2025-2026学年重庆市西北狼教育联盟高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年重庆市西北狼教育联盟高二（上）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设i为虚数单位，复数z=2−5i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(m,1)，b=(6,−2)，若a与b共线，则m=( )
A. 3B. 13C. −13D. −3
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2 3，b=2，A=π3，则△ABC的面积为( )
A. 32B. 3C. 2 3D. 4 3
4.高一某班10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的第75百分位数是( )
A. 85B. 86C. 85.5D. 86.5
5.已知α，β是两个不同的平面，m，n为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为( )
A. 若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α B. 若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//β
C. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β D. 若m//α，n//β，m//n，则α//β
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CD的中点，则直线A1E与BC所成角的余弦值为( )
A. 25
B. 35
C. 13
D. 23
7.在△ABC中，D是边BC上的点，且AC=CD,AB=2AC= 3AD，则sinB=( )
A. 23B. 33C. 66D. 36
8.如图，三棱锥P−ABC的底面△ABC的斜二测直观图为△A′B′C′，已知PB⊥底面ABC，PB=6，A′D′=D′C′，A′O′=O′B′=O′D′=2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积S为( )
A. 96π B. 116π
C. 136π D. 144π
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,2)，b=(4,−3)，则( )
A. |a|= 5
B. 若(ka+b)⊥b，则k=52
C. 2a−3b=(−10,13)
D. 向量a在向量b上的投影向量为−225b
10.有一组样本数据1，2，3，4，5，现加入两个正整数x，y构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说法正确的是( )
A. 若平均数不变，则x+y=6B. 若极差不变，则x+y=6
C. 若x+y=6，则中位数不变D. 若x+y=6，则方差不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”.已知高一、高二、高三报名人数分别为：100人、150人和250人．现采用分层抽样的方法，从三个年级中抽取25人组成校代表队参加市级比赛，则应该从高一年级学生中抽取的人数为______．
12.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2 2点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB⋅AF=2，则AE⋅BF的值是______．
13.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，acsB=(2c−b)csA，设AM是△ABC的高，则AM的范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
已知复数z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)⋅z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若复数ω=z2+i，求复数ω−−65i的模．
15.(本小题15分)
为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动.为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：
(1)求图中a的值；
(2)估计该企业职工日均运动步数的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(3)若该企业恰好有25的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定的“优秀运动者”达标线．
16.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2，BD1和B1D交于点E，F为AB的中点．
(1)求证：EF/​/平面ADD1A1；
(2)已知B1D与平面BCC1B1所成角为π4，求点A到平面CEF的距离．
17.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB−csinC+(c−a)sinA=0．
(1)求角B；
(2)如图，∠ABC的角平分线交AC于点D，且a=3，c=4，
(i)求BD的长度；
(ii)若AB边上的中线CE与BD相交于点F，求∠DFE的余弦值．
18.(本小题17分)
正方形ABCD中，AB=2，M为CD的中点，BN=λBC，λ∈(0,1).将△ADM沿AM翻折到△PAM，△CMN沿MN翻折到△PMN，连接AN．
(1)求证：PM⊥AN；
(2)当λ=12时，求二面角P−AN−M的正弦值；
(3)设直线PM与平面AMN所成角为α，问是否存在λ∈(0,34)，使得sinα能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：复数z在复平面内对应的点(2,−5)在第四象限．
故选：D．
直接求出复数z，在复平面内对应的点所在的象限．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为a=(m,1)，b=(6,−2)，
若a与b共线，则−2m=6，即m=−3．
故选：D．
由已知结合向量平行的坐标表示即可求解．
本题主要考查了平行的坐标表示，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA，
则12=4+c2−2×2c×12，即c2−2c−8=0，解得c=4或c=−2(舍去)，
所以S△ABC=12bcsinA=12×2×4× 32=2 3．
故选：C．
根据a2=b2+c2−2bccsA并代入数据可求出c值，进一步利用S△ABC=12bcsinA进行求解即可．
本题考查余弦定理及三角形面积公式的运用，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：从小到大的顺序排列数据为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，
因为10×75%=7.5，
所以这组数据的75百分位数是第八个数据86，
故选：B．
先把数据从小到大排列，然后根据百分位数的计算公式即可求解．
本题考查了百分位数的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为α，β是两个不同的平面，m，n为两条不重合的直线，
对于A：若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α或m/​/α或m⊂α或m与α相交(不垂直)，故A错误；
对于B：若m⊂α，n⊂β，m/​/n，则α////β或α与β相交，故B错误；
对于C：若m⊥α，n⊥β，m⊥n，由面面垂直的判定可知α⊥β，故C正确；
对于D：若m/​/α，n/​/β，m/​/n，则α/​/β或α与β相交，故D错误．
故选：C．
根据线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理进行判断即可．
本题考查了空间点、线、面的位置关系，属中档题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成的角，考查了运算能力，属于基础题．
设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线A1E与BC所成的角即可．
【解答】
解：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，
则A1(2,0,2)，E(0,1,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，
则A1E=(−2,1,−2),BC=(−2,0,0)，
所以cs=A1E⋅BC|A1E||BC|
=−2×(−2)+0+0 (−2)2+12+(−2)2⋅ (−2)2=43×2=23，
所以异面直线A1E与直线BC所成角的余弦值为23，
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：因为AC=CD,AB=2AC= 3AD，设AD=2a，
则AB=2 3a，CD=AC= 3a，
在△ACD中，由余弦定理得：csC=CD2+AC2−AD22CD⋅AC=3a2+3a2−4a26a2=13，
因为0