人教版2026学年七年级数学上册压轴题专项训练专题04代数式与求值的五类综合题型(原卷版+解析)

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专题04 代数式与求值的五类综合题型 类型一、用代数式表示数的规律 例1．观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 【变式1-1】观察下面三行数： (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 【变式1-2】—观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想写出___________； (2)计算； (3)探究计算． 【变式1-3】观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 类型二、用代数式表示图形的规律 例2．如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题： (1)图案④中黑色五边形有_______个，白色五边形有_______个； (2)图案n中黑色五边形有_______个，白色五边形有_______个．（用含n的式子表示） 【变式2-1】共享单车解决了城市居民出行采用公共交通出行还需要步行的主要问题，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，是一种新型绿色环保共享经济．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)4节链条长______； (2)n节链条长______； (3)如果一辆自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？ 【变式2-2】用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第5个图案中，三角形有_____个，六边形有_____个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形与六边形各有多少个？ (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由． 【变式2-3】实践探究： 学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： (1)当有7张桌子时，第一种方式能坐________人，第二种方式能坐_____人． (2)当有n张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你通过计算，选择以上一种合适的方式来摆放餐桌． 类型三、已知字母的值，求代数式的值 例3．运算能力  当，时，求各代数式的值． (1)； (2) 【变式3-1】求下列代数式的值： (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 【变式3-2】已知有理数x，y满足． (1)求x与y的值； (2)若，求的值． 【变式3-3】已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求 (1)直接写出，， x的值． (2)求的值． 类型四、已知式子的值，求代数式的值 例4．在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，则________； (2)当，求的值． 【变式4-1】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【变式4-2】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)已知，求代数式的值； 【变式4-3】在某次作业中有这样的一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?”，小明是这样来解的： 原式，把式子两边同乘以2，得，仿照小明的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 类型五、程序流程图与代数式求值 例5．如图，是一个简单的数值运算程序． (1)请用含的代数式表示输出的结果___________． (2)计算当时，输出的结果． 【变式5-1】如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； 【变式5-2】有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【变式5-3】有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 一、单选题 1．以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么的值为（　　） A．7 B． C．5 D． 3．已知，，且，则的值为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 4．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 6．莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，……，按此规律排列下去，则第100个图案中花朵图案的个数为（   ） A．302 B．301 C．303 D．300 二、填空题 7．若，则代数式的值为 ． 8．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y= ．    9．已知两个有理数，．满足，且，，则的值为 ． 10．观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 11．按照如图所示的程序计算，当输入n的值为时，则输出的结果是 ． 12．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： ； ； ； ； （1）请猜想 ； （2） （为正整数）； 三、解答题 13．当，时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 14．如图，是一个简单的数值运算程序， (1)请用含的代数式表示输出的结果______． (2)计算当时，输出的结果． 15．若互为相反数，互为倒数，是最小的正整数． (1)直接写出，，的值； (2)求的值． 16．如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．（取3） (1)用含，的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积； (2)若，时，求剩下铁皮（阴影部分）的面积． 17．观察下面两行数，并按规律填空： ①， ，… ②， ，… (1)请你分别写出第①②行的第7个数； (2)取每行数的第9个数，计算这两个数的和． 18．日历是一份来自时间的礼物，它让生活有迹可循，同时提醒我们要珍惜时间，不负韶华．如图是年月份的日历，小颖用一个“”形框选中了个数． (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系； (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数，（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由． 19．如图所示，由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成．    (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为______；（用含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 20．有这样一道题“代数式的值为7，则代数式的值是多少？”我们可以这样来解：设，，即，，． 利用字母进行一些转化，可以让思路更清晰，让表达更简洁，让运算更简便．仿照以上的解题方法，完成下面问题： (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)已知，，求的值． 21．【观察思考】 下列图案是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“★”或“▲”．第1个图案中“★”有4个，“▲”有4个；第2个图案中“★”有8个，“▲”有7个；第3个图案中“★”有12个， “▲”有10个；第4个图案中“★”有16个，“▲”有13个． 【规律发现】 （1）请求出第n个图案中“★”和“▲”各有多少个；（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）在第30个图案中，分别求“★”的数量和“▲”的数量． 22．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则______；我们将作为一个整体代入．则原式．仿照这样的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)若，求的值： (3)若，，则______． (4)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 23．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 24．【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 目录 TOC \o "1-2" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc20732" 典例详解  HYPERLINK \l "_Toc20010" 类型一、用代数式表示数的规律  HYPERLINK \l "_Toc17458" 类型二、用代数式表示图形的规律  HYPERLINK \l "_Toc14227" 类型三、已知字母的值，求代数式的值  HYPERLINK \l "_Toc17008" 类型四、已知式子的值，求代数式的值  HYPERLINK \l "_Toc649" 类型五、程序流程图与代数式求值  HYPERLINK \l "_Toc12577" 压轴专练1.数字规律观察：需识别数列增减、周期、递推等模式，如等差（后项-前项为定值）、等比（后项÷前项为定值），通过归纳相邻项关系提炼规律。 2.图形规律转化：将图形个数、边长等量化，分析数量与序号的对应关系，如n边形边数、点阵层数与点数的关系，转化为含n的代数式。 3.代数式构建：根据规律用字母（多为n）表示序号，通过特殊值验证，确保代数式对任意序号成立，常见形式有一次式an+b、二次式an²+bn+c等。41664…①21462②3933…③1.图形量化分析：将图形特征（如个数、长度、面积）转化为具体数值，观察与图形序号的关联，如小正方形个数、线段段数等的变化。 2.数值规律提炼：对量化后的数值，分析其增减趋势、周期或递推关系，区分线性增长（如an+b）、二次增长（如an²+bn+c）等模式。 3.代数式验证：用字母n表示序号，根据规律写出代数式，代入不同序号验证是否符合图形特征，确保代数式的通用性。1. 代数式代入：明确代数式中字母的对应值，将给定数值准确替换代数式中的字母，注意符号和指数的对应，避免代错位置。 2. 运算顺序遵循：按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算，有括号先算括号内，确保每步运算符合有理数运算法则。 3. 结果化简：计算过程中及时合并同类项或化简，最终结果需为最简形式，检查是否符合代数式的实际意义（如非负性等）。1.整体代入思想：分析已知式子与所求代数式的联系，将已知式子视为整体，通过变形（如乘除系数、加减常数）转化为代数式的一部分，避免单独求字母值。 2.代数式变形：对所求代数式进行恒等变形，如提取公因式、拆项组合，使其包含已知式子的形式，便于整体代入计算。 3.等式性质应用：利用等式的基本性质（如两边同乘除、加减）处理已知式子，推导所需表达式的值，确保变形过程等价。1.流程图解读：识别程序框类型（输入、输出、运算、条件判断），理清流程逻辑顺序，明确变量的赋值与传递路径，如循环结构中变量的更新规则。 2.代数式转化：将流程图中的运算步骤（如加减乘除、乘方）转化为代数式，确定输入值与输出结果的代数关系，区分顺次运算与条件分支对应的不同表达式。 3.分步求值：按流程顺序代入数值逐步计算，遇条件判断时根据变量值选择分支，验证每步结果是否符合流程逻辑，确保最终输出与代数式计算一致。x012输出x012输出1341413图形标号…火柴棒根数47…图形标号…火柴棒根数47101316… 专题04 代数式与求值的五类综合题型 类型一、用代数式表示数的规律 例1．观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的数字规律，根据题意得到数字的规律是解题的关键． 由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． 故答案为：． 【变式1-1】观察下面三行数： (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2)， (3)1023 【分析】本题主要考查代数式及有理数的混合运算，熟练掌握代数式及有理数的混合运算的解法是解题的关键． （1）根据题意得到数字的规律，然后进行求解即可； （2）由题意易得第二行与第一行对应的数字之间相差2，第三行与第一行对应的数字之间的关系是：第一行数字的相反数与1的和等于第三行的数，由此规律可进行求解； （3）根据题意及（2）直接进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第①行第7个数是，第①行第n个数是； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：第②行的第n个数是第①行的第n个数减去2， 故第②行的第n个数是：； 第③行的第n个数是第①行的第n个数的相反数与1的和， 故第③行的第n个数是； 故答案为：，； （3）解：根据题意得：第①行第10个数是， 第②行的第10个数是：， 第③行的第10个数是， 【变式1-2】—观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想写出___________； (2)计算； (3)探究计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，找到式子的规律，利用有理数的运算法则进行计算是解题的关键． （1）观察等式，找到规律即可求解； （2）将（1）中的式子两边分别相加即可求解； （3）根据，，，……将以上式子两边分别相加，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵=1−， =−， =−， …… ∴； （2）解： ； （3）解：∵， ， ， …… ∴ ． 【变式1-3】观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题是对数字变化规律的考查，有理数乘方的应用； （1）观察可得，后一个数是前一个数字的倍解答即可； （2）观察可得，第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，即可求解； （3）根据各行的第个数的表达式列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）第①行数的第个数是：， 故答案为； （2）由图中的数据可得， 第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，则第②行数的第个数是， 第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，则第③行数的第个数是， 故答案为：，； （3）解：取每行的第个数，这三个数的和能等于， 令， ∴ 解得，， 即取每行的第个数，这三个数的和能等于． 类型二、用代数式表示图形的规律 例2．如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题： (1)图案④中黑色五边形有_______个，白色五边形有_______个； (2)图案n中黑色五边形有_______个，白色五边形有_______个．（用含n的式子表示） 【答案】(1)4，13 (2)n， 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，列代数式，有理数的运算等知识点， （1）观察可知，除第一个以外，每增加一个黑色五边形，相应的白色五边形增加三个，即可解答； （2）根据观察分析出黑白色五边形的块数与图形序号之间的关系，即可得解； 熟练掌握通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解是解决此题的关键． 【详解】（1）∵第1个图形中黑色五边形的个数为1，白色五边形的个数为4， 第2个图形中墨色五边形的个数为2，白色五边形的个数为， 第3个图形中墨色五边形的个数为3，白色五边形的个数为， ∴第4个图形中界色五边形的个数为4，白色五边形的个数为， 故答案为：4，13； （2）由（1）可得：第n个图形中黑色五边形的个数为n，白色五边形的个数为， 故答案为：n，． 【变式2-1】共享单车解决了城市居民出行采用公共交通出行还需要步行的主要问题，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，是一种新型绿色环保共享经济．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)4节链条长______； (2)n节链条长______； (3)如果一辆自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？ 【答案】(1)7.6 (2) (3) 【分析】此题主要考查了图形的变化类． （1）结合图形发现规律：每加一节链条增加，据此计算即可； （2）从特殊到一般，找到规律列式即可； （3）在（2）的基础上，注意到环型链条比直线型链条多一个连接的接头，因此长度要少一个圆的直径，即可求解． 【详解】（1）解：∵根据图形可得出： 2节链条的长度为：， 3节链条的长度为：， 4节链条的长度为：， 故答案为：； （2）解：由（1）可得n节链条长为：． 故答案为：； （3）解：因为自行车上的链条为环形，首尾环形相连，展直的长度减1个0.8，故这辆自行车链条的总长为． 【变式2-2】用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第5个图案中，三角形有_____个，六边形有_____个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形与六边形各有多少个？ (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)12，5 (2)第n个图案中有三角形个，六边形有n个 (3)不存在，见解析 【分析】本题考查了多边形和图形的变化类的规律，注意由特殊到一般的分析方法． （1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第1个图案中，三角形4个，六边形有1个， 第2个图案中，三角形6个，六边形有2个， 第3个图案中，三角形8个，六边形有3个， 第4个图案中，三角形10个，六边形有4个， 所以第5个图案中，三角形12个，六边形有5个， 故答案为：12，5； （2）解：由（1）总结规律可得，第n个图案中有三角形个，六边形有n个； （3）解：不存在，理由如下： 因为当时，三角形个，六边形有40个，而， 所以不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与40个六边形． 【变式2-3】实践探究： 学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： (1)当有7张桌子时，第一种方式能坐________人，第二种方式能坐_____人． (2)当有n张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你通过计算，选择以上一种合适的方式来摆放餐桌． 【答案】(1)30；18 (2)； (3)选择第一种方式 【分析】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． （1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题； （2）根据（1）中所得规律列式可得； （3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断． 【详解】（1）解：当有7张桌子时，第一种摆放方式能坐(人)， 第二种摆放方式能坐(人)． 故答案为：30；18； （2）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人， 即有n张桌子时是人； 第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人， 即人． 故答案为：；； （3）解：选择第一种方式．理由如下； 第一种方式：60张桌子一共可以坐(人)； 第二种方式：60张桌子一共可以坐(人)； ∵， ∴选择第一种方式． 类型三、已知字母的值，求代数式的值 例3．运算能力  当，时，求各代数式的值． (1)； (2) 【答案】(1)64 (2)64 【分析】（1）把，代入，然后按照有理数混合运算法则进行计算即可； （2）把，代入，然后按照有理数混合运算法则进行计算即可； 本题考查了代数式的求值，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，． （2）解：当，时，． 【变式3-1】求下列代数式的值： (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题考查了求代数式的值． （1）将各字母的值代入即可求出答案． （2）将各字母的值代入即可求出答案． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当， ． 【变式3-2】已知有理数x，y满足． (1)求x与y的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)x的值为，y的值为 (2)10或6 【分析】本题考查了绝对值，代数式，有理数的加减，做题的关键是掌握绝对值的定义． （1）利用绝对值的定义计算即可； （2）根据题意确定x、y的值，代入求代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 答：x的值为，y的值为． （2）∵， ∴，， ∴， 或， ∴或6． 【变式3-3】已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求 (1)直接写出，， x的值． (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的定义以及代数式求值，熟练掌握有理数的基础知识是解题的关键； （1）根据相反数的定义、倒数的定义和绝对值的定义求解即可； （2）由x的绝对值是2可得，然后把，代入所求式子解答即可． 【详解】（1）解：因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2， 所以，，， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以． 类型四、已知式子的值，求代数式的值 例4．在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，则________； (2)当，求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题主要考查了求代数式的值，理解和熟练运用整体思想是解题的关键； （1）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可；灵活对代数式进行变形以及整体思想是解题的关键； （2）由已知条件可得，然后将原式代入已知数值计算即可；灵活对代数式进行变形以及整体思想是解题的关键； 掌握整体思想和整式的加减运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． 故答案为：1． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式4-1】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)2026 (2)51 (3)32 【分析】本题考查了整体代换思想在代数式求值中的应用，涉及等式变形、代数式化简等知识．解题的关键是将所求代数式转化为含已知等式的形式，通过整体代入简化计算． （1）由已知等式求出的值，直接代入所求式． （2）提取公因式将代数式转化为含的形式，代入求值． （3）通过等式变形，将所求式用已知等式表示，消去未知项计算结果． 【详解】（1）解：由，移项得． 将代入，得： 故答案为：2026； （2）解：已知，对代数式化简： 代入，得：； （3）解：已知 ①，②． 对①式变形得：③；对②式变形得：④ 将③④代入 ． 【变式4-2】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)已知，求代数式的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和代数式求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入求值的方法求代数式的值． （）把所求代数式的后两项先变形为，再把代入进行计算即可； （）把所求代数式先变形为，再把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴原式 ． 【变式4-3】在某次作业中有这样的一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?”，小明是这样来解的： 原式，把式子两边同乘以2，得，仿照小明的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)2024 (2)10 (3)5 【分析】本题考查了求代数式的值，理解题意，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）将整体代入计算即可得解； （2）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （3）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：， ∴； （3）解：，， ． 类型五、程序流程图与代数式求值 例5．如图，是一个简单的数值运算程序． (1)请用含的代数式表示输出的结果___________． (2)计算当时，输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式及代数式求值，解题的关键是掌握代数式求值的方法． （1）观察运算程序图可知乘以，再加上4，由此列出代数式即可； （2）将代入（1）中所列代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：由运算程序图可知输出的结果为：， 故答案为：； （2）解：当时， ． 【变式5-1】如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； 【答案】(1) (2)13，4，1，4，13 【分析】本题主要考查了代数式求值与程序流程图，正确列出对应的代数式是解题的关键． （1）根据程序流程图列出对应的代数式即可； （2）根据（1）所求，分别将x的值代入代数式即可得出输出值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：当时，； 当，； 当，； 当，； 当，； 填表如下 【变式5-2】有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【答案】(1)2，1，4 (2)2，1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数值转换器，通过计算发现输出结果的变化规律是解题的关键． （1）根据所给数值转换器，进行计算即可； （2）根据输入的数是11，依次求出输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，当输入x的值是1时， 第一次输出的数是：； 第二次输出的数是：； 第三次输出的数是：； 第四次输出的数是：； 故答案为：2，1，4； （2）解：由题知，当输入x的值是11时， 第一次输出的结果是：； 第二次输出的结果是：； 第三次输出的结果是：； 第四次输出的结果是：； 第五次输出的结果是：； 第六次输出的结果是：； 第七次输出的结果是：； 第八次输出的结果是：； 第九次输出的结果是：； …， 由此可见，从第六次输出的结果开始按4，2，1循环， 因为余2， 所以第2017次输出的结果为2； 第2018次输出的结果为1． 故答案为：2，1． 【变式5-3】有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）利用图中公式计算得出答案； （2）利用最后的代数式推出空格中的式子； （3）根据图中计算公式及判断条件分别计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，当输入数时，输出数， 故答案为：； （2）解：第一个带？号的运算框内，应填：， 第二个带？号的运算框内，应填：， 第三个带？号的运算框内，应填：， 故答案为：，，； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 输出结果为：， 故答案为：． 一、单选题 1．以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查寻找规律问题，观察多项式，将每个多项式拆分为关于的项和常数项，分别分析各自的规律：符号规律：负、正交替出现，即；指数规律：的指数依次为1，2，3，4，5，…，即；从而确定规律，即可得到答案，根据已知多项式找准规律是解决问题的关键． 【详解】解： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， …， 第个：， 故选：B． 2．如果，那么的值为（　　） A．7 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值方法，通过观察可得出求解代数式与已知给出的代数式的相似之处是解题的关键． 根据，可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B 3．已知，，且，则的值为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和代数式求值，熟练掌握绝对值的化简方法是解题的关键．根据所给，绝对值，可知，；又知，即或，，代入求值，即可求解． 【详解】解：已知，， 则，； 且， 或， 当时，，， 当，时，， 故选：A． 4．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，先把代入中，计算出结果，若结果小于，则把结果作为新数输入，重复上述过程，若大于，则输出，据此求解即可． 【详解】解：当输入2时，， 当输入时，， ∴输出的结果为， 故选：B． 5．如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形中规律问题，根据第一个图形中三角形个数为；第二个图形三角形个数为；第三个图形中三角形个数为；找出相应规律即可求解． 【详解】解：第一个图形中三角形个数为， 第二个图形三角形个数为， 第三个图形中三角形个数为， …， ∴第个图案中，三角形的个数为：． 故选D． 6．莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，……，按此规律排列下去，则第100个图案中花朵图案的个数为（   ） A．302 B．301 C．303 D．300 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形中有个花朵图案是解题的关键． 根据图形变化的规律得出第个图形中有个花朵图案即可解答． 【详解】由题知，第①个图案中有个花朵图案，第②个图案中有个花朵图案， 第③个图案中有个花朵图案，…，第个图案中有个花朵图案， 当时，， 故第100个图案中花朵图案的个数为302． 故选：A． 二、填空题 7．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值．把代数式变形后利用整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 8．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y= ．    【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，经观察发现：最上面的数与左下的数为两个连续整数，右下的数是最上面的数字加2再乘以左下的数，据此即可求解． 【详解】解：由，，， 得． 故答案为：． 9．已知两个有理数，．满足，且，，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值，有理数的加法和乘法，正确求出是解题的关键． 先根据绝对值的定义得到，再根据，得到，然后代值计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：11． 10．观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2，第三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2，然后即可得到每行的第9个数字，再作和即可解答本题． 【详解】解：由题目中的数据可得， 第一行数据的第n个数是， 第二行数据的第n个数是， 第三行数据的第n个数是， 故第一行的第9个数是，第二行数据的第9个数是，第三行数据的第9个数是， ， 故答案为：． 11．按照如图所示的程序计算，当输入n的值为时，则输出的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的求值．根据程序代入进行计算即可． 【详解】解：当输入的值为时，则，返回继续运算；，输出结果． 故答案为： 12．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： ； ； ； ； （1）请猜想 ； （2） （为正整数）； 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，找到规律：从1开始的连续的奇数的和是一个完全平方数，是奇数的个数的平方，是解题关键． （1）由图形可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后根据此规律求解即可； （2）利用（1）的规律推出一般规律即可； 【详解】解：（1）∵； ； ； ； ∴； 故答案为： （2）由（1）归纳可得： ， 故答案为：； 三、解答题 13．当，时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确计算是解题的关键． （1）直接代值计算即可； （2）直接代值计算即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：解：当，时，． 14．如图，是一个简单的数值运算程序， (1)请用含的代数式表示输出的结果______． (2)计算当时，输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，解题的关键是正确理解题目所给运算程序的运算顺序． （1）根据题目所给的运算程序，列出代数式即可； （2）将代入（1）中得出的代数式，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：输出的结果为， 故答案为：； （2）解：当时，． 15．若互为相反数，互为倒数，是最小的正整数． (1)直接写出，，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相反数，倒数，代数式的计算，理解相关概念，掌握代数式的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数，倒数的定义及计算即可求解； （2）代入求值即可． 【详解】（1）解：互为相反数，互为倒数，是最小的正整数， ∴，，； （2）解： ． 16．如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．（取3） (1)用含，的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积； (2)若，时，求剩下铁皮（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值； （1）由三角形的面积减去半圆面积即可得到答案； （2）把，代入（1）中的代数式，再计算即可； 【详解】（1）解：由题意，得阴影部分的面积为：； （2）解：将，代入上式，得 ， 所以剩下铁皮（阴影部分）的面积为． 17．观察下面两行数，并按规律填空： ①， ，… ②， ，… (1)请你分别写出第①②行的第7个数； (2)取每行数的第9个数，计算这两个数的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查规律类型题目，解题的关键在于理解题意找出题中规律． （1）根据第一行的第n个数用表示，第二行的第n个数用表示，然后分别求出第7个数即可； （2）根据（1）中的规律求得每行数的第9个数，计算这两个数的和即可． 【详解】（1）解：∵第①行中，第1个数， 第2个数， 第3个数，…， 故第n个数． 第②行数等于第①行相应的数加2； ∴第①行第7个数为：， 第②行第7个数为：； （2）解：第①行第9个数为：， 第②行第9个数为：， ∴每行数的第9个数和为： ． 18．日历是一份来自时间的礼物，它让生活有迹可循，同时提醒我们要珍惜时间，不负韶华．如图是年月份的日历，小颖用一个“”形框选中了个数． (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系； (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数，（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍 (2)成立，理由见详解 【分析】本题考查有理数的加法，求代数式的值，根据题意列代数式是解题的关键； （1）计算这五个数的和，即可找到与中间数的关系； （2）设中间的数为，其余四个数分别为，，，，计算五个数的和即可求解； 【详解】（1）解：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； （2）解：成立； 设中间的数为，其余四个数分别为，，，， 五个数的和为：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； 19．如图所示，由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成．    (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为______；（用含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)填表见解析 (2) (3)6073根 【分析】本题考查了代数式求值，图形类规律探索题，正确根据前几个图形中火柴棒的个数总结规律，是解题的关键； （1）根据图形列出算式，求出即可； （2）根据（1）的结果总结规律，从第一个开始每增加一个正方形，则火柴的棒数增加3个，则第n个图形中应用的火柴的棒数为． （3）将代入求解即可． 【详解】（1）解：第3个图形中，火柴棒的根数是； 第4个图形中，火柴棒的根数是； 第5个图形中，火柴棒的根数是； 填表如下 （2）∵每增加一个正方形火柴棒数增加3， ∴第n个图形中应有的火柴棒数为：； 故答案为：； （3）当时，解得：． 答：第2024个图形需要的火柴棒根数为6073根． 20．有这样一道题“代数式的值为7，则代数式的值是多少？”我们可以这样来解：设，，即，，． 利用字母进行一些转化，可以让思路更清晰，让表达更简洁，让运算更简便．仿照以上的解题方法，完成下面问题： (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是正确解决本题的关键． （1）把得，整体代入计算即可； （2）先由，，可得，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 21．【观察思考】 下列图案是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“★”或“▲”．第1个图案中“★”有4个，“▲”有4个；第2个图案中“★”有8个，“▲”有7个；第3个图案中“★”有12个， “▲”有10个；第4个图案中“★”有16个，“▲”有13个． 【规律发现】 （1）请求出第n个图案中“★”和“▲”各有多少个；（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）在第30个图案中，分别求“★”的数量和“▲”的数量． 【答案】（1）第n个图案中“★”有个，“▲”有个；（2）在第30个图案中， “★”有120个， “▲”有91个． 【分析】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键． （1）根据题中的规律进行解答即可； （2）利用（1）中的规律分别求出“★”的数量和“▲”的数量即可得到答案． 【详解】（1）第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个； 第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个； …… 第n个图案中“★”有个，“▲”有个； （2）第30个图案中，“★”的数量为；（个）， “▲”的数量为：（个）， ∴在第30个图案中， “★”有120个， “▲”有91个． 22．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则______；我们将作为一个整体代入．则原式．仿照这样的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)若，求的值： (3)若，，则______． (4)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体思想的应用，是解题的关键． （1）根据，得到，整体代入求值即可； （2）把看作一个整体，代入求值即可； （3）整体代入法，求值即可； （4）把，代入，得到，再把，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：2025； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴； 故答案为：28； （4）解：当时，， ∴， ∴当时， ． 23．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案． （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算． （3）观察计算条件，先将输入固定，得到输入，输入的输出值，再根据条件三，算出均输入时，输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：若输入的为时，， ∵， ∴， ∴， 若输入的为时，， ∵， ∴， 故答案为：和． （3）解：由三个条件可知，当均为时，输出结果为， 先输入数值为，则可得到当输入时，， ∴当输入时， 同理可得，，， 若输入固定值为，， 同理可得， 答：当输入自然数，输入自然数时，的值是． 24．【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，数字的变化规律． （1）根据，，找到规律可得出答案； （2）①根据规律裂项后代入计算即可得出答案； ②根据规律裂项后代入计算即可得出答案； （3），其他项都类似计算后，代入抵消计算即可得答案； （4）设，则，进而得，由此可得出答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3） ； （4）设， ∴， ∴， ∴， ∴． 目录 TOC \o "1-2" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc20732" 典例详解  HYPERLINK \l "_Toc20010" 类型一、用代数式表示数的规律  HYPERLINK \l "_Toc17458" 类型二、用代数式表示图形的规律  HYPERLINK \l "_Toc14227" 类型三、已知字母的值，求代数式的值  HYPERLINK \l "_Toc17008" 类型四、已知式子的值，求代数式的值  HYPERLINK \l "_Toc649" 类型五、程序流程图与代数式求值  HYPERLINK \l "_Toc12577" 压轴专练1.数字规律观察：需识别数列增减、周期、递推等模式，如等差（后项-前项为定值）、等比（后项÷前项为定值），通过归纳相邻项关系提炼规律。 2.图形规律转化：将图形个数、边长等量化，分析数量与序号的对应关系，如n边形边数、点阵层数与点数的关系，转化为含n的代数式。 3.代数式构建：根据规律用字母（多为n）表示序号，通过特殊值验证，确保代数式对任意序号成立，常见形式有一次式an+b、二次式an²+bn+c等。41664…①21462②3933…③1.图形量化分析：将图形特征（如个数、长度、面积）转化为具体数值，观察与图形序号的关联，如小正方形个数、线段段数等的变化。 2.数值规律提炼：对量化后的数值，分析其增减趋势、周期或递推关系，区分线性增长（如an+b）、二次增长（如an²+bn+c）等模式。 3.代数式验证：用字母n表示序号，根据规律写出代数式，代入不同序号验证是否符合图形特征，确保代数式的通用性。1. 代数式代入：明确代数式中字母的对应值，将给定数值准确替换代数式中的字母，注意符号和指数的对应，避免代错位置。 2. 运算顺序遵循：按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算，有括号先算括号内，确保每步运算符合有理数运算法则。 3. 结果化简：计算过程中及时合并同类项或化简，最终结果需为最简形式，检查是否符合代数式的实际意义（如非负性等）。1.整体代入思想：分析已知式子与所求代数式的联系，将已知式子视为整体，通过变形（如乘除系数、加减常数）转化为代数式的一部分，避免单独求字母值。 2.代数式变形：对所求代数式进行恒等变形，如提取公因式、拆项组合，使其包含已知式子的形式，便于整体代入计算。 3.等式性质应用：利用等式的基本性质（如两边同乘除、加减）处理已知式子，推导所需表达式的值，确保变形过程等价。1.流程图解读：识别程序框类型（输入、输出、运算、条件判断），理清流程逻辑顺序，明确变量的赋值与传递路径，如循环结构中变量的更新规则。 2.代数式转化：将流程图中的运算步骤（如加减乘除、乘方）转化为代数式，确定输入值与输出结果的代数关系，区分顺次运算与条件分支对应的不同表达式。 3.分步求值：按流程顺序代入数值逐步计算，遇条件判断时根据变量值选择分支，验证每步结果是否符合流程逻辑，确保最终输出与代数式计算一致。x012输出x012输出1341413图形标号…火柴棒根数47…图形标号…火柴棒根数47101316…