辽宁省铁岭市昌图县万安中学2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试卷（含答案解析）

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一、单选题
1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
2. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（ ）
3. 根据下表判断方程的一个解的取值范围是（ ）
4. 顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（ ）
5. 解一元二次方程，用配方法可变形为（ ）
6. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
7. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）
8. 如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合．若，则矩形的面积为（ ）
二、填空题
9. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为_____．
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为_______．
11. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形．
12. 如图，在中，，，，在边上（不与重合的一动点），过点分别作于点，于点，则线段的取值范围是________．
13. 已知x、y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则__________．
三、解答题
14. 解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15. 如图，已知是矩形的对角线．用没有刻度的直尺和圆规分别在和上找一个点、，使得四边形为一个菱形（不写作法，保留作图痕迹）．
16. 已知：如图，在梯形中，，，，E为中点，求证：四边形是菱形．
17. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
18. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式的最小值．
解：
的最小值是4．
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
19. 已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形．
20. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
21. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，求折痕的长．
22. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
23. 如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点．
(1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由．
(2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？
(3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．
24. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，张阿姨决定降价销售．
(1)若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是多少斤？（用含的代数式表示）；
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
25. 问题：如图（1），正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．试判断和之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把绕点顺时针旋转至，从而发现，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】
当绕点旋转到如图（2）的位置时，猜想线段和之间的数量关系是_________．
【探究应用】
如图（3），四边形中，，，，点、分别在边、上，，，，求的长度．
辽宁省铁岭市昌图县万安中学2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：方程与不等式、图形的性质、图形的变化、数与式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
第25题：
A．
B．
C．
D．
A．甲量得窗框两组对边分别相等
B．乙量得窗框的对角线相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
…
…
…
…
A．
B．
C．
D．
A．相等且平分
B．垂直且平分
C．相等且垂直
D．相等、平分且垂直
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
A．
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
8
填空题
5
解答题
12
难度
题数
容易
1
较易
10
适中
13
较难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
一元二次方程的定义
2
0.85
矩形的判定定理理解
3
0.94
一元二次方程的解的估算
4
0.65
与三角形中位线有关的证明；正方形性质理解；中点四边形
5
0.85
解一元二次方程——配方法
6
0.85
传播问题(一元二次方程的应用)
7
0.65
全等的性质和SAS综合（SAS）；利用菱形的性质求角度
8
0.85
根据矩形的性质求面积；折叠问题；用勾股定理解三角形
二、填空题
9
0.85
由一元二次方程的定义求参数
10
0.85
斜边的中线等于斜边的一半
11
0.85
与三角形中位线有关的证明；添一条件使四边形是矩形；证明四边形是平行四边形
12
0.65
用勾股定理解三角形；根据矩形的性质与判定求线段长
13
0.85
运用完全平方公式进行运算
三、解答题
14
0.65
公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；解一元二次方程——直接开平方法
15
0.85
利用矩形的性质证明；证明四边形是菱形；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；作垂线(尺规作图)
16
0.65
证明四边形是菱形；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；斜边的中线等于斜边的一半
17
0.65
证明四边形是矩形；证明四边形是正方形；根据三线合一证明
18
0.65
利用算术平方根的非负性解题；配方法的应用
19
0.65
角平分线的性质定理；证明四边形是正方形
20
0.65
与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
21
0.65
根据矩形的性质与判定求线段长；折叠问题；根据等角对等边求边长；用勾股定理解三角形
22
0.65
一元二次方程根的判别式
23
0.65
添一条件使四边形是矩形；添一个条件使四边形是正方形；根据等角对等边证明边相等；利用菱形的性质证明
24
0.65
列代数式；营销问题(一元二次方程的应用)
25
0.4
全等的性质和SAS综合（SAS）；根据旋转的性质求解；根据正方形的性质证明
序号
知识点
对应题号
1
方程与不等式
1,3,5,6,9,14,18,20,22,24
2
图形的性质
2,4,7,8,10,11,12,15,16,17,19,21,23,25
3
图形的变化
8,21,25
4
数与式
13,18,24