2025-2026学年北京市通州区潞河中学八年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年北京市通州区潞河中学八年级上学期10月月考数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列有理式、、、、中，是分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若分式的值为0，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
3．下列分式计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，1，2B．1，2，3C．1，2，2D．1，2，4
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
6．用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．一项工程，甲单独干，完成需要a天，乙单独干，完成需要b天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（ ）
A．B．C．D．
8．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．且D．且
二、填空题
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值 （填“扩大”“缩小”或“不变”）
11．在公式中，所有字母均不等于零，则 ．
12．下列各式从左到右的变形一定正确的是 ．
① ② ③ ④
13．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
14．若分式的值为正，则x的取值范围是 ．
15．若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个．
16．对于正数x，规定，例如，则的结果是＝ ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．解方程：
(1)
(2)
19．已知，求代数式的值．
20．先化简：，并选一个合适的值作为代入求值．
21．先阅读下列解题过程，再回答问题．
(1)以上解答有错误，最先开始错误的步骤是_________（填序号），此步骤的做题依据是_________；
(2)请给出正确的解答过程．
22．对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：．
(1)求的值；
(2)若，求a的值．
23．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，在某路口的斑马线路段横穿双向机动车道，其中段长6米，比段少1米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.4倍，求小明通过时的速度．
24．观察下列方程及其解的特征
第1个方程：的解为
第2个方程：的解为
第3个方程的解为
解答下列问题：
(1)猜想，第5个方程，方程的解为________．
(2)关于的第个方程为________，它的解为________；
(3)利用上述规律解关于的分式方程：
25．阅读下面材料：
小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式．
他还发现像，等交换对称式都可以用，表示．
例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）；
(2)已知．
①___________（用含，的代数式表示）；
②若，，求交换对称式的值；
③若，求交换对称式的最小值．
解方程：，
解：两边同乘得：①
去括号得：②
移项得：③
解得：④
……
《北京市通州区潞河中学2025-2026学年八年级上学期数学10月月考试题》参考答案
1．B
【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：、、中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，
、的分母中含有字母，因此是分式，共2个．
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此列式求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的运算进行排除选项即可．
【详解】解：A、，计算正确，故不符合题意；
B、，原计算错误，故符合题意；
C、，计算正确，故不符合题意；
D、，计算正确，故不符合题意；
故选B．
4．C
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【详解】解：A、，不能组成三角形，故A选项错误；
B、，不能组成三角形，故B选项错误；
C、，能组成三角形，故C选项正确；
D、，不能组成三角形，故D选项错误；
故选：C．
5．B
【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可．
【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意；
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意；
C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意；
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据题意列出代数式是解题的关键．
设工作量为1，则甲的效率为，乙的效率为，依题意列出代数式即可求解．
【详解】解：设工作量为1，则甲的效率为，乙的效率为，
甲、乙合作，需要天能完成这项工程，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据解为正数，且分式有意义，得到不等式，进行求解即可．
【详解】解：，解得：，
由题意，得：且，
∴且，
解得：且；
故选D．
9．
【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是牢记分母不等于0．根据分母不等于0解答．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴
即
故答案为：．
10．不变
【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；因此此题可根据分式的性质进行求解即可．
【详解】解：将中的x，y都扩大10倍，为，
∴分式的值不变；
故答案为：不变．
11．
【分析】本题主要考查了分式方程的解法，对于本题而言，将题目中的字母（除所求的字母外）看作常数是解答的关键．
按照分式方程的求解步骤进行整理即可．
【详解】解：
故答案为：．
12．④
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
利用分式的基本性质逐项进行判断即可．
【详解】解：根据分式的基本性质，
①该选项变形错误，不符合题意；
②，该选项变形错误，不符合题意；
③，当异号的时候，该选项变形错误，不符合题意；
④，该选项变形正确，符合题意；
正确选项为④，
故答案为：④．
13．4
【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，接着根据原方程无解得到，解之即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
14．且
【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：且；
故答案为：且．
15．3
【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值．
【详解】解：解分式方程得且，
∵分式方程的解为整数，
∴的值为或，
解得m的值为，，，共3个．
故答案为：3．
16．2020.5
【分析】根据题意计算出，，，，即可总结出规律…，由此即可计算．
【详解】∵，
∴
，
，
…
，．
∴
，
．
故答案为：2020.5．
【点睛】本题考查了新定义运算，掌握规定的运算方法，运算中找出规律，利用规律，解决问题．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先由同分母分式减法运算计算，再由平方差公式因式分解，再约分即可得到答案；
（2）先对分式分母因式分解，再由异分母分式加法运算计算，最后约分即可得到答案；
（3）先计算乘方运算，再将除法转化为乘法，最后由分式乘法运算法则计算即可得到答案；
（4）先对分式分子分母因式分解，再约分，然后将除法转化为乘法，然后计算括号内异分母分式加法运算计算，最后约分即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，涉及因式分解、同分母分式加减运算、异分母分式加减运算、分式乘除运算、通分与约分等知识，熟记分式混合运算法则是解决问题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；
（1）根据分式方程的解法可进行求解；
（2）根据分式方程的解法可进行求解．
【详解】（1）解：
解得：；
经检验：当时，，
∴原分式方程解为；
（2）解：
，
解得：；
经检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
19．，
【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质是关键．
根据分式的性质，分式的混合运算法则计算，再代入求值即可．
【详解】解：
，
，
，
原式．
20．，当时，原式的值为
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的法则．
先对分式进行化简，再选择合适的值代入求值即可．
【详解】解：
∵，
∴，
可选当时，代入上式得，
原式．
21．(1)①，等式基本性质
(2)正确解答过程见详解
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的关键．
（1）由等式的基本性质检验即可得到答案；
（2）按照分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、验根求解即可得到答案．
【详解】（1）解：以上解答有错误，最先开始错误的步骤是①（填序号），此步骤的做题依据是等式基本性质，
故答案为：①，等式基本性质；
（2）解：，
整理得：
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项得：，
解得：，
当时，，
是原分式方程的解．
22．(1)1
(2)a的值为
【分析】本题考查有理数的混合运算，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键．
（1）运用定义运算代入计算即可；
（2）运用定义运算代入得到一个分式方程，求解这个分式方程即可，注意检验．
【详解】（1）解：；
（2），
去分母得：，
解得：，
经检验：是方程的解，
⸫a的值为．
23．1米/秒
【分析】本题考查分式方程的应用．设小明通过时的速度为x米/秒，则通过时的速度为米/秒．根据“小明共用11秒通过”列出方程，求解并检验即可．
【详解】解：设小明通过时的速度为x米/秒，则通过时的速度为米/秒．
依题意：
解得：
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义．
答：小明通过时的速度为1米/秒．
24．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键．
（1）仿照题中规律，解答即可；
（2）仿照题中规律，解答即可；
（3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可．
【详解】（1）解：，即，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：可猜想第n个方程为：的解为，，
故答案为：，；
（3）解：方程两边乘2得，，
移项，得，
∴或，
解得：，，
经检验得，，是原方程的解．
25．(1)①④
(2)①；②；③
【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”．
（1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可；
（2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可．
【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式；
②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式；
③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式；
④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式；
故答案为：①④；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，；
故答案为；
②解：，则，，
∴；
③解；，则，
即
，
又∵，
∴，
∴的最小值是4；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
B
B
C
B
D
A
D