专题03+勾股定理（期中知识清单，5知识&11题型&4易错清单）八年级数学上学期新教材苏科版

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【清单01】基本定义与术语
勾股定理相关术语：
1.勾：直角三角形中较短的直角边。
2.股：直角三角形中较长的直角边。
3.弦：直角三角形的斜边。
【清单02】勾股定理核心内容
1.定理表述：
直角三角形中，两直角边（勾与股）的平方和等于斜边（弦）的平方。
符号表示：若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，则a² + b² = c²。
2.定理验证方法：
（1）赵爽弦图法：通过四个全等直角三角形拼合正方形，利用面积关系推导。
（2）欧几里得证明法：基于几何图形分割与面积等式推导。
（3）毕达哥拉斯拼图法：通过正方形面积差验证定理。
【清单03】勾股定理的逆定理
1.定理内容：
若三角形三边满足a² + b² = c²（c为最长边），则该三角形为直角三角形，且c所对角为直角。
2.应用场景：
判断三角形形状（锐角/直角/钝角）。
构造直角三角形解决实际问题。
【清单04】勾股数与常见组合
1.勾股数定义：
满足a² + b² = c²的三个正整数称为勾股数。
2.常见勾股数组：
（1）基础型：3,4,5；6,8,10；9,12,15。
（2）扩展型：5,12,13；8,15,17；7,24,25。
（3）规律型：
勾为奇数时，弦与股相差1（如3,4,5）。
勾为偶数时，弦与股相差2（如6,8,10）。
【清单05】勾股定理的应用
1.边长计算：
已知两边求第三边（如直角边或斜边）。
2.几何证明：
证明线段平方关系（如垂直线段长度）。
验证图形性质（如矩形对角线长度）。
3.面积计算：
直角三角形面积：S=½ab。
组合图形面积（如通过勾股定理求斜边后计算外围图形面积）。
4.实际问题建模：
测量高度（如梯子靠墙问题）。
路径优化（如最短距离问题）。
工程应用（如建筑结构稳定性分析）。
【题型一】勾股数（树）
【例1】下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．30，40，50B．12，8，5C．9，13，15D．
【变式1-1】下列属于勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．0.3，0.4，0.5C．1，2，3D．，2，
【变式1-2】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ．
【题型二】组成直角三角形的是
【例2】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．2，2，4B．3，4，5C．1，2，3D．2，3，6
【变式2-1】中，的对边分别记为．下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】已知在中，，则的长为 ．
【题型三】赵爽弦图
【例3】如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（ ）
A．18B．24C．36D．72
【变式3-2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ；
【题型四】网格问题
【例4】如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（ ）
A．B．C．D．或
【变式4-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为 ．
【题型五】最值问题
【例5】如图，在等腰直角中，，，点在上，点在上，若，连接、则的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
【变式5-1】如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
【变式5-2】如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ．
【题型六】勾股定理的应用
【例6】《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为 ．
【变式6-2】如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为9米．

(1)这个梯子顶端离地面有几米；
(2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示）
【题型七】折叠问题
【例7】如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ）

A．2B．C．D．4
【变式7-1】如图所示，在中，，将沿着翻折，使点落在边上的点处．，，则的长为 ．
【变式7-2】【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长；
【深入探究】
（2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长．
【题型八】等腰三角形的动点求t
【例8】如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发1秒后，求的长；
(2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角 形的运动时间．
【变式8-1】如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（）．
(1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点P在的角平分线上，求t的值；
(3)在整个运动中，求出是等腰三角形时t的值．
【变式8-2】如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)出发秒后，求的长；
(2)当点在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？
(3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．
【题型九】直角三角形的动点求t
【例9】如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒．
(1)动点运动秒后，求的周长；
(2)当动点在上运动时，问为何值时，为直角三角形？
【变式9-1】如图，在中，动点 P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)若点 P运动到的中点时，t的值是 ；
(2)4秒内，若， 求的长；
(3)当为直角三角形时，求t的值．
【变式9-2】如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒（），解答下列问题：
(1)当t为何值时，点A在的垂直平分线上？
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)在运动过程中，请直接写出当t为何值时，．
【题型十】勾股定理的新定义
【例10】（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即，请结合图①（四边形为垂美四边形）证明这个性质；
（2）如图②，在长方形中，是边上一点，且，求的长．
【变式10-1】我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”．
【概念理解】（1）①在等补四边形中，若，则的度数为______；
②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【性质探究】（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
【拓展应用】（3）将斜边相等的两块三角板如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，，位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______．
【变式10-2】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形，例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若三边长分别是2，和4，则此三角形________常态三角形（填“是”或“不是”）；
(2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为________（请按从小到大排列）；
(3)如图，中，，，点D为的中点且，连接，若是常态三角形，求的面积．
【题型十一】无刻度尺作图
【例11】如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺按要求作图．（注意先用铅笔画，再用水笔描，求作的图形用实线，辅助的线条用虚线）
(1)在图1中，画出边上的高；
(2)在图2中，画出边上的中线；
(3)在图3中，画，使与全等（F不与C重合，画出一个即可）．
【变式11-1】图、图、图．均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫作格点．的顶点和点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图中的边上找到一格点，连接，使；
(2)在图中的外部找到一个格点，画四边形，使该四边形只有一组对角为；
(3)在图中的外部找到一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形．
【变式11-2】如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形．

(1)请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数．
(2)请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边．
(3)请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数．
【题型一】直角边与斜边未明确
【例1】若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为（ ）
A．B．C．或D．
【变式1-1】若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13B．13或C．13或15D．15
【变式1-2】若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为 ．
【题型二】三角形形状不明
【例2】等腰三角形腰上的高与腰的比为，则顶角为（ ）
A．B．C．或D．或
【变式2-1】已知、、为的三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【变式2-2】在等腰三角形中，，，以为腰作等腰直角三角形，，点到直线的距离为 ．
【题型三】立体图形最短路径路线不全
【例3】如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点飞到与之相对的点，那么它飞行的最短路程为（ ）

A．B．C．D．
【变式3-1】如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ．
【变式3-2】综合与实践
【主题】自制环保笔筒
【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶．
【实践操作】
步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸；
步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；
步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；
步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒．
【实践探索】
(1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留）
(2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号）
(3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？
【题型四】勾股定理与方程结合求解错误
【例4】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为 ．
【变式4-2】如图所示，在中，点在边上，点在边上，沿将折叠，使点与点重合，折痕为．若，，．求：
(1)的周长；
(2)折痕的长．