高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征教案设计，共4页。
学 科
高中数学
年 级
高二
学 期
春季
课 题
7.3.2离散型随机变量的方差（第一课时）
教科书
书 名：普通高中数学教材
出版社：人民教育出版社 出版日期：2023年3月
教学内容分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第67-70页的第七章7.3.2离散型随机变量的方差。
本单元内容主要包括随机变量的均值和方差。本节课是前面学习完随机变量分布列的基础上进行研究的，知识上具有承前启后的作用。随机变量的均值和方差是概率论和数理统计的重要概念，节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。
教学目标分析
通过实例，让学生了解随机变量的均值只能反映取值的集中程度，不能反映随机变量取值的离散程度，体会引入离散型随机变量的方差的必要性。理解离散型随机变量方差的概念，了解其实际含义。并会计算简单的离散型随机变量的均值和方差，并利用均值与方差在实际问题中得出科学的决策。通过两个例子计算离散型随机变量的方差，体会引入离散型随机变量的均值和方差的必要性。体会它在实际生产生活中的应用价值。
学生学情分析（含教学重难点分析）
重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的概念及其求解。
难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题。
教学方法和策略分析
教学方法：讲授法、讨论法、自学展示
教学策略：启发式教学策略
教学手段
现代多媒体教学
教学过程
环节一：探索方差如何定量离散型随机变量取值的离散程度
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
问题 1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？
表1
X
6
7
8
9
10
P
0.09
0.24
0.32
0.28
0.07
表2
Y
6
7
8
9
10
P
0.07
0.22
0.38
0.3
0.03
E(X)= 8 ;E(Y)=8因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图：
图一 图二
发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。
通过知识回顾，提出问题.通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入离散型随机变量分布列方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。
2.环节二：怎样定量到离散型随机变量取值的离散程度?
我们知道，样本方差可以度量一组样本数据X1，X2，…，Xn的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.即样本的方差
S2=1nx1−x2+x2−x2+…+xn−x2
样本方差反应了这组数据的波动情况.随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？
设离散型随机变量X的分布列如下：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
因为X取每个值的概率不尽相同，而偏差平方关于取值概率的加权平均为x1−E(X)2p1+x2−E(X)2p2+…+xn−E(X)2pn
[师生互动]
师：因材施教，根据学生预习的结果，引导下一步教学发挥学生的主观能动性，暴露学生思维，教师精准指导,从而建立方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
3.环节三：得出离散型随机变量方差的概念
一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称
DX=x1−E(X)2p1+x2−E(X)2p2+…+xn−EX2pn
=i=1nxi−EX2pi
为随机变量X的方差，称σ(X)=DX为随机变量X的标准差。
师：随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.那是方差越大越稳定吗？
生：加深学方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
4.环节四：课堂练习
例1: 已知随机变量X的分布列如下
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
求D(X)
解：EX=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2
DX=(0−2)2×0.2+(1−2)2×0.2+(2−2)2×0.4+ (3−2)2× 0.2+(4−2)2×0.1=1.2
例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：
表1 股票A收益的分布列 表2 股票B收益的分布列
(1）投资哪种股票的期望收益大？
解：股票A和股票B投资收益的期望分别为
EX=−1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1
EY=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.0
因为EX>EY,所以投资股票A的期望收益较大
（2）投资哪种股票的风险高？
解：股票A和股票B投资收益的方差分别为
DX=−1−1.12×0.1+0−1.12×0.3+2−1.12×0.6=1.29
DY=0−12×0.3+1−12×0.4+2−12×0.3=0.6
因为EX和EY相差不大,且DX>DY，所以投资股票A的风险更大.
【设计意图】通过典例剖析，让学生体会方差的一般方法，加深学生对方差的理解和运用，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
5.环节五：课堂小结
1、离散型随机变量的方差
DX=x1−EX2p1+x2−EX2p2+…+xn−EX2pn
=i=1nxi−EX2pi
2、利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
（1）比较均值.
（2）在均值相等或接近的情况下计算方差
（3）得出结论.方差越小结果越稳定
6.环节六：作业布置
7.环节七：教学反思