2025~2026学年度安徽省合肥市2025~2026学年九年级上学期第一次月考数学【附答案】

这是一份2025~2026学年度安徽省合肥市2025~2026学年九年级上学期第一次月考数学【附答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1 ．下列函数属于二次函数的是( )
A ． B ．y = (x - 2)2 - x2 C ．y = x (x -1) D ．y = -2x +1
2 ．已知关于x 的二次函数y = (x - m)2 -1 ，当x < 1时，y 随x 的增大而减少，则该抛物线的 顶点坐标在( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3 ．对于二次函数y = -2(x +1)2 的图象，下列说法错误的是( )
A ．开口向下
B ．对称轴是直线x = -1
C ．当x < -1时， y 随x 的增大而增大
D ．与x 轴有两个交点
4 ．若点A(-4, y1 ) ，B (1, y2 ) ，C (3, -3) 都在反比例函数 的图象上，则y1 ，y2 与-3 的 大小关系是( )
A ．y1 0) 的图象将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组， 使两组点分别在双曲线两侧，则2 < k < 3 ，
故答案为：2 < k < 3 ．
15 ．(1)对称轴为直线x =1 ，顶点坐标为(1,8)
(2)当x > 1 （或 x ≥ 1）时， y 随x 的增大而减小
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关 键；
（1）把二次函数配成顶点式，然后问题可求解；
（2）根据二次函数的开口方向是向下，然后再根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：Q y = -2x2 + 4x + 6 = -2(x -1)2 + 8 ，
:抛物线的对称轴为直线x =1 ，顶点坐标为(1,8) ．
（2）解：Q -2 < 0 ， :抛物线的开口向下．
又Q抛物线的对称轴为直线x = 1 ，
: 当x > 1 （或 x ≥ 1）时， y 随x 的增大而减小．
16 ．(1) y = x2 +2x-1
(2) 0 < a ≤ 3
【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质；
（1）将(1, 2) 和(-2, -1) 代入函数表达式即可；
（2）根据解析式得出抛物线的对称轴为直线 ，进而根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：将(1, 2) 和(-2, -1) 代入函数y = ax2 + bx - a 中，
得： ， 解得 ，
故函数表达式为：y = x2 +2x-1；
（2）解：∵ b = a + 3 ，
:抛物线的对称轴为直线
∵当x > -1 时，函数y 随 x 的增大而增大 : a > 0 ，且
:a 的取值范围为0 < a ≤ 3
17 ．(1)2 (2)11
(3) -2 < x < 0
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关 键；
（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把 x =2 代入（1）中函数解析式进行求解即可；
（3）把 y = 3 代入（1）中函数解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：把P(-2, 3) 代入二次函数y = x2 + ax + 3 得：4 - 2a + 3 = 3 ， 解得：a = 2 ；
故答案为 2；
（2）解：由（1）可知：二次函数解析式为 y = x2 + 2x + 3 ， :当x = 2 时，则有y = 22 + 2× 2 + 3 = 11 ，即 n = 11；
故答案为 11；
（3）解：令 y = 3 时，则有x2 + 2x + 3 = 3 ，
解得：x1 = 0, x2 = -2 ，
:当x2 + ax + 3 < 3时，则 x 的取值范围为-2 < x < 0 ．
18 ．(1) x = 2 ；(2, -1)
(2)见解析
(3) x ≤ 2
【分析】此题主要考查了二次函数的性质， 与坐标轴的交点求法，解答此题的关键是求出图 象与 x 轴的交点，然后画出函数图象找出自变量 x 的范围，锻炼了学生数形结合的思想方法．
（1）根据二次函数顶点式，即可得到对称轴和顶点坐标；
（2）确定顶点、与坐标轴交点，再利用描点法画出函数图象即可；
（3）根据（2）中函数图像变化趋势写出答案即可． 【详解】（1）因为二次函数 y = (x - 2)2 -1，
所以对称轴为x =2 ，顶点坐标为(2, -1) ， 故答案为：x = 2 ；(2, -1) ．
（2）当 y = 0 时，(x - 2)2 -1 = 0 ， 解得x1 = 1 或x2 = 3 ，
则二次函数与x 轴的交点坐标为(1, 0) , (3, 0) ，
当x = 0 时，y = (0 - 2)2 -1 = 3 ， 则二次函数与y 轴交点为(0, 3)， 所以作图如下：
（3）由（2）知，当 x ≤ 2 时，y 随 x 的增大而减小， 故答案为：x ≤ 2 ．
19 ．(1)蔬菜上市第 3 天时的出场产量是174 kg，销售价格是元/kg
(2)蔬菜上市第 11 天的销售额最高，最高是 1764 元
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键．
（1）把 x = 3 代入y1 = -2x2 + 64x ， 再计算即可；
（2）设每天的销售额为w 元，则 再利用二次函数的性质求解即 可．
【详解】（1）解：令 x = 3 ．则y1 = -2× 32 + 64× 3 = 174 ，
:蔬菜上市第 3 天时的出场产量是174 kg，销售价格是元/kg ．
（2）解：设每天的销售额为w 元，则
= -4(x -11)2 +1764 ．
:当x =11时， w 取得最大值 1764．
即蔬菜上市第 11 天的销售额最高，最高是 1764 元．
(2)见解析
【分析】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点 坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力．
(1) 设点 M 的坐标为(a, b)，根据点 M 在反比例函数上，求出ab ，根据AC 丄 x 轴，M
是AC 的中点，求出点 A 的坐标，设经过点 A 的反比例函数C2 的表达式为 代入点 A 的坐标即可解答；
(2) 根据题意证明AC 与BD 互相垂直平分即可得证． 【详解】（1）解：设点 M 的坐标为(a, b)，
Q 点 M 在反比例函数上， :ab = 2 ，
Q AC 丄 x 轴，M 是AC 的中点， : 点 A 的坐标为(a, 2b) ，
设经过点 A 的反比例函数C2 的表达式为y = ， 把A(a, 2b) 代入可得2b = ，
即k = 2ab ， 又Q ab = 2 ， :k = 4 ，
则反比例函数C2 的表达式为
x
（2）证明：设点 M 的坐标为(a, b)， Q BD 丄 y 轴，
: 点 D 的纵坐标与点 M 的纵坐标相同， Q 点 D 在图象上，
( 4 ö
: 点 D 的坐标为çèb , b,÷ ,
由(1) 知A(a, 2b) ，ab = 2 ，即 ，
( 2 ö
: 点 M 的坐标为çèb , b,÷ ,
QM 是AC 的中点， : AM = CM ；
Q AC 丄 x 轴，BD 丄 y 轴，
: AC Ⅱ y 轴，BD∥x 轴， 即AC ^ BD ，
: 四边形ABCD 是菱形．
21 ．(1)抛物线的顶点坐标为(-1, 4) ；
(2)当-3 ≤ x ≤ 2 时，y 的最小值是-5 ．
【分析】本题考查了二次函数解析式， 二次函数的顶点式，函数最值问题，熟练掌握二次函 数解析式，二次函数的顶点式是解题的关键．
（1）将M(-2, 3) 代入即可求得 m 的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线 的顶点坐标；
（2）二次函数的顶点式得抛物线开口向下，分别计算端点值和对称轴出的值，然后比较即 可．
【详解】（1）解：把M(-2, 3) 代入y = -x2 + mx + 3 得：
-4 - 2m + 3 = 3 ，
解得m = -2 ，
: y = -x2 - 2x + 3 = - (x +1)2 + 4 ， :抛物线的顶点坐标为(-1, 4) ；
（2）: y = - (x +1)2 + 4 ，
:抛物线开口向下，有最大值，
当x = -1 时，y = 4 ， :当x = -3 时，y = 0 ， 当x = 2 时，y = -5 ， : -5 ≤ 0 ≤ 4 ，
:当-3 ≤ x ≤ 2 时，y 的最小值是-5 ．
22 ．(1)见解析
(2) k = 0 或-2 ．
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系：
（1）证明一元二次方程y = x2 - (k + 3)x + 2k -1 中 Δ > 0 即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1 + x2 和x1x2 ，根据x + x = 11 列等式即可求解．
【详解】（1）证明：∵ Δ = - (k + 3)2 - 4× 1 × (2k -1) = (k -1)2 +12 > 0 ， :无论 k 取何值，抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；
（2）解：∵抛物线与 x 轴的两个交点分别为(x1 , 0) 、(x2 , 0) ， : x1 + x2 = k + 3 ，x1 . x2 = 2k -1，
: x + x = (x1 + x2 )2 - 2x1 . x2 = (k + 3)2 - 2(2k -1) = 11，
整理得k2 + 2k = 0 ， 解得k = 0 或-2 ．
23 ．
(2)M (2, -2)
(3)存在，(1,1) 或(1, - 2) 或(1, - - 2)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点 M 作MG Py 轴交AC 于点G ，则 由题意可知
则 当t = 2 时， 有最小值2 ，此时M(2, -2)；
设P(1, m) ，求出 ，BC = 2 ，分三种情况讨论：当 BP = CP 时，P (1, 1)；当BP = BC 时 无解；当CP = BC 时
或(1, - - 2)．
l 4
ï 16a + 4b + c = 0 ï
:í 4a - 2b + c = 0 ， ï 7
ï25a + 5b + c =
解：将点A(4, 0) ，B (-2, 0) ，点 代入y = ax2 + bx + c 中， ì
ì 1
解得 ，
（2）当 x = 0 时，y = -2 ， :C(0, -2) ，
设直线AC 的解析式为y = kx - 2 ， :4k - 2 = 0 ，
解得
过点M作MG Ⅱ y 轴交AC 于点G ，
QM 点横坐标为t ，
当t = 2 时， 有最小值2 ，此时M(2, -2)；
（3）存在点 P ，使得△PBC 是等腰三角形，理由如下：
:对称轴为直线x = 1 ， 设P(1, m)，
当BP = CP 时 解得m = 1，
:P(1,1) ；
当BP = BC 时 无解；
当CP = BC 时 解得 2 或
综上所述：P 点坐标为(1, 1) 或 或
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质， 平行线的性质，等腰三角形的性质熟练掌 握二次函数的图象及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．