专题01+三角形（期中知识清单，5知识&18题型&3易错&4方法清单）八年级数学上学期新教材苏科版

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【清单01】三角形边与角的关系
1.三角形三边关系
（1）定义：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
（2）符号表达：在△ABC中，AB + AC > BC，AB - AC < BC。
（3）应用场景：判断三条线段能否构成三角形，已知两边长度求第三边取值范围。
2.三角形边角关系
（1）定理：在同一个三角形中，较大的边所对的角较大，较大的角所对的边较大。
（2）证明方法：通过折纸实验或不等式性质证明。
（3）应用场景：比较三角形内角或边的大小关系。
【清单02】全等三角形
1.全等三角形定义
（1）定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（2）性质：对应边相等，对应角相等，周长和面积相等。
（3）特殊性质：全等三角形的对应中线、角平分线、高线分别相等。
2.全等三角形判定方法
（1）SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
（2）SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
（3）ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
（4）AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
3.全等三角形证明思路
（1）已知两边：找第三边（SSS），找夹角（SAS），判断是否为直角三角形（HL）。
（2）已知一边一角：找另一角（AAS或ASA），找夹边（SAS）。
（3）已知两角：找夹边（ASA），找其他边（AAS）。
【清单03】线段垂直平分线与角平分线
1.线段垂直平分线
（1）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
（2）判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（3）拓展应用：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
2.角平分线
（1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
（2）判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
（3）拓展应用：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。
【清单04】等腰三角形与等边三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。
（2）性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
（3）三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。
（4）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形称为等边三角形。
（2）性质：三个内角都相等，都等于60°；每条边都能运用三线合一性质。
（3）判定定理：三条边都相等；三个角都相等；有两个角是60°；有一个角是60°的等腰三角形。
【清单05】直角三角形特殊性质
1.含30°角的直角三角形
（1）性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（2）应用场景：求解含30°角的直角三角形的边长关系。
2.斜边中线定理
（1）性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（2）应用场景：求解直角三角形斜边中线长度或斜边长度。
【题型一】组成三角形的条件
【例1】下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ）
A．2，3，4B．5，6，12C．1，5，9D．2，5，7
【答案】A
【分析】本题考查三角形的三边关系．根据三角形“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可逐项判断．
【详解】解：A：∵，
∴可以构成三角形；
B：∵，
∴不能构成三角形；
C：∵，
∴不能构成三角形；
D：∵，
∴不能构成三角形．
故选：A．
【变式1-1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意；
B、，能组成三角形，符合题意；
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、，不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分是腰长和底边两种情况讨论求解即可．
【详解】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
周长，
综上所述，这个三角形的周长是．
故答案为：．
【题型二】全等三角形的性质
【例2】如图，与交于点O，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，即可得出结果，找准对应角是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴；
故选A．
【变式2-1】如图，，点在边上，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【变式2-2】如图，，点A，D是对应点，，则的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，直接根据全等三角形性质得出结论即可．
【详解】解：∵，，
，
故答案为：7．
【题型三】全等的依据
【例3】请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到．
【详解】解：由作法易得，，，
在与中，
，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等）．
即．
故选：D．
【变式3-1】如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线．
故选：D．
【变式3-2】小明用如图所示的方法画出了与全等的，他的具体画法是：①画射线，在射线上截取；②以点D为圆心，长为半径画弧，以点E为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点F；③连接．这样就是所要画的三角形，小明这样画图的依据是全等三角形判断方法中的 ．
【答案】/边边边
【分析】根据作图可得，进而根据，证明，即可求解．
【详解】解：根据作图可得，
∴
故答案为：．
【题型四】最值问题
【例4】如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为6，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵在中，，平分，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为，
故选：C．
【变式4-1】如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接，证明点G是点D关于的对称点，当F与H重合时，取得最小值，此时，解答即可．
本题考查了等边三角形的判定和性质，将军饮马河原理的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接，
∵等边，
∴，
点D，E分别是边的中点，的中点H，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴点G是点D关于的对称点，
∴当F与H重合时，取得最小值，此时，
故选：C．
【变式4-2】如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查轴对称－最短路线问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关链．
作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，
则，
，
的最小值为，
由轴对称的性质得，，，，
，
∵，
为等边三角形，
，
即的值最小为3；
故答案为：3．
【题型五】轴对称图形（含网格作图）
【例5】下列各种标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，关键是寻找对称轴．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
【变式5-1】如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，若，，则的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
在等腰中，∵，
∴，
∵，
∴的周长为．
故答案为：10
【变式5-2】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
(1)请在图中画出关于直线对称的；
(2)如果要在对称轴上找一点H，使点H到A，B两点的距离之和最短，请在上标出点H；
(3)请计算的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】此题主要考查了图形的变换---轴对称．
（1）分别作出A、B、C三点关于直线MN对称的点，再顺次连接即可；
（2）连接（或）与相交于点H，点H即为所求；
（3）利用割补法求解．
【详解】（1）解：如图即为所求
（2）解：如（1）图，点H即为所求；
（3）解：．
【题型六】全等三角形的判定
【例6】如图，在的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是小正方形的顶点），在图中与不重合且有一条公共边的全等格点三角形的个数是（ ）

A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】本题考查网格中判断三角形全等，根据全等三角形的判定方法，借助网格特点，画出符合题意的三角形即可．
【详解】解：如图，符合题意的三角形共有4个；

故选B．
【变式6-1】如图，在和中，，若要利用“”证明，则需要添加条件 （答案不唯一）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据，且要利用“”证明，则添加，即可作答．
【详解】解：∵，且要利用“”证明，
∴需要添加条件，
故答案为：（答案不唯一）
【变式6-2】如图，的边和的边在同一条直线上，，
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由平行得到，再根据外角证明，即可证明；
（2）先证明，再根据证明即可．
【详解】（1）证明：∵
∴
又∵
∴
又∵，
∴．
∴；
（2）证明：∵
∴即
在和中，
∴
∴．
【题型七】角平分线的性质与判定
【例7】如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间的距离等等，掌握角平分线的性质是解题的关键．如图所示，过点P作于F，延长交于G，先证明，由角平分线的性质得到，，则，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作于F，延长交于G，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴点P到与的距离之和为，
故选：D．
【变式7-1】如图，是中的平分线，于点E，于点F，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到，根据即可求出的长．
【详解】解：∵是中的平分线，于点E，于点F，
∴．
∵
∴，
∴．
故答案为：．
【变式7-2】如图，，，点是边上一点，连接，连接并延长交的延长线于点．点是边上一点，连接，使得．
(1)试说明是的角平分线；
(2)若的角平分线交于点，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义和性质，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
（1）先根据，结合，等量代换得到，可证明，得到，根据得，进而等量代换得，由此根据角平分线的定义即可得出结论；
（2）根据是的角平分线， 设，则，根据得，则，再根据平分得到，然后根据即可得解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线；
（2）解：由（1）可知：是的角平分线，
设，则，
，
，
，
平分，
，
．
【题型八】垂直平分线的性质与判定
【例8】如图，在中，，垂直平分，周长为13，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，，，那么可知，即，从而求得答案．
【详解】解：垂直平分，
，
周长为13，
，
，
，
，
故选：B．
【变式8-1】如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ．
【答案】3
【分析】连接、，作于，由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案．
【详解】解：连接、，作于，如图所示：
点在的垂直平分线上，
，
点在的平分线上，，，
，
在和中，
，
，
，
同理可证，
，
，
，
，
，
；
故答案为：3．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．
【变式8-2】在中，，，若点在的平分线所在的直线上．
(1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．
求证：；
求证：点在的垂直平分线上；
___________；
(2)如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，则___________；
(3)如图，过点的直线，若，，点在内部，且点到三边的距离相等，则点到直线的距离是___________．
【答案】(1)见解析；见解析；；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了线段垂直平分线判定，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练使用各性质定理是解题的关键．
（）证出；
由角平分线性质可得出，证明，得到，即可证明点在的垂直平分线上；
由得出，即可得出；
（）先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解；
（）画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）证明：连接，，如图，
∵点D在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上；
解：由知，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵平分，平分，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：当点在内部时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴点到直线的距离是．
【题型九】等腰三角形的性质与判定
【例9】如图，在中，于点，为上的点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，由已知条件可得出是等腰直角三角形，再利用证明，由全等三角形的性质得出，由角的和差关系得出，再利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
．
即，
故选B．
【变式9-1】如图，在中，是射线上一点，，，当时，的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．过点作交于点，过作于点，过点作于点，先证明，得到，然后分类讨论点在的左边还是右边，根据不同的情况计算出的度数．
【详解】解：过点作交于点，过作于点，过点作于点，如图，
分以下两种情况：
当点在的右边时，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当点在的左边时，
同理可得：，此时，
故答案为：或．
【变式9-2】如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数；
(3)当时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形．
（2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数；
（3）可证是等边三角形，可得，由外角的性质可求，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
∴，
，
是等腰三角形；
（2），
，
，
，
，
；
（3），，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
【题型十】等边三角形的性质与判定
【例10】如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式10-1】如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则 ．
【答案】/20度
【分析】由及，得是等边三角形，则，得，设，则，从而求得及，再由，即可得关于的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的意义等知识，掌握这些知识是关键．
【变式10-2】在中，，点在边上，连接，．
(1)如图①，求证：为等边三角形；
(2)如图②，点在边上，连接交于点，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)的度数是
【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、三角形内角和及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）由题意易得，则有，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解；
（2）由（1）可得，则可证，然后问题可求解
【详解】（1）证明：如题图①，
，
．
，
，
．
，
，
∴是等边三角形．
（2）解：如题图②，
∵是等边三角形，
．
在和中，
，
，
，
的度数是．
【题型十一】设计轴对称图案
【例11】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在小正方形的顶点上（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
(1)在图中画出，使与关于对称，点与点是对称点；
(2)在直线上作一点，使周长最小，请画出．
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】本题主要考查了轴对称图形的画法、轴对称-最短路径问题以及三角形面积的计算（割补法），熟练掌握轴对称的性质和割补法求面积是解题的关键．
（1）根据轴对称性质，找到点关于直线的对称点，再连接、．
（2）利用轴对称最短路径原理，先找（或）关于直线的对称点，再连接对称点与另一点，与直线交点即为．
（3）用“割补法”求解即可．
【详解】（1）解：取格点；连接、，即为所求．
∵，，
∴点、在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴与关于对称，点与点是对称点；
（2）解：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点，连接，即为所求．
∵点关于直线的对称点，
∴，
∴，即此时周长最小；
（3）解：的面积为．
【变式11-1】如图，在所给的网格图中，完成下列各题
(1)画出格点关于直线的对称的；
(2)在上画出点P，使最小；
(3)在上画出点Q，使最大．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了画轴对称图形、最短路径问题，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键．
（1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接、、所得的三角形即为所求；
（2）根据轴对称的性质可得，连接交直线于点P，则点P即为所求．
（3）根据，即可得到的最大值为的长，延长交于点Q，则点Q即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，点P即为所求；
（3）解：如图所示，点Q即为所求．
【变式11-2】如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．
(1)画出关于直线对称的；
(2)的面积为 ；
(3)若，请画出坐标系，并在上找一点P，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)见解析
【分析】（1）根据对称点与对称轴是垂直等距原理画图即可；
（2）根据分割法计算面积即可；
（3）根据，向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到坐标原点，建立坐标系如下：连接，交于点P，根据对称，得，根据对等角相等，得，继而得到．
本题考查了轴对称作图，分割法计算面积，对顶角相等，熟练掌握轴对称作图是解题的关键．
【详解】（1）解：根据对称点与对称轴是垂直等距原理画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，得的面积为：．
（3）解：根据，向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到坐标原点，建立坐标系如下：连接，交于点P，根据对称，得，根据对顶角相等，得，继而得到，
则点P即为所求．
【题型十二】尺规作图
【例12】如图，在中，．
(1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
（1）根据角平分线的作法，画出图形即可；
（2）作于．只要证明，根据三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：即为的平分线，如图所示．
（2）解：如图，作于点H．
因为平分，
所以，
所以
．
【变式12-1】如图，在中，分别是上的点，且．
(1)用尺规作的垂直平分线，交于点E，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了用尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，
对于（1），分别以点B，D为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点E，交于点F，则即为所求作；
对于（2），根据等边对等角得，再根据线段垂直平分线的性质得，进而得，然后结合直角三角形两个锐角互余得，
即可，则答案可得.
【详解】（1）解：如答图，直线即为所求．

（2）解：．
理由如下：
．
是线段的垂直平分线，
，
．
，
，
，
，
．
【变式12-2】如图，表示两条道路，在上有一个车站（用点P表示），现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂线段的性质的运用等知识点，弄清问题中对所作图形的要求、结合对应几何图形的性质和基本作图的方法成为解题的关键．
先作的平分线，再过P作于点Q，则点Q到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短．
【详解】解：如图：点Q即为所求．
【题型十三】课本上的定理证明
【例13】【课本再现】本学期同学们在学习第十三章《轴对称》，第三单元等腰三角形，第二课等边三角形时，学习了一个定理．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【定理探索】（1）书中对上面的定理没有给出证明，请你结合图1，给出定理的证明．
【定理应用】（2）如图2，中，，交于点D，，则 ．
（3）如图3，在中，，，．点D是斜边上一点，把沿折叠，得到．
①若，则 ；
②当折痕时，求点D的位置（即求的长）．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）①40；②
【分析】（1）延长到D，使，进而证明是等边三角形，即可得证；
（2）先根据等边对等角得出，进而得可得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，即可求解；
（3）①设，根据折叠的性质得出，进而根据，求得，在中，根据三角形内角和定理，即可求解；②在中，根据含30度角的直角三角形的性质得出，当时根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，延长到 D，使 ，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
即；
（2）解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为；
故答案为：12；
（3）①设，
∵把沿折叠，得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
解得
∵，
∴，
故答案为：40；
②在中，
∵，，，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理；熟练掌握它们性质是解题的关键．
【变式13-1】课本再现：
【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程．
（1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：．
【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接．
①证明：平分；
②若，则________．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②
【分析】（1）根据条件证明，从而．
（2）①过点O作于点F， 由（1）的结论易证，根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得到平分；
②根据三角形的内角和，再利用角平分线的定义和“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”，推导出，从而求解．
【详解】（1）证明：平分，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）①证明：过点O作于点F，
是的平分线，，，
，
是的平分线，，，
，
，
，，
平分，
②平分，平分，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、角平分线的性质和判定以及三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式13-2】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【推理证明】已知：如图1，在中，，点O是边的中点．求证：．
证明：如图2，延长至D，使，连结，．
请你补全余下的证明过程
【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点C作于点E，过点A作的平行线，交的延长线于点F，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展思考】如图，在四边形中，，点E是的中点．若则______．
【答案】【推理证明】见解析；【探究问题】见解析；【拓展思考】
【分析】推理证明∶依据对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明．
探究问题∶结合题意四边形为平行四边形，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可．
拓展思考∶连接CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得利用外角定理设未知数，列出方程即求出，即可得出答案．
【详解】解：【推理证明】∵点是边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴为矩形，
∴，
∴．
【探究问题】四边形是菱形．
理由：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又∵，为的中线，，为的中线
∴，
∴四边形为菱形．
【拓展思考】连接，如图，
∵，点E是的中点，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形、矩形及菱形的判定．
【题型十四】倍长中线法
【例14】【阅读理解】
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是_________；
A．；B．；C．；D．．
（2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______；
A．；B．；C．；D．．
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中；
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________．
【答案】（1）B （2）D （3） （4）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的面积，正确作出辅助线是解题关键．
（1）根据全等三角形的判定定理即可解答；
（2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出得取值范围；
（3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论；
（4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解．
【详解】（1）解：延长到点，使，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
故选：B；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
故选：D；
（3），
延长到，使得，连接，如图，
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（4）延长到，使得，连接，
由（3）可知，，
，
，
即，
，
，
故答案为：．
【变式14-1】【阅读理解】
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是______；
A． B． C． D．．
（2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______________；
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中；
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为_____．
【答案】（1）B（2）；（3）．（4）6
【分析】（1）延长到点E；使，连接，证明，根据的是，解答即可．
（2）根据，得到，利用三角形三边关系定理解答即可．
（3）延长到点G；使，连接，先证明，再证明即可得证．
（4）仿照（3）前面的证明，后再，确定，根据三角形全等的性质得到，再根据，得到，继而可以证明，即，解答即可．
本题考查了中线的应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，垂直的证明，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：延长到点E；使，连接．
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
（2）解：∵，
∴．
∵,
∴，
∵，，
∴
故．
故答案为：．
（3）解：理由如下：
延长到点G使，连接．
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴．
（4）解：延长到点M使，连接．
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵,
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【变式14-2】【教材呈现】
(1)如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边上的中线．写出图1中的一个等量关系 ．
【尝试感悟】
(2)小明学了中线这个知识后，遇到这样一个问题：在中，是的中点，求上的中线的取值范围．于是小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到E，使，请完成证明“”的推理过程．
①求证：．
②求的取值范围．
【问题解决】
(3)如图3，在中，是的中线，，且，求长．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
(3)6
【分析】本题主要考查了中线的定义，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的性质和判定，构造全等三角形来解决中线的取值范围和求解线段长度的问题，构造辅助线是解本题的关键．
（1）根据中线的定义求解即可．
（2）①利用已知条件证明即可；②根据三角形三边关系可得，再用全等三角形的性质可得的取值范围．
（3）延长交的延长线于F，求证，可得出，再利用垂直平分线的性质即可求得的长．
【详解】（1）解：是的边上的中线，
，
故答案为：；
（2）①由（1）可得，
在和中，
，
，
②，
，
在中，，
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
即，
，
，
；
（3）延长交的延长线于F，如图所示：
，
，
在和中，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
．
【题型十五 】角平分线与垂直平分线结合
【例15】如图，已知在△ABC中，AE平分△ABC的外角∠PAC，DE垂直平分BC，分别交BC，AC，AE于点D，F，E，分别过点E作EQAP，EHAC，垂足分别为Q，H．
(1)求证：BQ＝CH；
(2)若AQ＝4，BQ＝12，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】（1）连接EB，EC，根据角平分线的性质得到EQ＝EH，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，即可利用HL判定Rt△BEQ≌Rt△CEH，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）结合（1），利用HL判定Rt△AEQ≌Rt△AEH，根据全等三角形的性质得到AQ＝AH，结合BQ＝CH，利用线段的和差即可得解．
【详解】（1）证明：连接EB，EC，如图所示：
∵AE平分∠PAC，EQ⊥AP，EH⊥AC，
∴EQ＝EH，
∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∵在Rt△BEQ和Rt△CEH中，
∴Rt△BEQ≌Rt△CEH（HL），
∴BQ＝CH．
（2）解：∵EQ⊥AP，EH⊥AC，
∴∠AQE＝∠AHE＝90°，
∵在Rt△AEQ和Rt△AEH中，
∴Rt△AEQ≌Rt△AEH（HL），
∴AQ＝AH，
由（1）知BQ＝CH，
∴AC＝AH＋CH＝AQ＋BQ，
∵AQ＝4，BQ＝12，
∴AC＝16．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
【变式15-1】如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．
【答案】，证明见解析
【分析】连接DA，DB，由角平分线的性质可证，由垂直平分线的性质可证，然后根据“HL”证明即可．
【详解】解：，理由：
如图，连接DA，DB，
∵CD平分，于M，于N，
∴，
∵且E为AB的中点，
∴，
在与中，，
∴（HL），
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL；全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等．
【变式15-2】如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=4，BE=1
【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
【详解】（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分，于E，于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
【题型十六】等奥三角形与斜中定理结合
【例16】已知：如图，，、分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理和计算；
（1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可；
（2）先证明是等边三角形，再根据求解即可．
【详解】（1）证明：连接、，
∵，是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∴，
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【变式16-1】已知：如图，在中，于点F，于点G，D是的中点，于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得，再根据等腰三角形“三线合一”可得．
【详解】证明：如图，连接，．
，D是的中点，
是斜边上的中线，
．
同理，，D是的中点，
是斜边上的中线，
．
．
又，
．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
【变式16-2】已知线段，以为斜边作和，连接，分别是线段、的中点，连接、．
(1)如图1，和在线段的两侧．
①求证：；
②若，；请求出的度数；
(2)如图2，和在线段的同侧，若、，则的度数为______（用含、的代数式表示）
【答案】(1)①见解析；②；
(2)．
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
（1）①根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一证明即可；②根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
（2）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】（1）①证明：连接，
∵，是的中点，
∴，，
∴，
又∵是的中点，
∴；
②解：∵，是的中点，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，是的中点，
∴．
【题型十七】手拉手模型
【例17】如图，和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，将绕点A旋转，连接，．
(1)请写出线段与的数量关系，并说明理由；
(2)求直线与相交所夹锐角的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先根据等腰三角形的性质得到，，，推出，然后证明出，进而得到；
（2）分别延长和相交于点，首先得出，然后由得到，然后结合三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：，
理由：和均是顶角为的等腰三角形，
，，，
，，
，
，
；
（2）解：分别延长和相交于点，
，
，
即，
由（1）可知，
，
，
又，
．
【变式17-1】数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数．
【答案】(1)，30
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，再分两种情况说明或即可．
【详解】（1）解：如图1，设交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：，30．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图3所示：
∵和都是等腰三角形，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴,
∴；
当F点在线段上时，
同法可证得：，
，
，
，
；
综上，或．
【变式17-2】如图1，在中，于，，D是AE上的一点，且，连接，．
(1)试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由；
(3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想与的数量关系（只猜想，不用证明）；
②你能求出与的夹角(小于等于90°的角）度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)不发生变化，理由见解析
(3)①，②能，
【分析】（1）延长交于，求出，证出，即可推出；
（2）求出，证出，推即可出；
（3）求出，证出，推出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】（1）解：，
理由：延长交于．
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：不发生变化，
理由是：，
，
，
在和中，
，
，
，
（3）解：①，
，
，
在和中，
，
，
，
②能．
理由：和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
，
，．
，
即与所成的角的度数为．
【点睛】本题考查了三角形综合题，等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
【题型十八】新定义问题
【例18】定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”．
已知在中，，点在边上．
(1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”；
(2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数；
(3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点．
（1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证；
（2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可；
（3）分两种情况讨论，当时，由三线合一得到，，，设，则，可得垂直平分，则，然后根据外角性质表示出再由三角形内角和定理得到；当时，设，则，则，由，以及等腰三角形性质得到，在中由三角形内角和定理建立方程求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的“等角分割线”；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵是的“等角分割线”，
∴①，，
解得：；
②，，
解得：（舍去），
综上：；
（3）解：记的平分线与交于点，
①当时，
∵，平分，
∴，，，
设，则
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②当时，
∵平分，
∴，
设，则，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
综上：的度数为或．
【变式18-1】定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线．
(1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数；
(2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数．
【答案】(1)图见解析（答案不唯一）
(2)或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．
（1）根据等腰三角形的定义、三角形的三分线的定义画出图形即可得；
（2）先根据等腰三角形的性质可得，，，再设，根据三角形的内角和定理、三角形的外角性质可得，，，则，然后分两种情况：①和②，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：画图如下：（答案不唯一）
（2）解：∵，，
∴是等腰三角形，，，
∵，
∴是等腰三角形，，
又∵线段，是的三分线，
∴是等腰三角形，
设，
∴，
，
，
∴，
则分以下两种情况：
①当时，是等腰三角形，
则，即，解得；
②当时，是等腰三角形，
则，即，解得；
综上，的度数为或．
【变式18-2】定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的珺琟点．
(1)如图1，在中，，为的珺琟点，求的角度；
(2)如图2，为的珺琟点，延长交于点，已知，，求的值；
(3)如图3，为的珺琟点，连接、，为边上一点，连接并延长交于点，若，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义及三角形内角和即可求解；
（2）过点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，利用面积关系即可求解；
（3）过点P作，分别交于点E，F，连接；由平行线的性质及角平分线定义得; 证明，再证明，则可得；由，再进行等量代换、线段和差即可完成．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵为的珺琟点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，如图；
∵为的珺琟点，
∴平分，
∴；
∵，，
∴；
（3）证明：如图，过点P作，分别交于点E，F，连接；
∴；
∵为的珺琟点，
∴，，
∴，
∴；
同理：，
∴;
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质定理，平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，构造适当辅助线证明三角形全等是解决（3）小题的关键．
【题型一】三边关系应用数轴化简符号问题
【例1】已知是的三条边，若，则的结果为（ ）
A．cB．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，结合，求出式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可．
【详解】解：∵是的三条边，，
∴，
∴，
∴原式；
故选A．
【变式1-1】已知是的三条边长，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出是解题的关键．
先根据三角形的三边关系判断：，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得．
【详解】解：∵是的三条边长，
，
，
故答案为：．
【变式1-2】若a，b，c是的三边，化简．
【答案】
【分析】此题主要考查三角形三边关系的理解及运用能力．三角形的组成规则：任意两条边的长度和大于第三边 同时应保证这任意两条边的长度差小于第三边．
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
【详解】解：∵a、、是的三边长，
，
．
【题型二】格点组成三角形没分类全
【例2】如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的3个顶点都在格点上，则图中三个顶点都在格点的三角形与全等的三角形共有（不含）（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据题意，作出与全等且三个顶点都在格点的三角形．
【详解】解：如图所示，
连同给定的，共有个三角形全等，
三个顶点都在格点的三角形与全等的三角形共有个，
故选：C．
【变式2-1】在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．

【答案】4
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据全等三角形的判定画出图形，即可判断．
【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．

由图可得，所有格点三角形的个数是4，
故答案为：4．
【变式2-2】如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都在格点上，按要求画图：
(1)请画出中边上的高线；
(2)请画出中边上的中线；
(3)在格纸中作（注意点为格点，请在格纸内部作三角形使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，画三角形的高，画三角形的中线，熟知相关知识是解题的关键．
（1）如图所示，取格点H，连接交于D，则线段即为所求；
（2）如图所示，取格点E，连接，则线段即为所求；
（3）如图所示，取格点F，连接，则即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解；如图所示，线段即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
【题型三】全等三角形动点情况讨论不够
【例3】如图，，，，点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为，当与全等时，t的值是（ ）
A．2B．C．2或D．2或
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，
分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可．
【详解】解：∵，．
∴与全等分两种情况：
（1）若，
则，
即，
解得：；
（2）若，
则，
即，
解得：.
综上所述，t的值为2或时，与全等.
故选：C．
【变式3-1】如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等．
【答案】2或4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是分情况讨论，根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而得出的值．
因为，所以分两种情况讨论：和，根据全等三角形对应边相等求出的长，再结合点的运动速度求出．
【详解】解：
情况一：，
此时，
已知，点的速度是，的长度就是点运动的路程，则，
把代入，可得（秒）；
情况二：
此时．
已知，，
把代入，可得（秒）．
综上，当或4时，以点为顶点的三角形和全等．
故答案为：2或4．
【变式3-2】如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为．
(1)当时，用含的代数式表示的长；
(2)当为何值时，的面积等于面积的？
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________．
【答案】(1)当时，；当时，
(2)或6
(3)或或或
【分析】（1）分两种情况：当时，点P在边上，当时，点P在边上，即可求解；
（2）分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解；
（3）根据题意可得点A和点D为对应点，设点Q的运动速度为，然后分类讨论：
若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，；若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，，结合全等三角形的性质，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点P到达点C所用的运动时间为，到达点B所用的运动时间为，到达点A所用的运动时间为，
当时，点P在边上，此时；
当时，点P在边上，此时；
综上所述，当时，；当时， ；
（2）解：∵，，，
∴，
如图，当点P在边上时，，
此时，
∵的面积等于面积的，
∴，
解得：；
如图，当点P在边上时，过点C作于点K，，
此时，
∵，
∴，即，
∴，
∵的面积等于面积的，
∴，
解得：；
综上所述，当或6时，的面积等于面积的；
（3）解：∵，
∴点A和点D为对应点，
设点Q的运动速度为，
若，此时，
如图，当点P在边，点Q在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
如图，当点Q在边，点P在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
若，此时，
如图，当点P在边，点Q在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
如图，当点Q在边，点P在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
综上所述，点Q的运动速度为或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
【题型一】三角形三种角平分线
题型：方法：
双内角：
双外角：
一内一外：
【例1】如图，在中，的平分线交于点是与的平分线的交点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质定理，解题的关键是掌握角平分线的定义．
根据角平分线得出相等的角，求出，再利用三角形外角的性质定理进行求解即可．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【变式1-1】如图，中，平分平分，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形中求角度，熟记三角形内角和定理及角平分线定义是解决问题的关键．先由角平分线定义得到，，在和中，由三角形内角和定理，数形结合求解即可得到答案．
【详解】解：平分平分，
，，
在中，，则，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
故答案为：．
【变式1-2】如图，已知：点是内一点，，分别平分，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图①，求证：大于；
(3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解；
（2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证；
（3）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和即可解答．
【详解】（1）解：∵．
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
∴；
（2）解：延长交于D，如图所示：
∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵的外角，的角平分线交于点Q，
∴，，
∴
，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
【题型二】三角形三种折叠
题型：
方法：
向内折：∠1+∠2=2∠A
向外折：∠3-∠4=2∠A
边上折：∠5=2∠A
【例2】如图，在中，点，分别是，上的点，将沿折叠，使得点落在点处，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查折叠的性质和三角形定理，由折叠得，求出，由可得结论．
【详解】解：由折叠得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式2-1】如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由折叠可知，，，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：，，
由折叠可知，，
，
，
故答案为：．
【变式2-2】是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置．
(1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________．
(2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________．
(3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，；
(2)，理由见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】本题考查折叠问题，三角形的外角性质，关键是掌握折叠的性质，熟练应用三角形的外角性质来解决问题．
（1）由折叠的性质得到，，由邻补角的性质得到，求出，由三角形的外角性质得到；
（2）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，因此；
（3）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，得到．
【详解】（1）解：如图
由折叠的性质得到：，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：如图，
，理由如下：
连接，
由折叠的性质得到：，
，，
，
故答案为：；
（3）解：如图，
，理由如下：
连接，
由折叠的性质得到：，
，，
．
【题型三】两圆一线画等腰三角形
题型：已知A、B两点，在直线l上找点P，使得▲ABP是等腰三角形。
方法：
以A为圆心，AB为半径画圆与l交于点P1、P4；
以B为圆心，AB为半径画圆与l交于点P2、P5；
连接两圆的交点形成直线（AB的垂直平分线）与l交于点P3.
【例3】如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出图形，即可得到答案．
【详解】解：分三种情况①，②，③：
如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和，
②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和，
③线段垂直平分线与直线的交点记为点，
符合条件的点P共有4个，
故选：C．
【变式3-1】如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个.
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
【详解】解：如图，
①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、，
此时，和为等腰三角形，
②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
③作的垂直平分线，与与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
即满足条件的点位置有4个，
故答案为：4．
【变式3-2】如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：

(1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个；
(2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定．
（1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可；
（2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可．
【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：

当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：4；
（2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：

当时，是等边三角形，
当时，；
故答案为：
【题型四】周长最小值——双对称与将军饮马
题型：
在▲ABC中D为BC的中点，EF垂直平分AC，动点G在直线EF上，连接CG、DG，求▲CDG的周长最小值。
方法：将军饮马。求三角形CDG的最小值就是求CD+CG+DG,CD固定，求CG+DG最小值即可，过点C作EF的对称点A，连接AD，最小值为AD
∠ABC内有点P，点D在射线AB上，点E在射线BC上，连接PD、PE、DE，使得▲PDE周长最小。
方法：双对称。分别过点P作两条射线的对称点为P1，P2，连接P1P2，交射线与点D、E。此时三角形PDE周长最小。
【例4】如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线上异于点O的动点，则的最小值是（ ）
A．12B．9C．6D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．作点关于的对称点E、D，连接，由轴对称的性质可得，当线段在同一直线上时，取最小值，且，再证明是等边三角形，易得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，作点关于的对称点E、D，连接，
由轴对称的性质可得，
∴，
当线段在同一直线上时，取最小值，且，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴此时，
∴．
故选：B．
【变式4-1】如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ．
【答案】7
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值．
【详解】解：如图，连接，
直线垂直平分的边，
，
，
，当点F与点D重合时等号成立，
，
周长的最小值是7．
故答案为：7．
【变式4-2】【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴______，________，
∴_____
在中，
∵，
∴．
∴，即最小，
【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米．
【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值．
【答案】任务一：，，；
任务二：500
任务三：
【分析】任务一：根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可；
任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到△的周长的最小值为，再证得△为边长为500的等边三角形即可得出答案；
任务三：过点作交于点，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质得到，这时有最小值，即的长度，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】任务一：证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，，
直线是点，的对称轴，点，在上，
，，
．
在△中，
，
．
，
即最小，
故答案为：，，；
任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，
分别交、于、，如图：
，，
的周长为，
此时的周长取得最小值，且最小值为，
由轴对称的性质得：，，
，，
，，
，，
△为边长为500的等边三角形，
，
△的周长的最小值为500米，
故答案为：500；
任务三：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点，
是的平分线．
，
，
这时有最小值，即的长度，
，，，，
，
，
即的最小值为．
【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查轴对称，三角形的面积公式，三角形的三边关系，等边三角形的判定与性质，最短路径问题，角平分线的性质，文字量多，读懂题意是解题的关键．
思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D、E，测量、并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试．
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？