重庆市奉节永安中学校2024~2025学年高二下学期数学期末押题卷2[附解析]

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【详解】 ,故 ，故选：B.
2．C【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解.
【详解】 展开式中 的系数为 .故选：C.
3．D【分析】由题意确定 A 公司的车选 2 辆，B 公司的车选 3 辆，结合排列组合数即可求得答案.
【详解】B 公司的车比 A 公司的车多选 1 辆，则 A 公司的车选 2 辆，B 公司的车选 3 辆，
所以选法种数为 ．故选：D
4．D【分析】记 ， ，依题意可得 真包含于 ，即可求出参数的取值范围.
【详解】记 ， ，因为 是 的充分不必要条件，所以 真包含于 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .故选：D
5．B【分析】对 A，D 由导数与函数单调性的关系，即可判断 的大小以及 的单调性，对 B，C 由
极值的定义即可判断.
【详解】由题图知可，当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
对 A， ，故 A 错误；对 B，函数 的极值点为 ， ，故 B 正确；对 C，函数 的极大值为
，故 C 错误；对 D，函数 )在 上递增，在 上递增，在 上递减，故 D 错误.故选：B.
6．D【分析】由条件概率计算公式直接计算即可.
【详解】 ， .故选：D.
7．B【分析】根据函数 有且只有一个零点，将其转化为函数 的图象与直线 有
且只有一个交点，求导判断函数 的单调性，求出其最小值，即得参数的值.
【详解】由 ，可得 .令 ，则 ，
则当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减， 在 上单调递增，故 ，
且当 时， ；当 时， ，
因函数 有且只有一个零点，
即函数 的图象与直线 有且只有一个交点，故 .故选：B.
8. B【分析】法一：设 ，对 讨论赋值求出 ，即可得出大小关系，利
用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设 ，所以
令 ，则 ，此时 ，A 有可能；
令 ，则 ，此时 ，C 有可能；
令 ，则 ，此时 ，D 有可能；故选：B．
法二：设 ，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数 的图象与直线 的交点纵
坐标，如图所示：易知，随着 的变化可能出现： ， ， ，
，故选：B．
9．BD【分析】A 选项，根据方差的线性运算性质， 计算即可；B 选项，根据正太分布曲线可
求得；C 选项相关系数 越接近 1，相关性越强；D 选项， ，则两事件相互独立，根据条件概率的
计算公式 可以求得.
【详解】由于 ，所以数据 的方差为 16，因此选项 A 错误；
随机变量 ， ，
则 ，因此选项 B 正确；
线性相关系数 越接近 1，则两个变量的线性相关性越强，故选项 C 错误；
由于 等价于“事件 A 与事件 B 相互独立”，即 ，故必有 .
因此选项 D 正确.故选：BD.
10．BCD【分析】A 选项，利用基本不等式直接进行求解；B 选项， 平方后，结合 A 选项，得到
取得最大值 ，故 B 正确；C 选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D 选项，由 得
， ，结合函数单调性得到 时， 取得最小值 .
【详解】对于 A，因 ， ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，故 A 错误；
对于 B，由 ，由 A 项已得 ，
故当且仅当 时， 取得最大值为 2，
此时 取得最大值 ，故 B 正确；
对于 C，因 ，由 ，
当且仅当 时等号成立，此时 取得最小值 4，故 C 正确；
对于 D，由 可得 ，解得 ，则 ，
因 ，故当 时， 取得最小值 ，故 D 正确.故选：BCD.
11．ACD【分析】首先求出 ，再由选择支分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可.
【详解】由于 ，知 ，及其 ，则 ，解得 .
AB 项， ，设函数 ，则 ，故 在 上单调递减，
则 1，故函数 的值域为 .而 ， ，故 A 对 B 错；
C 项，由于 ，设 ，则 ，故 在 上单调递减，
所以 ，故函数 的值域为 ，
若 ，则 ，故 C 对；
D 项， ，设 ， ，令 ，则 ，
则当 ， ，则 在 上单调递增；当 ， ， 在 上单调递减，
， ，即 ，故 D 正确.故选：ACD.
12． 【分析】根据题意， 为真命题，恒成立问题分离参数求解.
【详解】由题， 为真命题，所以 ，对 ，
又 在 上的最小值为 ， ，所以实数 的取值范围为 .故答案为： .
12． 【分析】根据题意， 的所有可能取值为 1，2，3，服从超几何分布，求出期望和方差.
【详解】由题意可知， 的所有可能取值为 1，2，3，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ．故答案为： .
13． 【分析】应用导数研究 且 的值域，结合二次函数的性质研究 且 ，
讨论 、 ，数形结合求参数范围.
【详解】由 且 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
对于 且 ，图象恒过 ，
当 时，函数图象大致如右图，则 不可能有 6 个解，同理 也不符，
所以 ，此时 ，即 ，如下图示，
要使 有 6 个解，则 ，可得 .
故答案为： .
14．(1)表格见解析，有关(2) .
【分析】（1）分析数据，填入表格，计算出卡方，与 7.879 比较后得到结论；
（2）设出事件，利用全概率公式进行计算，得到答案.
【详解】（1）表格如下：单位：人
短跑成绩
每周的锻炼时间 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过 5 小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过 5 小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设为 ：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立.
根据表中的数据，可得
根据小概率值 的 独立性检验，可以推断 不成立，
即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过 5 小时有关.
（2）由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有 40 名，
其每周锻炼时间超过 5 小时的有 10 人，不超过 5 小时的有 30 人.
从短跑成绩不合格的 40 名学生中随机抽取一名学生，记为甲，
设事件 “甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，
事件 “甲每周的锻炼时间超过 5 小时”，
“甲每周的锻炼时间不超过 5 小时”，
用连列表中的数据计算频率并替代概率后得
又已知 ，
由全概率公式可得 ，
所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为 .
15．(1) (2)
【分析】（1）解一元二次不等式求出 ，根据集合的并集定义，即可求得答案；
（2）由题意可判断出 A 为 的真子集，列出相应不等式，即可得答案.
【详解】（1）当 时， 或 ，
则 ，故 ；
（2） ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 A 为 的真子集， ，
故 ，结合 ，解得 ，即实数 a 的取值范围 .
16．(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】（1）先对 求导，利用导数与函数的关系即可得解；
（2）构造函数 ，利用导数证得 恒成立，从而得证.
【详解】（1）因为 ，所以 ，由 得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
则 的极小值点为 ，无极大值点.
（2）令 ，则 ，
显然 ，由（1）知 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 恒成立，
所以 在区间 上为增函数，
于是有 ，而 ，故 恒成立，
所以当 且 时， .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
17．(1) (2) (3)分布列见解析， .
【分析】（1）记事件 ：学生通过第 轮，事件 ：学生通过第 轮就选择奖品离开，事件 ：学生通过第 轮且继
续答题，结合全概率公式和 ，即可求解；
（2）根据题意，结合 ，即可求解；
（3）由题意，随机变量 可取 ，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【详解】（1）记事件 ：学生通过第 轮，事件 ：学生通过第 轮就选择奖品离开，
事件 ：学生通过第 轮且继续答题， ），
由题意得 ， .
记事件 ：学生获得奖品.则 ，
，
，
，
.
（2）学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：
.
（3）由题意，随机变量 可取 ，
可得 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以期望为 .
18．(1)极大值为 ，无极小值.(2)证明见解析
【分析】（1）先求出 的单调性，再根据单调性求得极值；
（2）构造 ，求出其单调性进而求得最小值为 ，证明
即可．
【详解】（1） ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以当 时， 取得极大值 ，无极小值.
（2）解：令 ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
又 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
所以 时， ， ， 单调递减，
时， ， ， 单调递增，
，
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 ．
【点睛】难点点睛：本题的易错点为必须说明无极小值；难点是（2）中结合零点存在定理估计 ，进而证
得 ，这里的 我们称之为“隐零点”；如果 的范围不合适，可以借助二分法去缩小 的范围，直至证得
．题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答
案
B C D D B D B B BD BCD
题
号
11
答
案
ACD