2024年宁夏中考一模数学试题（原卷+答案解析）

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一、单选题
1．－5的相反数是( )
A．B．C．5D．-5
【答案】C
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方运算，求一个数的算术平方根，以及分式的化简， 根据各自的运算法则一一计算并按断即可得出答案．
【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
3．观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）

A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
【答案】C
【分析】先判断该几何体的三视图，再根据轴对称和中心对称图形定义逐项判断三视图，即可求出答案.
【详解】解：A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：C.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于掌握轴对称和中心对称的定义. 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
4．如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据旋转的性质可得，，，进而得出，结合坐标系，即可求解．
【详解】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，则，，
∴，

故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．
5．若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】B
【分析】根据题意得出一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：二次函数的图象与轴有交点，
一元二次方程有解，
，
解得：且．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、一元二次方程定义，根的判别式以及解一元一次不等式，根据根的判别式结合二次项系数非零找出关于的一元一次不等式是解题的关键．
6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，掌握平行线的性质是关键．
根据平行线的性质求得，再根据三角形的外角性质以及对顶角相等求解即可．
【详解】解：光线平行于主光轴，
，又，
，
，
，
故选：D．
7．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
8．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．点，，在同一个函数图象上在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增小，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴得N、P关于y轴对称，
∴选项A、B错误，
∵，在同一个函数图象上，且当时，，y随x的增大而减少，
∴选项C错误，选项D正确．
故选：D．
二、填空题
9．银川某天四个时刻的气温分别是，，，，其中气温最低的是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，根据有理数的大小比较的方法可得答案．
【详解】解：根据题意：，，
∴
∴，
∴其中气温最低的是，
故答案为：．
10．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”桃花花粉直径约为米，其用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
11．化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的除法， 先化简分式，然后把除法转化成乘法运算，然后约分即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．某菜鸟驿站第一天揽件件，第三天揽件件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为，根据题意所列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．根据题意，第三天的揽件数量第一天的揽件数量，列方程即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
13．在平面直角坐标系中有四个点，分别是，，，，从中任选两个点恰好都在第一象限的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了象限内点的特点，以及用列表法或树状图求概率，先根据象限内点的特点可得出第一象限的点有：，两个，然后列出表格，得出可能的情况以及中两个点恰好都在第一象限的情况，然后根据概率公式计算概率即可．
【详解】解：在四个点中，第一象限的点有：，两个，
根据题意，列表如下：
一共有12种可能的情况，其中两个点恰好都在第一象限的有和2种，
∴从中任选两个点恰好都在第一象限的概率是：．
故答案为：．
14．如图，已知点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于 ．

【答案】/140度
【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，连接，根据等弧所对的圆心角相等，可得，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，由此可解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，

∵为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴于点，交于点，且为的中点，若的面积为5，点B的坐标为，则的值为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键．由三角形等底同高面积相等，得出，，再由几何意义求出k，即可求出m．
【详解】解：∵且D为的中点，
∴，
∴，
∴，
由几何意义得，，
∵，
∴，
∵点B 是双曲线上的点，
∴，
即．
故答案为：10．
16．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，，测得，，．则雕塑的高为（即点到直线的距离） ．（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】4米
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．连接，过点作，交的延长线于点，根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．
【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点，如下图：
∵，
∴
∵
即
∴
即
在中， ，
∴，
∴
∴
在中，，
∴
（米）．
故雕塑的高约为4米．
故答案为：4米．
三、解答题
17．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点：
(1)在图中画一个两边长分别为和的矩形；
(2)在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等；
(3)在图中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格的特点，矩形的性质即可得到结论；
（2）根据（1）的结论，固定点，根据平行四边形的性质，作出点，顺次连接即可得到结论；
（3）固定点，根据网格的特点，勾股定理正方形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，矩形即为所求；
（2）解：如图，平行四边形即为所求；
（3）解：如图，正方形即为所求．
，且
则正方形即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
18．计算．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简绝对值，计算0指数幂，负指数幂，括号里面的，最后再计算加减法．
【详解】解：
19．下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：
解：去分母，得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
去括号，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第二步
移项、合并同类项，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
解得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第四步
则原分式方程的解为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步
(1)第一步的依据是________________________________；
(2)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_________________．
【答案】(1)等式的基本性质；
(2)五，没有对分式方程的根进行检验．
【分析】本题主要考查了解分式方程．
（1）根据题意可知，第一步的依据是等式的性质；
（2）观察可知，分式方程的解为原方程的增根，即在第五步错误，没有对分式方程的解进行检验．
【详解】（1）解：第一步的依据是等式的基本性质，
故答案为：等式的基本性质；
（2）上面的解题过程从第五步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的根进行检验，
故答案为：五；没有对分式方程的根进行检验．
20．如图，在中，．
(1)尺规作图：在上求作一点P，使得；
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的判定、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解答问题．
（1）作线段的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求．
（2）由题意得可得，根据三角形外角的性质可得，即，则，可得是等腰三角形．
【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，
则，
∴，
则点P即为所求．
（2）证明：设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
21．某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：

根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）；
(3)若要从七八年级选一个年级代表学校参加比赛，你认为应该选哪个年级？ 为什么？
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键．
（1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值；
（2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可；
（3）利用平均数和中位数或众数作决策即可．
【详解】（1）解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80，
∴；
将八年级的10个数据进行排序：；
∴；
故答案为：；
（2）解：由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大，
∵方差越小，数据越稳定，
∴；
故答案为：．
（3）解：选择八年级参赛，因为七年级和八年级的平均成绩相同，但是八年级的众数比八年级的大，所以八年级参赛学生的成绩较好，从方差角度看，八年级的方差比七年级的小，所以八年级的成绩更稳定．选八年级代表学校参加比赛．（或七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好，选七年级代表学校参加比赛．）
22．随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元．
(1)求A模型和B模型的单价；
(2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】(1)1个A模型的价格为78元，1个B模型的价格为61元．
(2)购买A模型13个，B模型7个，费用最少，该方案所需的费用为元．
【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A模型m个，则购买B模型个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【详解】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：1个A模型的价格为78元，1个B模型的价格为61元．
（2）设购买A模型m个，则购买B模型个，
依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，∴m可以为，∴共有3种购买方案，
方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）；
方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）；
方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）．
∵，
∴方案1购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元．
23．如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是：)：
(1)求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值；
(2)如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明理由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上）
【答案】(1)；；
(2)见解析．
【分析】本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、反比例函数图像与性质等知识，读懂题意，找出反比例函数表达式是解决问题的关键．
（1）根据题中数据，可知压强关于受力面积的满足反比例函数关系，待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由（1）中关系式，求出接触面积，代值求解与玻璃桌面承受的最大压强为比较即可得到答案．
【详解】（1）解：，
压强关于受力面积的满足反比例函数关系，
设压强关于受力面积的函数表达式为，则，
压强关于受力面积的函数表达式为；
把代入，得，
解得；
（2）这种摆放方式不安全．
理由：由已知，
此时，
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为10cm这一面置于玻璃桌面时，
此时，则
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为40cm这一面置于玻璃桌面时，
此时，则
∴这种摆放方式是安全的．
24．如图，是的内接三角形，是的直径，，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．
（1）分别证明，，从而可得结论；
（2）利用勾股定理求得，，可得，证明，设，则，，证明，可得，可得，，，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∵
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，则，
∴，即，
∴是的垂直平分线；
∴，则，
∴，
∴．
25．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依次类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，中，若，，则为2阶准菱形．

(1)判断与推理：
①邻边长分别为3和5的平行四边形是______阶准菱形；
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把沿折叠（点E在上），使点A落在边上的点F，得到四边形．请证明四边形是菱形．
(2)操作、探究与计算：
①若一个平行四边形的邻边长分别为1，，且是3阶准菱形，请画出这个平行四边形及裁剪线的示意图（至少画出两种），并在图形下方写出a的值；
②若的周长为24，且是4阶准菱形，请直接写出的短边长（两种即可）．
【答案】(1)①3；②证明见解析；
(2)①见解析；②2或
【分析】（1）①根据邻边长分别为3和5的平行四边形经过3次操作，即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；②根据平行四边形的性质得出，进而得出，即可得出答案；
（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；②根据4阶准菱形的定义作出图形，进而利用图形得出的短边长．
【详解】（1）解：①邻边长分别为3和5的平行四边形经过1次操作，所剩四边形是邻边长分别为2和3的平行四边形，再经过1次操作，所剩四边形是邻边长分别为2和1的平行四边形，再经过第3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形；
故答案为：3；
②由折叠知：，，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
（2）解：①如图所示：
，
②如图所示：

短边长为：；
如图所示：

短边长为：．
综上，的短边长为2或．
【点睛】此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．

(1)的长为 ___________；的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)4，
(2)
【分析】（1）由时，P与O重合，得，时，P与B重合，得；
（2）设，由，即，得到，则；分两种情况：当时，设交于E，可得，得到，则；当时，求出直线AB解析式为，可得，由得，故．
【详解】（1）解：当时，P与O重合，此时，
当时，，P与B重合，
∴，，
∴的长为4，的面积为，
故答案为：4，；
（2）∵A在直线上，
∴，
设，
∴，即，
∴，
∴；
当时，设交于E，如图：

∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
当时，如图：

设直线解析式为，把，代入得
，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
A
B
C
D
A
(B，A)
(C，A)
(D，A)
B
(A，B)
(C，B)
(D，B)
C
(A，C)
(B，C)
(D，C)
D
(A，D)
(B，D)
(C，D)
平均数
众数
中位数
七年级参赛学生成绩
85.5
m
87
八年级参赛学生成绩
85.5
85
n
桌面所受压强
250
400
500
800
受力面积
0.8
0.5
a
0.25