重庆市奉节永安中学校2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷 Word版含解析

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答案 D C A D B D B A ABD ACD
题号 11
答案 ABD
1．D【分析】由等高条形图的定义和性质依次分析，即得解
【详解】观察等高条形图发现 与 相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强．故选：D
2．C【分析】利用导数的极限定义，将极限值化成 ，再对原函数求导代入即得.
【详解】由 求导，可得： .而 ，故 .
故选：C.
3．A【分析】先根据回归方程求出 时的预报值，再运用残差计算公式计算即可.
【详解】把 代入 ，可得生长高度 y 的估计值为 ，
则样本 的残差的绝对值为 .故选：A.
4．D【分析】求出函数的导函数，由 求出 的值，即可得到函数在 上的单调性，从而求出 的值.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，则 ，所以当 时 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，解得 .故选：D
5．B【分析】设事件 表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件 表示“学生抽自高一年级”，事件 表示“学生抽
自高二年级”， 事件 表示“学生抽自高三年级”，根据全概率公式列式
求解.
【详解】设事件 表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件 表示“学生抽自高一年级”，
事件 表示“学生抽自高二年级”， 事件 表示“学生抽自高三年级”，
则 ， ， ， ， ， ，
由全概率公式 ，
即 ，解得 .故选：B.
6．D
【分析】分为在一楼就餐的同学有 1 个，2 个，3 个和 4 个同学，再分别讨论二楼、三楼就餐的同学即可得出答案.
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【详解】在一楼就餐的同学有 1 个，在二楼、三楼就餐的同学为 ，即 种；
在一楼就餐的同学有 2 个，在二楼、三楼就餐的同学为 ，即 种；
在一楼就餐的同学有 3 个，在二楼、三楼就餐的同学为 ，即 种；
在一楼就餐的同学有 4 个，在二楼、三楼就餐的同学为 ，即 种.所以共有： 种.故选：D.
7．B【分析】分析出 ，从而得到 ，错位
相加法求和，求极限，得到答案.
【详解】 ，即投掷 1 次到达终点，故第一次投掷的点数为 3，故 ，
，即投掷 2 次到达终点，故第一次投掷的点数不为 3，
第二次投掷的点数可根据第一次投掷的点数来唯一确定，
两次投掷的点数有以下的情况， ，故 ，
，即投掷 3 次到达终点，前两次投掷均没有到达终点， ，
……， ，即投掷 次到达终点，前 次投掷均没有到达终点， ，
故 ①，
②，
则①-②得 ，
故 .故选：B
【点睛】关键点点睛：分析得到 ，即投掷 次到达终点，前 次投掷均没有到达终点，得到
，再根据求期望公式和错位相减法进行求解.
8．A【分析】首先利用导数的几何意义求出 与 相切时的 a 的值，根据 a 的值分段讨论,利用
指数函数的增长速度判断交点个数.
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【详解】函数 ， 存在两个不同的零点，令 ，
即 与 有两个不同的交点，又 ，
令 ，即 ，此时 与 相切于点 ，
又 ，所以 既是 与 交点又是切点，
当 时，当 时， 从 递减到 ，函数 从 递减到 ，
由于 递减较快，在 处与 相交一次，
当 时，当 ，
但 的增长速度比 快，因此两者会在 处相交一次，
所以在 和 各有一个交点，加上固定零点 ，总共有两个不同的零点，
当 时，当 时， 的递减速度比 慢，
因此 始终位于 上方，所以无交点，
当 时， ，
但 的增长速度比 慢，因此两者会在 处相交一次，
所以在 处有一个交点，加上固定零点 ，总共有两个不同的零点.
当 时，令 ，即仅在 相交，
当 时，当 时， 的递减速度比 慢，
因此 始终位于 上方，所以无交点，
当 时， 的增长速度进一步降低，无法与 交，
所以仅有一个零点，不满足题目要求，数 的取值范围为 ，故选：A
9．ABD
【分析】根据均值与方差性质、二项分布和两点分布的均值与方差、正态分布的基本意义依次判断各个选项即可.
【详解】对于 A，由均值与方差的性质可知： ， ，A 正确；
对于 B， ， ， ， ，与 无关，B 正确；
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对于 C， ， ， ，C 错误；
对于 D，若 服从于两点分布，则方差 ， 当 时， 取得最大值，D 正确.
故选：ABD.
10．AC【分析】用概率与统计的知识点，逐个分析每个选项，排除可得答案.
【详解】对于 A，两个变量 ， 的相关系数为 ， 越小， 与 之间的相关性越弱，故 A 正确
对于 B， ， ，故 B 错误
对于 C， 越接近 1，模型拟合越好，且 ，故 C 正确.
对于 D， ，故 ，
令 ，解得 ，故 ，故 D 正确.故选：ACD
11．ABD【分析】证明函数 与 互为反函数，可判断 A 的真假；设 ， ，求 的取值范
围，可判断 BD 的真假；根据 求 的取值范围，可判断 C 的真假.
【详解】对 A：由 .
所以函数 与 互为反函数，
根据反函数的性质，曲线 上任意点 ，与 P 对应的点 也在曲线 上，故 A 正确；
对 C：由 .设 （ ），则 .
由 ，由 .所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ， ， ，所以 .
又 ，所以 ，所以 不成立，故 C 错误；
对 B：设 ，则 ，那么 点坐标为 ，所以“鱼尾”的宽为： .
由题知当 和 时， ；当 时， ，所以 的取值范围是 ，故 B 正确；
对 D：因为 ，根据函数 的性质，且 ，
所以当 时， ，所以 在 ， ， 上各有一解，故 D 正确.故选：ABD
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12．24【分析】根据题意，写出其通项，再求其特定项的系数即可.
【详解】在 的展开式中， .
令 得 ，所以含 项的系数是 .故答案为：24.
13． /0.4【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和
是 1，解出 的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．
【详解】∵ ， ，∴ ，∴ ，
.故答案为： ．
14． 【分析】设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，求 的解析式，
设 ，利用导数证明 ，则 ，设
，利用导数求 的最小值，由此可得结论.
【详解】设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，又 ，
所以 ，设 ，
则 ，
令 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
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设 ，则 ，令 ，所以 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立，即 ， 时等号成立.所以 的最小值为 ，
故答案为： .
15．(1) ， ，有把握 (2)分布列见解析，
【分析】（1）先算出 ，再计算卡方对比临界值即可得解.
（2）由题意可得 X 的所有可能值为 0，1，2，3，计算出对应的概率即可得分布列，进一步即可求解数学期望.
【详解】（1）依题意， ， ，
数学成绩总评优秀人 数学成绩总评非优秀
合计 数 人数
每天都整理数学错题人数 14 6 20
不是每天都整理数学错题
5 15 20 人数
合计 19 21 40
零假设为 ：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关
根据列联表中的数据，计算得
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
所以有 99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”．
（2）不是每天都整理数学错题的学生有 20 人，其中数学成绩总评优秀人数为 5，X 的所有可能值为 0，1，2，3，
， ， ， ，
所以 X 的分布列为：
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X 0 1 2 3
P
期望 .
16．(1) ， (2)
【分析】（1）比赛结束时甲赢的局数为 2 局即前 4 局甲赢 2 局，最后一局乙赢；甲赢的局数为 3 局即前 4 局甲赢 2
局最后一局甲赢，或者是前三局甲赢.
（2）分别计算在 4 局和 5 局结束时甲获胜的条件概率，并通过比较大小求解取值范围.
【详解】（1）记比赛结束时甲赢的局数为 ，
当 时，比赛结束共打了 5 局，甲在前 4 局中赢 2 局，其余 3 局是乙赢，则 ，
当 时，比赛结束共打了 3、或 4、或 5 局，即连打 3 局都是甲赢、或打 4 局发生甲赢前 3 局中 2 局和第 4 局、
或打 5 局发生甲赢前 4 局中 2 局和第 5 局，则 .
（2）记事件 为“进行了 4 局比赛分出胜负”，则
记事件 为“甲获胜”，则事件 为“进行了 4 局比赛且甲获胜”，则
因此，在进行了 4 局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 ，
记事件 为“进行了 5 局比赛分出胜负”，则
则 表示“进行了 5 局比赛且甲获胜”，故
因此，在进行了 5 局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 ，
依题意有 ，所以 .
17．(1) (2)当 时， 的增区间是 ，减区间是 ， ，
极大值为 ，极小值为 ；当 时， 的增区间是 ， ，减区间是
，极大值为 ，极小值为 ．
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【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出；（2）根据分类讨论思想以及函数单调区间与极值的求法即可解出．
【详解】（1）函数 定义域为 .若 ,则 ，
，所以切线方程为 .
（2） ，
令 ， 有两根 ，或 .
(1)当 时, 与 的情况如下：
- 0 + 0 -
减 极小 增 极大 减
由表可知, 的增区间是 ，减区间是 ， ，
极大值为 ，极小值为 ．
(2)当 时, 与 的情况如下：
+ 0 - 0 +
增 极大 减 极小 增
由表可知, 的增区间是 ， ，减区间是 ，
极大值为 ，极小值为 ．
18．(1)（i） ；（ii）理由见解析；(2) .
【分析】（1）（i）根据已知 ，应用特殊区间的概率及正态分布的对称性求 ；（ii）根据
（i）结果及已知小概率事件的定义得结论；
（2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为 ，且 ，应用特殊区间的概率求得
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，进而有 并应用二项分布的方差公式求方差.
【详解】（1）（i）依题意得， ，所以 .
设 ，因为 ，
则 ；
（ii）由（i）得 .
因为小张计算出这 25 箱苹果质量的平均值为 4938.77 克，且 ，
所以 ，则小张购买的这 25 箱苹果质量的平均值为 4938.77 克属于小概率事件，
小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由.
（2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为 ，则 .
设 ，由 ，
得 ，
根据题意，得随机变量 ，故 .
19．(1) (2) (3)证明见解析
【分析】（1） 在区间 上为减函数，可得在区间 上 ，即 ，
而后根据 的范围求出 的范围即可；
（2）先对 进行求导得到 ，再对 进行分类讨论即可；
（3）从唯一性与存在性两方面进行证明，再结合零点的存在性定理得到最后结论.
【详解】（1）解： 在区间 上为减函数，∴在区间 上 ，
∴ ，令 ，只需 ，
显然 在区间 上为减函数，∴ ，∴ ；
（2）解：由题意得 （ ），则 ，
若 ，由于 ，故存在正数 使得 ，条件满足；
若 ，令 ，则 ，可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
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从而此时对任意的 都有 ，条件不满足.
综上，a 的取值范围是 ；
（3）解：设 ， ，下面分唯一性和存在性两方面来证明：
唯一性：由 ，知 的导数等于 ，
而 ，故 显然恒为负，从而 在 上单调递减，特别地， 在 上单调递减，
这表明，使得 的 至多有一个，从而唯一性得证.
存在性：先考虑函数 ，这里 ．由于 ，
故当 时 ，当 时 ，从而 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而对于任意的 ，都有 ，即 .
这就得到，对任意 ，有 .
从而，对任意的 ，都有 ；而对任意的 ，都有
然后回到原题，首先有
.
同时又有 ，
，故 .
由零点存在定理，知一定存在 ，使得 ，综合上述的存在性和唯一性两个方面，
知存在唯一的 ，使得
【点睛】思路点睛：（1） 在区间 上为减函数，可得在区间 上 ，即 ，
而后根据 的范围求出 的范围即可；
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（2）先对 进行求导得到 ，再对 进行分类讨论即可；
（3）从唯一性与存在性两方面进行证明，再结合零点的存在性定理得到最后结论.
方法点睛：1、若函数 在区间 内的导数 ，则 在该区间内单调递增；
若函数 在区间 内的导数 ，则 在该区间内单调递减；
2、不等式恒成立问题：若要求不等式在某个区间内恒成立，可以转化为求函数在该区间内的最值问题.
关键点点睛：（1）抓住 在区间 上为减函数，转化为在区间 上 进行解题；
（2）先对 进行求导得到 ，再对 进行分类讨论，将存在性问题转化为函数最值问题
是关键；
（3）从唯一性与存在性两方面去证明，其中理解并运用零点的存在性定理是关键.
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