2025年高考数学真题第一轮专项练习：数列（含解析）

这是一份2025年高考数学真题第一轮专项练习：数列（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2025·全国二卷)记为等差数列的前n项和，若则（ ）
A．B．C．D．
2. (2025·北京)已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A. B. C. 16D. 18
3．(2025·天津)，则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
4．(2025·上海)已知数列、、的通项公式分别为，，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个B．3个C．1个D．无数个
多选题
5．(2025·全国二卷)记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．(2025·全国一卷)若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
7．(2025·上海)己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
四、解答题
8．(2025·全国一卷)设数列满足，
(1)证明：为等差数列；
(2)设，求．
9．(2025·全国二卷)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．
(1)求（用p表示）．
(2)若，求p．
(3)证明：对任意正整数m，．
10. (2025·北京)，从M中选出n个有序数对构成一列：．相邻两项满足：或，称k列．
（1）若k列的第一项为，求第二项．
（2）若为k列，且满足i为奇数时，：i为偶数时，；判断：与能否同时在中，并说明；
（3）证明：M中所有元素都不构成k列．
11．(2025·天津)已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
数列
一、单选题
1．(2025·全国二卷)记为等差数列的前n项和，若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解.
【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ，
所以.
故选：B.
2. (2025·北京)已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A. B. C. 16D. 18
【答案】C
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
3．(2025·天津)，则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
【答案】C
【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解.
【详解】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故选：C
4．(2025·上海)已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个B．3个C．1个D．无数个
【答案】B
【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.
【详解】由题意，不妨设，
三点均在第一象限内，由可知，，
故点恒在线段上，则有.
即对任意的，恒成立，
令，构造函数，
则，由单调递增，
又，存在，使，
即当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故至多个零点，
又由，
可知存在个零点，不妨设，且.
①若，即时，此时或.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得；
②若，即时，此时.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得或；
综上可知，正整数的个数有个.
故选：B.
多选题
5．(2025·全国二卷)记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可.
【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，
则，故D正确；
故选：AD.
三、填空题
6．(2025·全国一卷)若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
【答案】2
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为(>0)，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，
两式相除得，即，
则，解得，
所以该正项等比数列公比为2.
故答案为：2.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为(>0)，
所以，
，
所以，则，解得，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为(>0)，
因为，
又，
所以，解得，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
7．(2025·上海)己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
【答案】
【分析】直接根据等差数列求和公式求解.
【详解】根据等差数列的求和公式，.
故答案为：
四、解答题
8．(2025·全国一卷)设数列满足，
(1)证明：为等差数列；
(2)设，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论；
（2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论.
【详解】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
9．(2025·全国二卷)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．
(1)求（用p表示）．
(2)若，求p．
(3)证明：对任意正整数m，．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解；
（2）由题意，联立，即可求解；
（3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证.
【详解】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，
故所求为，
为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，
故所求为；
（2）由（1）得，，同理，
若，，
则，
由于，所以，解得；
（3）我们有
.
以及
.
至此我们得到，，同理有，.
故，即.
另一方面，由于
且同理有.
故结合，
就能得到，即，证毕.
10. (2025·北京)，从M中选出n个有序数对构成一列：．相邻两项满足：或，称k列．
（1）若k列的第一项为，求第二项．
（2）若为k列，且满足i为奇数时，：i为偶数时，；判断：与能否同时在中，并说明；
（3）证明：M中所有元素都不构成k列．
【答案】（1）或
（2）不能，理由见解析
（3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论；
（3）假设全体元素构成一个列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【小问1详解】
根据题目定义可知，或，
若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或；
【小问2详解】
假设二者同时出现在中，由于列取反序后仍是列，故可以不妨设在之前.
显然，在列中，相邻两项横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中.
【小问3详解】
法1：若中的所有元素构成列，考虑列中形如的项，
这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个，
而，因为只能6由2来，3只能由7来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，
即对于16个，有12个与之相对应，矛盾．
综上，M中所有元素都无法构成列．
法2：全体元素构成一个列，则.
设，.
则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中.
如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于.
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和，
否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时.
从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于；
这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于.
如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况.
这意味着必定存在，使得.
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）.
但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得.
从而有.
这就得到.
再设，.
则同理有.
这意味着.
从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以全体元素不能构成一个列.
11．(2025·天津)已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解；
（2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明；
（ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解；
法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解.
【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为，
则由题得，
所以；
（2）（i）证明：由（1）或，，
当时，
设，
所以，
所以，
所以，为中的最大元素，
此时恒成立，
所以对，均有.
（ii）法一：由（i）得，为中的最大元素，
由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
当均为1时：此时该系列元素只有即个；
当中只有一个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素有共有个，
则这个元素的和为；
当中只有2个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
…
当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当均为0时：此时该系列的元素为即个，
综上所述，中的所有元素之和为
；
法二：由（i）得，为中的最大元素，
由题意可得，
所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次，
所以中的所有元素之和为.