BC ，且点 Q 在 PF 上时， PQ  FQ 的值最小；如图：过 P 作 PF   BC ，易得 PF ∥ AC ，然后根据轴对称的性质即可解答．
【小问 1 详解】
解：在Rt△ABC 中ACB  90 ， A  30， AB  10 ，
∴ BC  1 AB  5， 2
∵ CD 是四边形 BCED 的对称轴时，
CE  BC  5 ．
【小问 2 详解】
解：当CD  CE 时， CED  CDE ，
ACB  90 ， CD 平分ACB ，
ECD  45
CED  CDE  ECD  180 ，
CDE  67.5 ，
当CD  DE 时， CED  ECD  45 ，
\ Ð CDE = 90°；
当CE  DE 时， CDE  ECD  45 ． 综上， CDE  90 或67.5 或45．
【小问 3 详解】
解：如图：在CB 上截取CF  CE ，连接 EF 、QF ，
CF  CE ， CD 平分ACB ，
CD 垂直平分 EF ，
 EQ  FQ ，
 PQ  EQ  PQ  FQ ，
 PQ  FQ  PF ，
∴ PQ  FQ  PF ，且 PF 的值最小时， PQ  FQ 的值最小，此时 PQ  FQ 的值最小，
∴当 PF  BC ，且点 Q 在 PF 上时， PQ  FQ 的值最小如图：过 P 作 PF   BC ，
∵点 P 是 AB 的中点， ACB  90 ，
∴ PF ∥ AC ， AP  PB  1 AB  5 ， F ' PB  30
2
 BF   1 PB  2.5 ，
2
∴ CF '  BC  BF '  2.5 ，
CE  CF  5  2.5 ．
2
在△ ABC 中， BAC  120 ，点 D 为 BC 的中点，点 E 、 F 分别在边 AB 、 AC 上．
如图 1，若 AB  AC  6 ， DE AB ， DF AC ，求 AE  AF 的值；
如图 2，当EDF  60 ， AB  AC 时，求证： AE  AF  1 AC ；
2
3
（3）如图 3，连接 EF ，已知EDF  90 ， AEF  55， DEF  40 ，若 BE  6  2
，用三条
3
线段 BE 、 EF 、CF 围成的三角形的面积为18  6，求CF 的长．
【答案】（1）3，（2）见解析，
3
（3） 4
【解析】
【分析】（1）连接 AD ，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论；
） 如图 2 中， 连接 AD ， 作 DM AB 于 M ， DN AC 于 N ． 证明DME≌DNF (ASA) ，
RtDAM≌RtDAN (HL)
，可得EM
 FN
，AM  AN
，推出
AE  AF  AM  EM  AN  FN  2AM ，再利用直角三角形 30 度角性质即可解决问题．
3
延长 ED 到 K ，使得 DK  DE ，连接 EK ，CK ，作 FH  CK 于 H ．首先证明 SCFK  18  6，求出 FH ， CH 即可解决问题．
【小问 1 详解】解：连接 AD ，
点 D 为 BC 的中点，
 BD  CD ，
 AB  AC  6 ，
 AD  BC ， BAD  1 BAC  60 ，
2
B  C  30 ，
 AD  1 AB  3 ，
2
∵ DE ⊥ AB ，
AED  90，
ADE  30 ，
 AE  1 AD  1.5 ，
2
同理， AF  1.5 ，
 AE  AF  3；
【小问 2 详解】
证明：如图 2 中，连接 AD ，作 DM AB 于 M ， DN AC 于 N ．
 AB  AC ， BD  CD ，
 AD  BC ， BAD  CAD  1 BAC  60 ，
2
 DM  AB ， DN AC ，
AMD  AND  90 ， DM  DN ，
∴ ADM  90  BAD  30
MDN  60 ，
EDF  60，
MDN  EDF ，
MDE  EDN  NDF  EDN ，
∴ MDE  NDF
 DME≌DNF (ASA) ， RtDAM≌RtDAN (HL)，
 EM  FN ， AM  AN ，
 AE  AF  AM  EM  AN  FN  2AM ，
ADM  30 ， AMD  90，
 AD  2AM ，
 ADC  90 ， C  30 ，
∴AC  2AD ，
 AE  AF  AD  1 AC ；
2
【小问 3 详解】
解：延长 ED 到 K ，使得 DK  DE ，连接 FK ， CK ，作 FH  CK 于 H ．
 DE  DK ， BDE  CDK ， BD  DC ，
 BDE≌CDK (SAS) ，
3
 BE  KC  6  2
A  120 ，
， B  DCK ，
B  ACB  60，
FCK  DCK  ACB  B  ACB  60 ，
∴ CFH  30 ，
∴ CF  2CH ，
EDF  90 ，
 FD  EK ，
 DE  DK ，
 FE  KF ，
3
由题意得：用三条线段 BE 、EF 、CF 围成的三角形的面积为18  6
，即由 KC 、KF 、CF 组成的三
3
角形 SCFK  18  6，
 FH  CK ，
3
 1  (6  2 3)  FH  18  6，
2
 FH  6 ，
∵在 RtFCH 中， FC 2  FH 2  CH 2 ，
 2
∴ CF 2   1

∴ CF  4
2
CF 

3
．
 62 ，
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．