人教A版 (2019)选择性必修 第一册双曲线当堂达标检测题

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\l "_Tc6652" 【题型1 曲线方程与双曲线】 PAGEREF _Tc6652 \h 1
\l "_Tc16272" 【题型2 利用双曲线的定义解题】 PAGEREF _Tc16272 \h 3
\l "_Tc27642" 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 PAGEREF _Tc27642 \h 5
\l "_Tc26806" 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 PAGEREF _Tc26806 \h 7
\l "_Tc8264" 【题型5 利用双曲线的几何性质求标准方程】 PAGEREF _Tc8264 \h 10
\l "_Tc5427" 【题型6 双曲线的渐近线方程】 PAGEREF _Tc5427 \h 12
\l "_Tc13499" 【题型7 求双曲线的离心率的值或取值范围】 PAGEREF _Tc13499 \h 14
\l "_Tc10170" 【题型8 双曲线中的最值问题】 PAGEREF _Tc10170 \h 16
\l "_Tc13479" 【题型9 双曲线的实际应用问题】 PAGEREF _Tc13479 \h 18
【知识点1 双曲线的标准方程】
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
【题型1 曲线方程与双曲线】
【例1】当ab0,b>0)的左，右焦点，点P在E上，D是线段F1F2上点，若∠F1PF2=π3,F1D:F2D=1:2,PD=4，则当△PF1F2面积最大时，双曲线E的方程是（ ）
A．x212−y29=1B．x29−y212=1
C．x23−y26=1D．x26−y23=1
【题型4 求双曲线的轨迹方程】
【例4】已知y轴上两点F10,−5，F20,5，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ）
A．x29−y216=1B．y216−x29=1
C．x29+y216=1D．x216+y29=1
【变式4-1】已知平面内两定点F1−3,0，F23,0，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是（ ）
A．PF1−PF2=±7B．PF1−PF2=±6
C．PF1−PF2=±4D．PF12−PF22=±6
【变式4-2】动圆M与圆C1：x+52+y2=25和圆C2：x−52+y2=1均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x24−y221=1x≥2B．x24−y221=1x≤−2
C．x29−y216=1x≥3D．x29−y216=1x≤−3
【变式4-3】已知定点F1(−2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是（ ）
A．x2+y23=1B．x2−y23=1C．x23+y2=1D．x23−y2=1
【知识点2 双曲线的简单几何性质】
1．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
2．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
3．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型5 利用双曲线的几何性质求标准方程】
【例5】若双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0其中一条渐近线的斜率为2，且点3,2在C上，则C的标准方程为（ ）
A．x22−y28=1B．x28−y22=1C．x2−y22=1D．5x23−y2=1
【变式5-1】已知双曲线C经过点4,2，且与双曲线x22−y2=1具有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x28−y24=1B．x26−y23=1C．x24−y22=1D．x212−y212=1
【变式5-2】一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆y24+x23=1的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（ ）
A．3x216−y216=1B．3y216−x216=1
C．3y24−x24=1D．3x24−y24=1
【变式5-3】已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD的面积为122，则双曲线的方程为（ ）
A．x29−2y29=1B．x218−y29=1
C．x227−2y227=1D．x236−y218=1
【题型6 双曲线的渐近线方程】
【例6】已知双曲线x2a2−y23=1(a>0)经过点2,3，则其渐近线方程是（ ）
A．y=±3xB．y=±32x
C．y=±23xD．y=±33x
【变式6-1】已知双曲线x2−my2=1m>0的左、右焦点分别为F1−2,0，F22,0，则双曲线的渐近线方程式为（ ）
A．y=±22xB．y=±33xC．y=±2xD．y=±3x
【变式6-2】已知点P为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，F1为双曲线C的左焦点，若PA=2AF1，则渐近线l的斜率为（ ）
A．−3B．−22C．−5D．−32
【变式6-3】已知双曲线C : x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2，右支上一点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1, d2，若F1F22=16d1d2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y=±2xB．y=±3x
C．y=±2xD．y=±x
【题型7 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【例7】已知双曲线C:3mx2−my2=3的一个焦点坐标为−2,0，则双曲线C的离心率为（ ）
A．32B．233C．2D．4
【变式7-1】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．2C．3D．5
【变式7-2】已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，若在双曲线C左支上存在点P使得PA⊥PB，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．1,3B．3,+∞C．1,2D．2,+∞
【变式7-3】双曲线x2a2−y2b2=1（a>2，b>0）的焦距为2cc>0，已知点Aa,0，B0,b，点2,0到直线AB的距离为d1，点−2,0到直线AB的距离为d2，且d1+d2≥45c，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．22,2B．52,5C．102,10D．3,23
【题型8 双曲线中的最值问题】
【例8】已知双曲线C:x24−y24=1的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点，点M是圆E:x2+(y−22)2=1上的一点，则PF+PM的最小值为（ ）
A．5B．5+22C．7D．8
【变式8-1】若点P在曲线C1:x216−y29=1上，点Q在曲线C2:x−52+y2=1上，点R在曲线C3:x+52+y2=1上，则PQ−PR的最大值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【变式8-2】已知双曲线C:y24−x22=1的焦点分别是F1、F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．PF1⋅PF2的最大值为4B．PF1⋅PF2的最大值为2
C．PF1⋅PF2的最小值为−4D．PF1⋅PF2的最小值为−2
【变式8-3】已知F1,F2分别为双曲线x29−y24=1的左､右焦点，P为双曲线右支上任一点，则PF12−PF2PF2最小值为（ ）
A．19B．23C．25D．85
【题型9 双曲线的实际应用问题】
【例9】如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y216−x2m=1的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为43米，则当水面宽度为46米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米B．82−4米C．26−4米D．47−4米
【变式9-1】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离3403mB．东偏南45°方向，距离3403m
C．西偏北45°方向，距离1703mD．东偏南45°方向，距离1703m
【变式9-2】双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为x2a2−y2b2=1，F1,F2分别为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（F2，A，B在同一直线上），满足AB⊥AD,∠ABC=3π4，则该双曲线的离心率的平方为（ ）
A．2+1B．2+3C．5+22D．5−22
【变式9-3】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为（ ）
A．423cmB．924cmC．22cmD．823cm
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
图形
标准方程
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长
实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程