人教A版 (2019)选择性必修 第二册数列的概念同步练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册数列的概念同步练习题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（ ）
A．20B．30C．40D．50
3．已知数列{an}，a1=1，an+1=an+，则该数列的第3项等于（ ）
A．1B．C．D．
4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知数列中，，，则（ ）
A．3B．C．D．
6．已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
7．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A．99B．131C．139D．141
8．已知数列中，，，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．在数列中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．观察下列数表：
设1025是该表第m行的第n个数，则______.
14．设数列满足，则an＝________．
15．已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．
16．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________.
17．数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Lenard Fibnacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．
三、解答题
18．在数列中，.
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
（2）求数列中的最大项.
19．数列中，已知．
（1）写出，；
（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？
20．在数列中，，点在函数的图象上.
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的一个通项公式.
21．已知公差不为零的等差数列中，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求证：.
参考答案：
1．C
利用前项积与通项的关系可求得结果.
【详解】
由已知可得.
故选：C.
2．B
由前项和公式直接作差可得.
【详解】
数列的前n项和(n∈N*)，所以
.
故选：B.
3．C
根据递推关系先求出，即可求出.
【详解】
，
.
故选：C.
4．B
根据，由递推求解.
【详解】
因为，，
所以，
，
，
，
，
故选：B
本题主要考查数列的递推，属于基础题.
5．C
首先根据及，依次写出，，，，可以发现，则数列是以4为周期的周期数列，进而可以得到的值.
【详解】
∵，，
∴，，，，
而，∴数列是以4为周期的周期数列，
∴.
故选：C.
6．A
直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【详解】
解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：．
7．D
根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.
【详解】
设该高阶等差数列的第8项为，
根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：
由图可得，则.
故选：D
8．B
由题意可得，运用累加法和“裂项相消法”求和可得，再将不等式恒成立问题转化为成立，由此可得实数的取值范围．
【详解】
∵，∴，∴，∴
∴
∴ ．
∵，∴，∴，
故选：B．
9．D
推导出，，由，得，从而，进而或．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的的值的个数．
【详解】
解：由题意知，，
由，得，，或．
①当时，，，或，或．
②若，则，或，
当时，，此时，或，
当时，，此时，或，
综上，满足条件的的值共有6个．
故选：D
10．D
根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项.
【详解】
解：若是递增数列，则，即，解得，
即实数的取值范围是．
故选：D．
11．D
首先求出数列的前几项，即可找出数列的周期，即可求出；
【详解】
数列中，，，
所以，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
故数列的周期为3，
所以，
故选：D．
12．A
显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】
因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
13．12
先找出每行第一个数的规律，再按照规律求解即可.
【详解】
解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9、…都是连续奇数，
第一行1个数；
第二行 个数，且第一个数是；
第三行 个数，且第一个数是；
第四行 个数，且第一个数是；
…
第10行有个数，且第一个数是，第二个数是1025，
所以1025是该表第10行的第2个数，所以，，则
故答案为：12.
本题考查利用数列找规律求值，是基础题.
14．
先由题意得时，，再作差得，
验证时也满足．
【详解】
①
当时，；
当时，②
①②得，当也成立.
即
故答案为：
15．
由题意首先求得数列的通项公式，然后裂项求和计算其前20项和即可．
【详解】
当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，
当n≥2时，，
且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，
则，
则．
故答案为：．
16．
由题意可得,当时，，又，两式相减可得，再利用累乘法，即可求出时数列的通项公式，注意当时,代入进行检验即可.
【详解】
由，可得当时，，
则，即，故，
所以.
当满足.
故数列的通项公式为.
故答案为：
易错点睛：本题考查已知数列的前项和求数列的通项公式，当时，，要注意当时,代入通项进行检验是否符合，考查学生的运算能力，属于一般题.
17．4
先根据将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案.
【详解】
因为，所以
.
又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以的个位数字相同，的个位数字相同，易知，则，所以的个位数字为4.
故答案为：4.
18．（1）是，；（2）
（1）设，解方程，看是否为正整数即可．
（2）将看成二次函数，利用二次函数的最值来求．
【详解】
（1）令，
解得或（舍去）.所以
（2），
由于，所以最大项为
本题考查已知项求项数，注意项数要为整数，另外将数列的最值转化为函数的最值，解题会更加简单．
19．（1），；（2）79是该数列中的项，是第15项.
（1）直接代入，计算即可；
（2）利用通项公式解出是否是正整数即可得到答案．
【详解】
解：（1）
所以；
.
（2）令，解得或舍去)，所以是该数列中的项，并且是第15项.
20．（1），，；（2）.
（1）由已知可得：，代入，即可求得，，的值；
（2）由前4项的值即可归纳.
【详解】
（1）因为点在函数的图象上，
所以，
又，所以，
，
.
（2）由（1）中数列的前4项的规律，
可归纳出数列的一个通项公式为.
21．（1）（2）见解析
（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；
（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.
【详解】
解：（1）设公差为，
则由题设可得：，
解得或（舍去），
所以，
（2）当时，有，，
两式相减得：，
即，
所以
，
当时，左边，右边，不等式也成立，
综上所述，对于任意都有.
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．