云南省腾冲市第八中学2026届高三上学期开学考试数学试卷[含解析]

这是一份云南省腾冲市第八中学2026届高三上学期开学考试数学试卷[含解析]，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】，解得，
又，令，，故，
故.
故选：C
2. 设复数满足，在复平面内对应的点位于第二象限，则的实部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设，则，因为在复平面内对应的点位于第二象限，
所以，即且，
因为，所以，即，
所以，解得（舍去）或，
所以，所以的实部是.
故选：D
3. 在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】四边形ABCD 为平行四边形，
所以，,
所以.
故选：C
4. 双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于（ ）
A. 17B. 15C. 9D. 7
【答案】A
【详解】
所以双曲线上一点P到两个焦点距离之差的绝对值为
因为P到它的一个焦点的距离等于1，所以点P到另一个焦点的距离等于17，
故选：A
5. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，
根据题意可知，解得；
所以圆锥底面直径为.
故选：C
6. 尽管目前人类无法准确预报地震，但科学家经过探究，已经对地震有所了解．地震时释放出的能量E与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则该地震释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（ ）（注：）
A. B. 8C. 32D. 64
【答案】C
【详解】设里氏震级时释放的能量为，里氏震级时释放的能量为，
则，，
两式相减得，又，所以，所以，
即日本东北部海域地震释放出的能量是汶川地震释放出的能量的倍.
故选：C
7. 将函数的图象上的各点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度，然后将图象绕坐标原点顺时针旋转，最后再将图象向左平移1个单位长度，得到了的图象．下面说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】将函数的图象向右平移1个单位长度，得到函数，
将逆时针旋转可得的图象，
再将图象向左平移个单位长度，可得的图象，
再将的图象上的各点的横坐标变为原来的，可得的图象，
即的图象，
又，所以.
故ABD错误，C正确.
故选：C.
8. 已知，，是三个不相同的平面，，，和的夹角为，和的夹角为，和的夹角为．若，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若，如图，在直三棱柱中，设为，为，
平面为，平面为，平面为，
由直三棱柱可得平面，而平面，
故，故或其补角为，
同理或其补角为，或其补角为，
若，，此时，
而，故，故时，推不出.
若，在如图所示的直棱柱中，为锐角，
设平面为，平面为，平面为，
同理可得，，，故此时有，
但即重合，故推不出，
故“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知等比数列中，，，为数列的前项和．下列说法正确的是（ ）
A. 或B. 或
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【详解】等比数列中，，，设为数列的公比．
所以，所以或.
当时，；
当时，，所以A选项正确，B选项错误；
若，则，则，C选项正确；
若，则当，则，D选项错误；
故选：AC.
10. 某小组探究变量x，y的关系，经统计得到了成对数据的7个样本：，，，，，，．记这组数据中变量x，y的均值分别为，，方差分别为，，样本相关系数为r；删去数据后，x，y的均值分别为，，方差分别为，，样本相关系数为．下面说法正确的是（ ）
附：样本相关系数
A. B.
C. D. 变量x和y的相关性很弱
【答案】AC
【详解】对于A，依题意，，，
删去数据后，，，
所以，故A正确；
对于B，
，
，所以，故B错误；
对于C，
其中，
所以，
，
所以，所以，故C正确；
对于D，因为，变量x和y的线性相关性很弱，但观察数据可知，所有数据均在函数的图象上，
即变量x和y存在函数关系，其相关性最强，故D错误，
故选：AC.
11. ，，是函数图象上的三点，且．点，下列说法正确的是（ ）
A. B. 在上
C. D.
【答案】CD
【详解】解：对于函数，，
令,则,,.
因为所以，,
所以，即.
A选项：因为，所以，
当且仅当时，,所以A选项错误.
B选项：因为点在曲线上，所以,故.
因为,所以,不恒等于，
即点不恒在曲线上，所以B选项错误.
C选项：令,
所以单调递增，.
所以当时，，单调递减且减小速度逐渐变慢；
当时，，单调递增，且增长速度逐渐变快,简图如下图所示：
设为曲线上任意一点，
则，
下证：时，且时，：
证明：设，则，
故在上为增函数，而，
故时，且时，.
由上述不等式可得，
当且仅当时，，
设，故曲线上出除外始终在圆的内部，
故当，结合曲线的凹凸性可得，
所以大于,所以C选项正确.
D选项：设点是函数图象上一点，且,
而,所以,
所以
，
所以，.
所以D选项正确.
故选： CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知角为第一象限角，则是第__________象限.
【答案】一或三
【详解】∵是第一象限角，∴，
∴
当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角．
所以第一或第三象限角.
故答案为：一或三.
13. 定义域为的函数在单调递减，则实数k的取值范围是_________．
【答案】
【详解】令，
根据题意在上恒成立，且在单调递减.
若,则，不符合题意；
若,则，即，
解得.
故答案为：.
14. 在一个质地均匀的圆形晾衣架上均匀分布着24个完全相同的夹子，往这些夹子上挂只袜子，并将晾衣架悬挂在高处．每只袜子完全相同，且只能被一个夹子夹住，一个夹子最多夹着一只袜子．若无论按照什么挂法，晾衣架稳定后都无法保持水平，则正整数m的取值一共有__________种．
【答案】
【详解】在个夹子中取一只夹子记为，从这只夹子向逆时针方向将余下的夹子依次记为，
圆形晾衣架均匀分布24个夹子，若能保持水平，则袜子的分布需反射对称和旋转对称，
其中，，，反射对称，
，，，旋转对称
若为偶数，可将只袜子分成组，每组挂在一对对顶点上，此时成对袜子的质心抵消，整体质心与中心重合；
被 2 整除的：2、4、6、…、24，共种；
旋转对称：若为 3 的倍数，将只袜子分成组，每组挂 3 个旋转对称点，整体质心与中心重合；
被 3 整除的 ：3、6、9、…、24，共种；
当时，将其中的三只袜子挂在三个旋转对称点，余下两只袜子挂在余下的一对对顶点上，
例如：五只袜子分别挂在位置上，可保持整体质心与中心重合；
当时，将其中的三只袜子挂在三个旋转对称点，余下四只袜子挂在余下的两对对顶点上，
例如：七只袜子分别挂在位置上，则可保持整体质心与中心重合；
当时，将其中的九只袜子分三组挂在三组三个旋转对称点，余下两只袜子挂在余下的一对对顶点上，
例如：十一只袜子分别挂在位置上，可保持整体质心与中心重合；
当时，将其中的九只袜子分三组挂在三组三个旋转对称点，余下四只袜子挂在余下的两对对顶点上，
例如：十三只袜子分别挂在位置上，可保持整体质心与中心重合；
当时，将其中的十五只袜子分五组挂在五组三个旋转对称点，余下两只袜子挂在余下的一对对顶点上，
例如：十七只袜子分别挂在位置上，可保持整体质心与中心重合；
当时，将其中的十五只袜子分五组挂在五组三个旋转对称点，余下两只袜子挂在余下的两对对顶点上，
十九只袜子分别挂在位置上，可保持整体质心与中心重合；
又当时，无法保持整体质心与中心重合，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平行六面体中，，，，．
（1）证明：；
（2）当平行六面体的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
在中，，，所以，所以.
又，所以.
又在中，，，，所以，
所以.
又平面，且，所以平面.
因为平面，所以，即.
【小问2详解】
因为平行六面体的底面是平行四边形，且，由已知平行四边形的面积为，
又平行六面体的侧棱为，所以当侧棱底面时，
平行六面体的体积最大.
如图：
以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，,.
所以，，，.
可取平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
可取.
因为，，.
所以.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
16. 已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，，且．
（1）求E的方程；
（2）点P是E上不与E左右顶点重合的任意一点．证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【小问1详解】
椭圆的右焦点为F，右顶点为A，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
当时，，所以，，
此时椭圆方程为，符合题意；
当时，，所以，不符合题意，
当时，，不符合题意，
综上，椭圆方程为.
【小问2详解】
设点，，且，即，
，
所以
，
假设当，即，
即，即，
即，
令，
则，
则，
因为，所以，
所以，
即，
即，
即，即与题干矛盾，
所以假设不成立，即.
17. 已知锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且．
（1）证明：；
（2）若，求的面积S的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
证明：由和正弦定理，可得，即，
所以由余弦定理得，
又由正弦定理得，则有，故得.
【小问2详解】
由正弦定理，，可得，
则的面积为，
因是锐角三角形，则，则，则有.
又，
所以，
又解方程得（负值舍去）
所以，
设，则，，
则，
于是，
两边平方整理得，再两边平方整理得，
则且，
解得且，且，
又当时，
有，，
因，所以，所以
故S的取值范围为.
18. 已知函数，其导函数为．
（1）若，求的最小值；
（2）若，证明：有且仅有一个极小值点；
（3）若存在，使得有两个不相等的零点，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【小问1详解】
当时，fx=12x2+lnx+1−2x，
则gx=f'x=x+1x+1−2,x>−1，则g'x=1−1x+12=xx+2x+12，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
gxmin=g0=−1.
【小问2详解】
由fx=12x2+alnx+1−b+1x得gx=f'x=x+ax+1−b+1,x>−1，
则g'x=1−ax+12=x2+2x+1−ax+12,x>−1，
对，因为，所以Δ=4−41−a=4a>0，
解方程得x1=−1−a−1，
所以当x∈−1,−1+a时，，当时，，
故函数在−1,−1+a上单调递减，在−1+a,+∞上单调递增，
故函数在时取得极小值，且函数只有一个极小值点．
【小问3详解】
f'x=x+ax+1−b−1=x2−bx+a−b−1x+1，其中，
设sx=x2−bx+a−b−1,x>−1，
若b2−4a−b−1≤0即时，恒成立，
此时在上为增函数，而，故只有一个零点，舍；
若b2−4a−b−1>0即，
若s−1=a≤0即，此时必成立，
而s0=a−b−10即，
当时，取，此时sx=x2−bx,x>−1，
当或时，即，
当时，，
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，而时，，故有两个不同的零点，
故符合.
当时，
由可得s0=a−b−10,
故在有两个不同的零点且，
同理可得在，上为增函数，在上为减函数，
结合可得fx1>0,fx2