2025-2026学年内蒙古呼和浩特市新城区第十九中学九年级上学期月考数学试题

这是一份2025-2026学年内蒙古呼和浩特市新城区第十九中学九年级上学期月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A．B．C．D．
2．点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3D．y=﹣5（x﹣1）2+3
4．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小D．的最小值为-3
6．已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程无解
B．当时，方程有一个实数解
C．当时，方程有两个相等的实数解
D．当时，方程总有两个不相等的实数解
7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论 ；；；；的实数其中正确结论的有
A．B．C．D．
二、填空题
9．二次函数y=-x2+2x-3最大值是 ．
10．设是方程 的两个根，且－＝1,则m= .
11．二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，则 ．
12．如图是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，当水面下降1米时，水面的宽度增加多少 ．
三、解答题
13．解方程：
(1)
(2)
14．若，是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
16．某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对居住过的每个房间每天支出元的各种费用．
(1)若每个房间定价增加元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
(2)若宾馆某一天获利元，则房价定为多少元？
17．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)设四边形的面积为S，求S的最大值．
18．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（一1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
《内蒙古呼和浩特市第十九中学2025-2026学年上学期阶段性学情反馈九年级数学试卷》参考答案
1．D
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
2．D
【详解】∵，
∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称，
故，
故选：D．
3．A
【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
【详解】将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．
故选A．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
4．D
【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；
故选．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
5．D
【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，．
当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定：
∵，
∴当时，方程有两个相等的实数解，
当且时，方程有两个不相等的实数解．
综上所述，说法C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
7．C
【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为个，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目为个，
依题意，得：，
解得： （舍去），．
故选C．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
8．B
【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．
【详解】对称轴在y轴的右侧，
，
由图象可知：，
，故不正确，不符合题意；
当时，，
，故正确，符合题意；
由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确，符合题意；
，
，
，
，
，故不正确，不符合题意；
当时，y的值最大此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故正确，符合题意，
故正确，
故选B．
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
9．-2
【分析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．
【详解】∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x-1）2-2，
∴当x=1时，y的最大值是-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，掌握配方法与完全平方公式，将二次函数的解析式整理成顶点式求解更加简便．
10．3
【详解】试题分析：首先根据韦达定理可得：=4，=m，则4-m=1，解得：m=3.
11．
【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，根据函数解析式求出A、B、C三点的坐标即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，当时，或，
∴（不妨设点A在点B左侧），
∴，
∴，
故答案为：．
12．米
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点代入求出解析式可解．
【详解】解：如图，建立直角坐标，
可设这条抛物线为，
把点代入，得，
解得
∴，
当时，，
解得
∴水面下降米时，水面宽度增加米，
故答案为：米．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目的特点选择适当的解法是解题的关键 ．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
；
（2）解：，
，
或，
．
14．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系，灵活运用完全平方公式以及分式加法法则是解题的关键．
利用根与系数的关系可得的值；
（1）将所求式子先通分，然后代入的值进行计算即可；
（2）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可；
（3）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可；
（4）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可．
【详解】（1）解：，是一元二次方程的两个根，
，
；
（2）解：，是一元二次方程的两个根，
，
；
（3）解：，是一元二次方程的两个根，
，
；
（4）解：，是一元二次方程的两个根，
，
．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式；
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围．
【详解】（1）证明：在方程中，
，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，．
方程有一根小于1，
，解得：，
的取值范围为．
16．(1)元
(2)元或元
【分析】（1）根据利润房价的净利润入住的房间数可得；
（2）设每个房间的定价为元，根据以上关系式列出方程求解可得；
【详解】（1）若每个房间定价增加元，则这个宾馆这一天的利润为 (元)；
（2）设每个房间的定价为元，
根据题意，得： ，
解得：或，
答：若宾馆某一天获利元，则房价定为元或元；
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出方程．
17．(1)
(2)8
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形的面积表示出来．
（1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可；
（2）连接，设点P坐标为，利用得出S关于m的表达式，再求最值即可．
【详解】（1）解：∵，
设抛物线表达式为：，
将C代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）连接，设点P坐标为，
∵，
可得：，
∴，
，
当时，S最大，且为8．
18．（1）；（2）线段PE最大时点P的坐标为（，）；（3）存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入即可求出结论；
（2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2，从而求出PE与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可；
（3）设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，），根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解．
【详解】解：（1）将A（一1，0），B（3，0）两点坐标分别代入抛物线解析式中，得
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）将点C（2，m）代入抛物线解析式中，得
=-3
∴点C的坐标为（2，-3）
设直线AC的解析式为y=kx＋d
将A（一1，0）和点C（2，-3）的坐标分别代入，得
解得：
∴直线AC的解析式为
设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2
∴PE=－
=
=
∵-1＜0
∴抛物线的开口向下，
∴当时，PE有最大值，最大值为
此时点P的坐标为（，）；
（3）存在，
设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，）
若AD和CF为平行四边形的对角线时，
∴AD的中点即为CF的中点
∴
解②，得，
将代入①，解得：n=；
将代入①，解得：n=；
∴此时点D的坐标为（，0）或（，0）；
若AC和DF为平行四边形的对角线时，
∴AC的中点即为DF的中点
∴
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）
将代入①，解得：n=1；
∴此时点D的坐标为（1，0）；
若AF和CD为平行四边形的对角线时，
∴AF的中点即为CD的中点
∴
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）
将代入①，解得：n=-3；
∴此时点D的坐标为（-3，0）；
综上：存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）．
【点睛】此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值和平行四边形的性质是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
D
A
D
D
C
C
B