2025-2026学年重庆市西北狼教育联盟高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年重庆市西北狼教育联盟高二（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设i为虚数单位，复数z=2−5i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(m,1)，b=(6,−2)，若a与b共线，则m=( )
A. 3B. 13C. −13D. −3
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2 3，b=2，A=π3，则△ABC的面积为( )
A. 32B. 3C. 2 3D. 4 3
4.高一某班10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的第75百分位数是( )
A. 85B. 86C. 85.5D. 86.5
5.已知α，β是两个不同的平面，m，n为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为( )
A. 若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α B. 若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//β
C. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β D. 若m//α，n//β，m//n，则α//β
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CD的中点，则直线A1E与BC所成角的余弦值为( )
A. 25
B. 35
C. 13
D. 23
7.在△ABC中，D是边BC上的点，且AC=CD,AB=2AC= 3AD，则sinB=( )
A. 23B. 33C. 66D. 36
8.如图，三棱锥P−ABC的底面△ABC的斜二测直观图为△A′B′C′，已知PB⊥底面ABC，PB=6，A′D′=D′C′，A′O′=O′B′=O′D′=2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积S为( )
A. 96π B. 116π
C. 136π D. 144π
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,2)，b=(4,−3)，则( )
A. |a|= 5
B. 若(ka+b)⊥b，则k=52
C. 2a−3b=(−10,13)
D. 向量a在向量b上的投影向量为−225b
10.有一组样本数据1，2，3，4，5，现加入两个正整数x，y构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说法正确的是( )
A. 若平均数不变，则x+y=6B. 若极差不变，则x+y=6
C. 若x+y=6，则中位数不变D. 若x+y=6，则方差不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”.已知高一、高二、高三报名人数分别为：100人、150人和250人．现采用分层抽样的方法，从三个年级中抽取25人组成校代表队参加市级比赛，则应该从高一年级学生中抽取的人数为______．
12.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2 2点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB⋅AF=2，则AE⋅BF的值是______．
13.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，acsB=(2c−b)csA，设AM是△ABC的高，则AM的范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
已知复数z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)⋅z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若复数ω=z2+i，求复数ω−−65i的模．
15.(本小题15分)
为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动.为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：
(1)求图中a的值；
(2)估计该企业职工日均运动步数的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(3)若该企业恰好有25的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定的“优秀运动者”达标线．
16.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2，BD1和B1D交于点E，F为AB的中点．
(1)求证：EF/​/平面ADD1A1；
(2)已知B1D与平面BCC1B1所成角为π4，求点A到平面CEF的距离．
17.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB−csinC+(c−a)sinA=0．
(1)求角B；
(2)如图，∠ABC的角平分线交AC于点D，且a=3，c=4，
(i)求BD的长度；
(ii)若AB边上的中线CE与BD相交于点F，求∠DFE的余弦值．
18.(本小题17分)
正方形ABCD中，AB=2，M为CD的中点，BN=λBC，λ∈(0,1).将△ADM沿AM翻折到△PAM，△CMN沿MN翻折到△PMN，连接AN．
(1)求证：PM⊥AN；
(2)当λ=12时，求二面角P−AN−M的正弦值；
(3)设直线PM与平面AMN所成角为α，问是否存在λ∈(0,34)，使得sinα能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.B
5.C
6.D
7.A
8.B
9.ACD
10.AC
11.5
12.2
13.( 3,3 32]
14.解：(1)由z=3+bi(b∈R)，
得(1+3i)⋅(3+bi)=(3−3b)+(9+b)i，
∵(1+3i)⋅z是纯虚数，
∴3−3b=09+b≠0，解得b=1．
∴z=3+i；
(2)由ω=z2+i=3+i2+i=(3+i)⋅(2−i)(2+i)⋅(2−i)=7−i5=75−15i，
得ω−=75+15i，则ω−−65i=75+15i−65i=75−i，
∴|ω−−65i|=|75−i|= (75)2+(−1)2= 745．
15.(1)由频率分布直方图得2(a+0.1+5a+0.12+a)=1，解得a=0.04．
(2)由频率分布直方图可得平均数为：
x−=5×2×0.04+7×2×0.1+9×2×5×0.04+11×2×0.12+13×2×0.04=9.08．
所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步．
(3)日均运动步数在[12,14]的频率为2×0.04=0.08，
日均运动步数在[10,12)的频率为0.12×2=0.24，
日均运动步数在[8,10)的频率为5×0.04×2=0.4，
所以达标线位于[8,10)内，
则达标线为0.08+0.24+10−m2×0.4=25，解得m=9.6，
该企业制定的优秀强国运动者达标线是9.6千步．
16.(1)证明：由题意证明如下，
连接AD1，B1D1，BD．

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1//DD1且BB1=DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形．
∴E为BD1的中点，
在△ABD1中，E，F分别为BD1和AB的中点，
∴EF//AD1．
∵EF⊂平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，
∴EF//平面ADD1A1．
(2)解：由题意，B1D与平面BCC1B1所成角为π4.连接B1C.

∵长方体中AA1=AD=2，所以B1C=2 2.所以B1C=2 2．
∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，
∴CD⊥B1C.
∴∠DB1C为直线B1D与平面BCC1B1所成角，即∠DB1C=π4.故CD=2 2
∴△DB1C为等腰直角三角形，则CE=2．
在△DFB1中，

DF=FB1= 6知EF=12 AD2+DD12= 2．
在△CEF中，

CE=2,EF= 2,CF= 6，CE2+EF2=CF2，
∴EF⊥CE，
∴S△CEF=12⋅2⋅ 2= 2，
设点A到平面CEF的距离为ℎ．
由VA−CEF=VE−ACF知，13ℎS△CEF=13⋅12BB1⋅S△ACF，得ℎ=1．
∴点A到平面CEF的距离为1．
17.(1)根据题意可知，在△ABC中，由bsinB−csinC+(c−a)sinA=0，
根据正弦定理可知b2−c2+(c−a)a=0，
即a2+c2−b2=ac，
根据余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，而0