2025-2026学年高一数学上学期第一次月考（北师大版2019必修第一册预备知识）试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章预备知识。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，∁UB=4，则（ ）
A．B．C．D．
1.【答案】D
【解析】已知全集，集合，∁UB=4，则.
故选：D.
2．如果，是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.【答案】B
【解析】当时，满足，而，则充分性不成立；
当时，若，则，
所以，而，则；
若，则，
所以，而，则，则必要性成立．
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
3．已知且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3.【答案】D
【解析】A：当时，，故A错误；
B：当时，满足，但不成立，故B错误；
C：当时，，故C错误；
D：由，得，故D正确.
故选：D.
4．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ）
A．12B．15C．31D．32
4.【答案】B
【解析】∵，
∴满足“，则”的的集合是的子集，
但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现，
∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：.
故选：B.
5．下列函数中，最小值为的是（ ）
A．B．
C．，D．
5.【答案】D
【解析】对于A，，当时，，不符合要求，故A错误；
对于B：，当且仅当时取等号，
由得显然不成立，所以等号取不到，
即的最小值不是，故B错误；
对于C：因为，所以，
，
当且仅当时取等号，最小值不是，故C错误；
对于D：，易知，，
则，
当即或时，有最小值，即有最小值，故D对.
故选：D.
6．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根x1，x2，则的最大值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
6.【答案】C
【解析】由题设，可得，
结合已知有，且，，
，
当时，取得最大值10.
故选：C.
7．已知，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7.【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
三个等号可同时成立，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ，
故选：A.
8．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8.【答案】C
【解析】关于的不等式，而，
由原不等式的解集中的整数恰有3个，得，
解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是，
则，即，于是，又，
因此，解得，
实数的取值范围是，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
9.【答案】CD
【解析】存在，使得为真时，
当时，显然成立；
当时，有，解得，
当时，存在，使得；
所以存在，使得为真时，，
命题“存在，使得”为假命题时，
时，不一定成立，不合题意；
时，不一定成立，不合题意；
时，必成立，反之时，推不出，符合题意；
时，必成立，反之时，推不出，符合题意；
命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是，；
故选：CD.
10．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．有最大值B．
C．D．的解集为
10.【答案】ABD
【解析】对于A，因为不等式的解集为，所以，，
二次函数的图象开口向下，因此有最大值，故A正确；
对于BC，，3是关于的一元二次方程的两根，
则，所以，，则，故B正确，C错误；
对于D，不等式即为，
即，即，
解得（舍去）或，
所以，故D正确；
故选：ABD.
11．已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最大值为
11.【答案】ABD
【解析】对于选项A，由，且，为正实数，
则，
即，
所以，即，
当且仅当，即，时，不等式取得等号，
即的最大值为．故选项A正确；
对于选项B，由，且，为正实数，
则，即，
所以，
当且仅当，即，时，不等式取得等号，
即的最小值为．故选项B正确；
对于选项C，由，且，为正实数，
则，
所以，
当且仅当，即，时，不等式取等号，
所以的最小值为．故选项C错误；
对于选项D，结合选项C有，
则，
当且仅当，即，时，不等式取等号，
所以的最大值为．故选项D正确．
故选：ABD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设，，若，则实数a的值为 .
12.【答案】或或
【解析】集合，
由可得，
若，，满足，
若，，若，
则或
得或．
综上，实数a的取值为或0或1．
故答案为：或0或1．
13．若正实数满足不等式组，则的大小关系为 （按由小到大排列）
13.【答案】
【解析】由不等式组及均为正实数，得，
则，即，
所以.
故答案为：.
14．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低．
14．【答案】
【解析】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为．
由题意得，则总运费，
要使总费用最低，只需最小即可．
设，则，
得，则，得．
当时，总费用最低，则，得，
所以当地到地的距离为时，总运费最低．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
（1）已知集合，，若，求实数，的值.
（2）已知集合或，，若，求实数的取值范围.
15．（13分）
【解析】（1）由已知，得或.
当时，解得或；
当时，解得或.
又由集合中元素的互异性，得或.
（2）因为，所以，利用数轴表示，如图所示，
或
则或，解得或，
所以的取值范围是或.
16．（15分）
已知集合，集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．（15分）
【解析】（1）由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，可得，
则有或，解得或，
因为，则.
综上所述，实数的取值范围为或.
（2）因为命题是命题的必要不充分条件，则B ⫋ A，
当时，，解得，
当时，则，解得.
检验：当时， ⫋ A，合乎题意；
当时， ⫋ A，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
17．（15分）
如图，设矩形的周长为，把△ABC沿向折叠，折过去后交于点，设，.
（1）当时，求的值；
（2）设△CPB'的面积为S，求S的最大值.
17．（15分）
【解析】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，.
，，，
∴Rt△ADP≌Rt△CB'P，
.
在Rt△ADP中，由勾股定理得，即，解得.
（2）如图，由矩形的周长为，可知，，
，，，
∴Rt△ADP≌Rt△CB'P，
.
在Rt△ADP中，由勾股定理得，即，
解得，
所以.
所以△CPB'的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，△CPB'的面积最大，
面积的最大值为.
18．（17分）
设函数.
（1）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式：，；
（3）若对任意的，不等式，(且)恒成立，求的最大值.
18．（17分）
【解析】（1）当时，由原不等式可得，显然有解，满足题意；
当时，不等式无解，则，
即，解得，故实数a的取值范围为且.
综上，实数a的取值范围为−1，+∞.
（2）由，可得，
当时，解得，
当时，原不等式可化为，
由，解得
当时，不等式可化为，
①当时，即，解得；
②当，即时，解得或；
③当，即时，解得或.
综上所述，
当时不等式的解集为，
当时不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
（3）由可得，
由不等式恒成立知，，
所以，所以，
令，因为，所以.
所以
当时，，
当时，，当且仅当，即时，也即时等号成立.
综上，的最大值为.
19．（17分）
设为实数，集合.
（1）若，求；
（2）若，求满足的条件；
（3）设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对.
19．（17分）
【解析】（1）若，
则方程为，
即，解得或.
；
（2）由题意知，.
，是方程的根，
即，解得.
由，集合有且仅有一个元素，
即方程有且仅有一个根，
①若是方程的根，
则，且，解得；
②若不是方程的根，
则方程无实数根，则；
综上所述，或.
（3），，
若，，
，
则，又，，
所以有，解得.
验证：当时，，
不满足集合恰有两个元素，故；
若， 由，
，
则，，又，则，又，
所以，即.
由，则,即,解得.
验证：当时，
也不满足集合恰有两个元素，故；
由上可知，且.则，
且方程与有相同的判别式，
即两方程根的个数相同. 由集合均恰有两个元素，则.
，
因为，则是方程或的根.
由，且，则是方程或的根.
①当时，是方程的根，，则，
又，则，由，
则是方程的根，则.
（i）若，联立解得.
验证：当，，时，
，
，满足题意；
（ii）若，方程有两个不相等的实数根，
又，则方程的两根必为和.
故由韦达定理得，解得；
验证：当时，
，
，满足题意；
②当时，，即是方程的根，
则，又，则，
则是方程的根，则，即
（i）若，联立解得.
验证：当，，时，
，
，满足题意；
（ii）若，方程有两不等的实数根，
又，则方程的两根必为和.
故由韦达定理得，解得；
验证：当时，
，
，满足题意；
③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根.
由，则是方程的两实数根，
且是方程的根，
则有，解得.
验证：当且，，时，有.
有三个元素，故不满足题意；
综上所述，满足题意的所有三元数对有，，，．