2025-2026学年福建省南平市部分学校高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年福建省南平市部分学校高二（上）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x0,ω>0,|φ|0的解集为______．
14.若△ABC的两条中线长均为2，则△ABC面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知非零向量a=(x,0)，b=(1,x)，且|a−b|=1．
(1)求x的值；
(2)求向量a与b的夹角；
(3)求向量a在b方向上的投影向量的模．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知7sinC+3 3csA=0，a2+b2−c2=137ab．
(1)求A；
(2)若a+c=10，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
某电脑公司为调查旗下某品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段(单位：岁)统计，数据见下表：
(1)根据上表，求a的值，并估计样本的中位数；
(2)按照年龄段从[25,30)，[40,45)，[45,50]内的用户中进行分层随机抽样，抽取9人，再从中随机选取2人赠送小礼品，求这2人不在同一年龄段内的概率．
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AP⊥平面PBC，AC⊥BC，PA=PC=2 2，BC=1，E为棱AB的中点．
(1)证明：平面APC⊥平面ABC．
(2)求三棱锥P−ABC的表面积．
(3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径B1C1=50cm，下底面直径BC=40cm，水面直径PQ=42cm，AA1，BB1，CC1均为圆台形水桶的母线，长度均为50cm.现有一根细棒l，其长度为16 10cm，将l放入水桶中，且将l的一端置于点B处(水桶厚度、细棒粗细均忽略不计)．
(1)l如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？
(2)若将l的另一端置于母线CC1上点M2处，求l浸入水中部分的长度．
(3)已知AA1⊥BC，若将l的另一端置于母线AA1上点M3处，求l浸入水中部分的长度．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：因为B={x|21，但是由x>1可以推出x>0，
所以“x>0”是“x>1”的必要不充分条件，不合题意；
对于C，由x>1推不出x>2，由x>2推出x>1，
所以“x>2”是“x>1”的充分不必要条件，符合题意；
对于D，由|x|>1推不出x>1，由x>1可以推出|x|>1，所以“|x|>1”是“x>1”的必要不充分条件，不合题意．
故选：C．
根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意得(sinα+csα)2=sin2α+2sinαcsα+cs2α=1+2sinαcsα=125，
可得2sinαcsα=−24250，csα0−m>0，即m>4m0⇒f(2x+3)>−f(−x)=f(x)⇒2x+3>x，解得x>−3，
所以不等式f(−x)+f(2x+3)>0的解集为(−3,+∞)．
故答案为：(−3,+∞)．
先根据函数奇偶性的定义得f(x)为奇函数，利用函数单调性的性质得函数f(x)在R上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得．
本题考查了函数奇偶性的综合应用，考查了转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】83
【解析】解：不妨设△ABC边AB，AC边上的中线长分别为CE，BD，则BD=CE=2，
设BD，CE相交于点O，则O为△ABC的重心，
设∠BOE=∠COD=α，
由重心的性质可得：CO=BO=43，DO=EO=23，
所以S△COD=S△BOE=12OD⋅COsinα=49sinα，
所以S△BOC=2S△BOE=89sinα，S△BCD=S△BOC+S△COD=89sinα+49sinα=43sinα，
S△ABC=2S△BCD=83sinα，
显然当α=π2时，S△ABC取得最大值，且最大值为83．
故答案为：83．
设两中线BD，CE相交于点O，设∠BOE=∠COD=α，并利用重心性质得到CO=BO=43，DO=EO=23，表达出S△ABC=83sinα，并求出最值．
本题考查三角形面积公式的应用，属于中档题．
15.【答案】(1)已知非零向量a=(x,0),b=(1,x)，
故a−b=(x−1,−x)，而|a−b|=1，
故 (x−1)2+(−x)2=1，解得x=1或x=0，
由于a=(x,0)为非零向量，故x≠0，故x=1；
(2)结合(1)可知a=(1,0),b=(1,1)，
则a⋅b=(1,0)⋅(1,1)=1，
故cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=11× 2= 22，
又0≤≤π，
故向量a与b的夹角为π4；
(3)向量a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=12b,|b|= 2，
故向量a在b方向上的投影向量的模为|12b|= 22．
【解析】(1)根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案；
(2)根据向量的夹角公式求解即可；
(3)求出向量a在b方向上的投影向量，即可求得答案．
本题考查了平面向量数量积和投影向量模长的计算，属于中档题．
16.【答案】2π3；
15 34
【解析】(1)由余弦定理得a2+b2−c2=2abcsC，可得a2+b2−c2=137ab，
∴csC=a2+b2−c22ab=137ab2ab=1314．
∵C∈(0,π)，∴sinC>0，∴sinC= 1−cs2C=3 314．
结合题意7sinC+3 3csA=0，解得csA=−12，根据A∈(0,π)，可知A=2π3．
(2)由(1)得sinC=3 314，A=2π3，即sinA= 32．
由正弦定理asinA=csinC，可得c=asinCsinA=37a，
∵a+c=10，∴a+c=a+37a=107a=10，解得a=7，c=3．
由(1)得a2+b2−c2=137ab，即49+b2−9=13b，解得b=5或b=8．
结合A=2π3>B，可知a>b，∴b=8不符合题意，舍去，故b=5，
∴△ABC的面积S△ABC=12bcsinA=12×5×3× 32=15 34．
(1)由余弦定理化简已知等式，求得csC的值，结合C∈(0,π)求得sinC，进而求出csA，可得角A的大小；
(2)由(1)可得sinC=3 314，运用正弦定理求得c=37a，然后根据余弦定理解出a=7、c=3，结合a2+b2−c2=137ab且a>b，求得b=5，再根据三角形面积公式求得答案．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式等知识，属于中档题．
17.【答案】a=0.02，36；
1318
【解析】(1)由(0.03+6a+0.05)×5=1，解得a=0.02．
因为(0.03+0.06)×5=0.450.5，
所以中位数在[35,40)内，设为m，则0.03×5+0.06×5+0.05×(m−35)=0.5，解得m=36．
(2)由题意可知[25,30)，[40,45)，[45,50]内的用户的比例为0.03：0.04：0.02=3：4：2，
根据分层随机抽样，抽取的9人中位于[25,30)内的有3人，记这3人为A1，A2，A3；
位于[40,45)内的有4人，记这4人为B1，B2，B3，B4；位于[45,50]内的有2人，记这2人为C1，C2．
从这9人中抽取2人，有(A1,A2)，(A1,A3)，(A2,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,B4)，
(A1,C1)，(A1,C2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,B4)，(A2,C1)，(A2,C2)，
(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,B3)，(A3,B4)，(A3,C1)，(A3,C2)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,B4)，
(B1,C1)，(B1,C2)，(B2,B3)，(B2,B4)，(B2,C1)，(B2,C2)，(B3,B4)，(B3,C1)，(B3,C2)，
(B4,C1)，(B4,C2)，(C1,C2)，共36种情况，
2人不在同一年龄段内的情况有(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,B4)，(A1,C1)，(A1,C2)，
(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,B4)，(A2,C1)，(A2,C2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,B3)，
(A3,B4)，(A3,C1)，(A3,C2)，(B1,C1)，(B1,C2)，(B2,C1)，(B2,C2)，(B3,C1)，(B3,C2)，
(B4,C1)，(B4,C2)，共26种情况，
所以这2人不在同一年龄段内的概率为2636=1318．
(1)根据每组的频率之和等于1，即可求得a的值，根据中位数的求法即可求得答案．
(2)根据分层抽样，确定每组抽取的人数，利用列举法列出所有的可能情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案．
本题考查频率分布表的应用、分层随机抽样、古典概型求概率公式等，属于基础题．
18.【答案】证明：在三棱锥P−ABC中，由AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，得AP⊥BC，
而AC⊥BC，AP∩AC=A，AP，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面ABC，
所以平面APC⊥平面ABC；
6+4 2；
2 3417
【解析】(1)证明：在三棱锥P−ABC中，由AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，得AP⊥BC，
而AC⊥BC，AP∩AC=A，AP，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面ABC，
所以平面APC⊥平面ABC；
(2)解：由(1)得AP⊥PB，AP⊥PC，BC⊥PC，而PA=PC=2 2，BC=1，
则AC= AP2+PC2= 8+8=4，PB= PC2+BC2= 8+1=3，
所以三棱锥P−ABC的表面积S=S△PAC+S△PAB+S△PBC+S△ABC
=12PA⋅PC+12PA⋅PB+12PC⋅BC+12AC⋅BC
=12(2 2×2 2+2 2×3+2 2×1+4×1)=6+4 2；
(3)解：由AP⊥平面PBC，得点A到平面PBC的距离为AP=2 2，
由E为棱AB的中点，得点E到平面PBC的距离d=12AP= 2，
由(2)知，PE=12AB=12 AC2+BC2= 172，
所以直线PE与平面PBC所成角的正弦值为dPE=2 2 17=2 3417．
(1)利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理得证．
(2)由(1)的性质，结合直角三角形面积公式求出表面积．
(3)求出点E到平面PBC的距离．再利用公式法求出线面角的正弦．
本题考查面面垂直的判定定理的应用及三棱锥的表面积的求法，直线与平面所成的角的正弦值的求法，属于中档题．
19.【答案】3 11cm；
2 10( 61+1)3cm；
4 10cm
【解析】(1)由题意水桶的上底面直径B1C1=50cm，下底面直径BC=40cm，水面直径PQ=42cm，
AA1，BB1，CC1均为圆台形水桶的母线，长度均为50cm，
细棒l的长度为16 10cm，
当l垂直于圆台形水桶的底面，即直线BM1垂直于圆台形水桶底面时，浸入水中部分的长度最小，
记BM1∩PQ=D，BM1∩B1C1=E，B1E=B1C1−BC2=5cm，QD=PQ−BC2=1cm，
水桶的高ℎ=BE= BB12−B1E2=15 11cm，因为△QDB∽△B1EB，所以B1EQD=BEBD，
即51=15 11BD，解得BD=3 11cm，所以浸入水中部分的长度最小值为3 11cm．
(2)记BM2∩PQ=H，过C作CG⊥B1C1，垂足为G，
cs∠BCC1=−cs∠CC1B1=−GC1CC1=−110，
在△BCM2中，BM22=BC2+CM22−2BC⋅CM2cs∠BCC1，
所以(16 10)2=402+CM22−2×40×CM2×(−110)，
即CM22+8CM2−960=0，
解得CM2=4( 61−1)cm，(负根舍去)，
由(1)得，△QDB∽△B1EB，
所以B1EQD=BEBD=B1BBQ=5，解得BQ=PC=10cm，
因为HP//BC，所以BHM2B=PCM2C，即BH16 10=104( 61−1)，
解得BH=2 10( 61+1)3cm，
所以l浸入水中部分的长度为2 10( 61+1)3cm．
(3)记圆台形水桶上底面圆的圆心为O1，下底面圆的圆心为O，连接OO1，
因为OO1⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OO1⊥BC，
因为AA1⊥BC，直线AA1与直线OO1一定相交，所以BC⊥平面OO1A1A，
又OA⊥平面OO1A1A，所以BC⊥OA，
在等腰梯形ABB1A1中，AB=20 2cm，A1B1=25 2cm，cs∠BAA1=−cs∠AA1B1=− 220，
在△ABM3中，BM32=AB2+AM32−2AB⋅AM3cs∠BAA1，
所以(16 10)2=(20 2)2+AM32−2×20 2×AM3×(− 220)，
即AM32+4AM3−1760=0，
解得AM3=40cm，(负根舍去)，
记点M3在平面ABC内的投影为N，点A1在平面ABC内的投影为I，
矩形OO1A1I如图1所示，
因为△AM3N∽△AA1I，所以AA1AM3=A1IM3N，即5040=15 11M3N，
解得M3N=12 11cm，
记BM3与水面交于点K，点K在平面ABC内的投影为S，△BM3N如图2所示，
因为△BKS∽△BM3N，所以BKBM3=KSM3N，即BK16 10=3 1112 11，
解得BK=4 10cm，
所以l浸入水中部分的长度为4 10cm．
(1)由几何性质可知l垂直于圆台形水桶的底面时，浸入水中部分的长度最小，记BM1∩PQ=D，BM1∩B1C1=E，通过相似比例求解即可；
(2)记BM2∩PQ=H，过C作CG⊥B1C1，垂足为G，在△BCM2中，由余弦定理得CM2=4( 61−1)cm，根据△QDB∽△B1EB，解得BQ=PC=10cm，利用比例相等得BH=2 10( 61+1)3cm即可得解；
(3)记圆台形水桶上底面圆的圆心为O1，下底面圆的圆心为O，连接OO1，利用线面垂直的判定定理和性质定理得BC⊥OA，在△ABM3中，由余弦定理得AM3=40cm，记点M3在平面ABC内的投影为N，点A1在平面ABC内的投影为I，利用三角形相似得M3N=12 11cm，记BM3与水面交于点K，点K在平面ABC内的投影为S，利用三角形相似得BK=4 10cm，即可求解．
本题考查了立体几何综合问题，是难题．分组
频率/组距
[25,30)
0.03
[30,35)
3a
[35,40)
0.05
[40,45)
2a
[45,50]
a