2025-2026学年广东省广州市第二中学九年级上学期10月月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年广东省广州市第二中学九年级上学期10月月考数学试卷-自定义类型，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数一定是二次函数的是（）
A. B. C. D.
2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A. 0，3，4B. 0，，4C. 1，3，4D. 1，，4
3.抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
4.在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（ ）
A. 向上平移3个单位长度B. 向下平移3个单位长度
C. 向左平移3个单位长度D. 向右平移3个单位长度
5.已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ）
A. B. 3C. D. 不能确定
6.点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7.已知是二次函数，且函数图象有最低点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（ ）
A. B.
C. D.
9.由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（ ）
A. B. C. D.
10.抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①，；②与轴的另一个交点为；③（为任意实数）；④若点，，且线段与抛物线只有一个个交点，则．其中正确的个数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.抛物线与y轴的交点坐标是 ．
12.已知二次函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
13.已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ．
14.广东茂名是中国荔枝主产区，占全国产量的35%．根据果农记录，2023年荔枝树平均每株产量为16千克，2025年平均每株产量达到25千克，每年的增长率基本相同．若设年平均增长率为x，依题意列方程得 ．
15.已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为 ．
16.如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，当的最小值为时，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，连接、，且．求证：．
19.(本小题8分)
已知二次函数．
(1) 在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象；
(2) 若点和点都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出t的取值范围为 ．
20.(本小题8分)
关于x的一元二次方程．
(1) 若该方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根；
(2) 若，分别是方程的两个实数根，且，求m的值．
21.(本小题8分)
两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能教会多少名同学？
22.(本小题8分)
如图，体育科组想用长为的警戒线，再借助器材保管房的一面墙（墙的最大可用长度为），围成一个长方形空地，并在边上留一个宽的小口．设空地的宽为，面积为．
(1) 求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 当这块空地的边的长为多少时，能围成一个面积为的长方形空地？
(3) 若学校希望将长方形空地面积拓展到最大，此时这块空地的边的长是多少米？
23.(本小题8分)
根据以下信息，探索完成任务：
24.(本小题8分)
定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，分别以、为横坐标和纵坐标得到点，则称点N为该一元二次方程的生成点．
(1) 直接写出方程的生成点的坐标为 ；
(2) 已知关于x的方程．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程生成点的坐标（用含有的代数式表示）；
(3) 已知不论为何值，关于的方程的生成点始终在直线上，求的值．
25.(本小题8分)
如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1) 求该抛物线的表达式；
(2) 若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由；
(3) 已知点，若点是抛物线上任意一点，分别连接、、，则的周长有最小值吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】增大
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】
17.【答案】解：
∴，
∴或，
解得：．

18.【答案】证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴．

19.【答案】【小题1】
列表如下：
函数图像如下所示：
【小题2】

20.【答案】【小题1】
解：将代入方程得，，
解得
设另一个根为，则，
解得
∴的值为，另一个根为；
【小题2】
解：由题意得：，
同时满足即，
∴，
∵，
∴
∴
解得．

21.【答案】解：设每位同学每节课能教会名同学，
根据题意得，，
整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），
答：每位同学每节课能教会名同学．

22.【答案】【小题1】
解：∵长方形空地中，，
∴，
∴，
∵，
解得，
∴．
【小题2】
解：当时，，
解得，
∵，
∴
故边的长为时，能围成一个面积为的长方形．
【小题3】
解：∵，，且，
∴当时，S随x的增大而减小，
∴当时，S有最大值，最大值为127.5．
故边的长是8.5米．


23.【答案】解：任务一，圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，
∴
∵，，轴，
∴的横坐标为，
∴该抛物线顶点坐标为，
故答案为：,．
任务二，设抛物线解析式为
将点代入得，
解得：
∴抛物线解析式为
任务三，水流能流到圆柱形水杯内，理由如下，
圆柱形水杯最左端到点的距离是，
当时，，
，
水流能流到圆柱形水杯内．

24.【答案】【小题1】
【小题2】
解：①证明：∵，
∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②解方程，
解得：，，
∵，，
∴生成点的坐标为；
【小题3】
解：∵，
∴直线过定点，
∴生成点坐标为，
根据生成点的定义可得，，
解得：，，
∴方程的两个实数根为，，
∴，，
解得：，．

25.【答案】【小题1】
解：把代入中，得：
，
解得，
∴抛物线解析式为；
【小题2】
解：存在最大，理由如下，
∵，
∴，
，当时，，则，
设，，
如图所示，
∵
，
∴当时，取得最大值为，
，则；
【小题3】
解：的周长有最小值，
∵点是抛物线上任意一点，设，
∵，
∴，
，
如图，作直线，

过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，即当重合时，取得最小值，即的周长有最小值．
的周长有最小值，．
x
x
…
…
y
…
…
探索目的
制作简易水流装置
信息1
如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处．
信息2
圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内．
问题解决
任务一
填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）．
任务二
求水流所在抛物线的函数解析式．
任务三
现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
…
…
…
…