高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册数列的概念课时训练

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一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{an}满足2an+1−2=an⋅an+1，且a1=3，则a2023=( )
A. 3B. 12C. −2D. 43
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查数列递推关系式的应用，数列的周期性，属于基础题．
由已知可得数列递推式an+1=22−an，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案．
【解答】
解：由题意数列{an}满足2an+1−2=an⋅an+1，
则an+1=22−an，
由a1=3，得
a2=22−3=−2,a3=22+2=12，
a4=22−12=43,a5=22−43=3，
由此可知数列{an}的周期为4，
故a2023=a4×505+3=a3=12．
故选：B．
2.数列{an}满足a1=2,an+1=1−1an(n∈N∗)，则a8等于( )
A. 12B. −1C. 2D. 13
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
根据已知的递推关系式求得周期为3，进而求解结论．
【解答】
解：因为a1=2，an+1=1−1an，
所以a2=1−1a1=12，a3=1−1a2=−1，a4=1−1a3=2，a5=1−1a4=12，a6=1−1a5=−1，…，
所以数列{an}是周期数列，周期为3，
所以a8=a2=12．
故选：A．
3.数列{an}满足a1=5，an+1=3an+1,an为奇数,an2,an为偶数,则a4=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查根据数列的递推公式求数列的项，属于基础题．
根据递推公式求出a2,a3,a4即可．
【解答】
解：由题意a1=5，an+1=3an+1,an为奇数an2,an为偶数,
∵a1=5，a1为奇数，
∴a2=3a1+1=16，a2为偶数，
∴a3=a22=162=8，a3为偶数，
∴a4=a32=82=4．
故选：C．
4.数列{an}的通项公式为an=n+an.若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. (−∞,2)D. [1,+∞)
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了数列的函数特征，二次函数的性质，属于基础题．
由数列{an}单调递增，可得an+1>an，整理得aan，
即n+1+an+1>n+an，
整理得a0，由n∈N∗，解得n⩾4，
所以当n⩽3时，bn+1bn1，
即当n⩽3时，数列bn单调递减，当n⩾4时，数列bn单调递增，
又b3=27128，b4=81400，所以b40，n∈N∗，则a2025= ．
【答案】21012
【解析】解：由a1=1，且an+1=man,n为奇数2man,n为偶数，其中m>0，n∈N∗，
可得a2=ma1=m，a3=2ma2=2，a4=ma3=2m，a5=4，a6=4m，a7=8，…，即有a2n−1=2n−1，
则a2025=21012．
故答案为：21012．
14.数列an满足an=3n−4,n∈[1,10]−n+20,n∈[11,+∞) (n∈N∗)，则an的最大值为 ．
【答案】26
【解析】解：当n∈[1,10]且n∈N∗时，由通项公式an=3n−4可知，数列an递增，此时an最大值为3×10−4=26；
当n∈[11,+∞)且n∈N∗时，由通项公式an=−n+20可知，数列an递减，an最大值为−11+20=9．
综上可知，当n=10时，an最大值为26．
故答案为：26
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
已知无穷数列0，3，8，……，n2−1，……．
(1)求这个数列的第9项．
(2)99是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
【答案】解：(1)an=n2−1，∴a9=92−1=80;
(2)假设99是这个数列中的项，则99=n2−1，解得n=10．
因此99是这个数列中的第10项．
【解析】(1)利用通项公式an=n2−1，n=9即可得出;
(2)假设99是这个数列中的项，则99=n2−1，解得n.即可得出．
本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.(本小题10分)
已知数列{an}的通项公式是an=n2−8n+5．
(1)写出这个数列的前5项；
(2)这个数列所有项中有没有最小的项？
【答案】解：(1)an=n2−8n+5.可得：a1=−2，a2=−7，a3=−10，a4=−11，a5=−10．
(2)an=n2−8n+5=(n−4)2−11．
∴n=4时，an取得最小值，−11．
∴这个数列所有项中有最小的项为第四项，为−11．
【解析】本题考查了数列的通项公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(1)an=n2−8n+5.n分别取1，2，3，4，5可得这个数列的前5项．
(2)an=n2−8n+5=(n−4)2−11.利用二次函数的单调性即可得出．
17.(本小题10分)
已知数列{an}的通项公式为an=3n−23n+1．
(1)求这个数列的第10项；
(2)在区间(13,23)内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请明理由．
【答案】解：(1)根据题意，数列{an}的通项公式为an=3n−23n+1，
则a10=3×10−23×10+1=2831；
(2)根据题意，13