人教A版 (2019)选择性必修 第一册双曲线综合训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册双曲线综合训练题，文件包含人教A版选择性必修一高二数学上册同步讲义+巩固练习322双曲线的简单几何性质原卷版docx、人教A版选择性必修一高二数学上册同步讲义+巩固练习322双曲线的简单几何性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。

知识点1 双曲线的几何性质
注：1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1可得eq \f(x2,a2)＝1＋eq \f(y2,b2)≥1，于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式eq \f(x2,a2)≥1，y∈R，所以x≥a 或x≤－a; y∈R.
2．对称性
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．
3．顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .
顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个．
(2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长．
4．渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y＝eq \f(b,a)eq \r(x2－a2)，它与y＝eq \f(b,a)x的位置关系：在y＝eq \f(b,a)x的下方．
它与y＝eq \f(b,a)x的位置的变化趋势：慢慢靠近．
(1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)等轴双曲线的离心率为eq \r(2)，渐近线方程为y＝±x.
(5)焦点到渐近线的距离为b.
5．离心率
(1)定义：e＝eq \f(c,a).
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \r(e2－1)，说明越趋近于1，则eq \f(b,a)的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
(4)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
【即学即练1】双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．4D．4eq \r(2)
【解析】双曲线方程可变形为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
【即学即练2】中心在坐标原点，离心率为eq \f(5,3)的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________．
【解析】∵eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，
∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(25,9)，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(16,9)，∴eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，
∴eq \f(a,b)＝eq \f(3,4).
又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，
∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x.
【即学即练3】双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________．
【解析】双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的一个焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程为y＝eq \r(3)x，
因此焦点到渐近线的距离d＝eq \f(2\r(3),\r(3＋1))＝eq \r(3).
【即学即练4】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为16，离心率为eq \f(5,4)；
(2)焦点在x轴上，离心率为eq \r(3)，且过点(－5,3)．
【解析】(1)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1，其中a＞0，b＞0.
由题意知2a＝16，eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，c2＝a2＋b2，解得a＝8，c＝10，b＝6.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.
(2)∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，∴c＝eq \r(3)a，b2＝c2－a2＝2a2.
又∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2a2)＝1(a＞0)．
把点(－5,3)的坐标代入，解得a2＝eq \f(41,2).
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,\f(41,2))－eq \f(y2,41)＝1.
知识点2 等轴双曲线和共轭双曲线
1．等轴双曲线
(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,a2)＝1(a＞0)．
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝eq \r(2).
(3)等轴双曲线的方程，；
2．共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：
(1)有相同的渐近线；
(2)有相同的焦距；
(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.
【即学即练5】中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
【解析】令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，∴c＝4，a2＝b2＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)×16＝8，故选A.
知识点3 直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
【解析】设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，那么y＝±eq \f(b2,a).
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
所以eq \f(b2,a)＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2－2×eq \f(c,a)－1＝0，
即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋eq \r(2)或e＝1－eq \r(2)(舍去)，
所以双曲线的离心率为1＋eq \r(2).
变式4：如图所示，F1和F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
【解析】连接AF1(图略)，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，|AF2|＝eq \r(3)c，∴2a＝(eq \r(3)－1)c，从而双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝1＋eq \r(3).
变式5：过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为eq \f(b,a)，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝eq \f(b,a)(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得eq \f(4a2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，化简得y＝－eq \r(3)b或y＝eq \r(3)b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－eq \r(3)b)，代入直线方程得－eq \r(3)b＝eq \f(b,a)(2a－c)，化简可得离心率e＝eq \f(c,a)＝2＋eq \r(3).
【例4-2】如果双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．
【解析】如图，因为AO＝AF，F(c,0)，
所以xA＝eq \f(c,2)，因为A在右支上且不在顶点处，所以eq \f(c,2)>a，所以e＝eq \f(c,a)>2.
答案：(2，＋∞)
变式1：已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【解析】，是双曲线的左右焦点，以圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，
则焦点到渐近线的距离：，
所以，
，
，
可得，
即：，可得，
所以，
所以，又，
所以双曲线的离心率的取值范围是：．
故答案为：．
考点五 直线与双曲线的位置关系
解题方略：
1．判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
2．直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
3．双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
（一）根据直线与双曲线的位置关系求参数
【例5-1】直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的交点个数是( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【解析】由题意，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
可得其渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
因为直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线的一条渐近线y＝eq \f(b,a)x平行，
所以它与双曲线只有1个交点．故选A
【例5-2】若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2,2) B．[－2,2) C．(－2,2] D．[－2,2]
【解析】易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－20，))
解得00，
解得keq \f(3,2).
故双曲线上不存在被点B(1,1)所平分的弦．
方法二 设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)－\f(y\\al(2,1),2)＝1，①,x\\al(2,2)－\f(y\\al(2,2),2)＝1，②))
由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－eq \f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴kMN＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，
∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y，得2x2－4x＋3＝0.
又Δ＝－80，b>0)．
由题意知2b＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.
(2)∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，∴c＝eq \r(2)a，b2＝c2－a2＝a2.
又∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1(a>0)．
把点(－5,3)代入方程，解得a2＝16.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.
(3)设以y＝±eq \f(3,2)x为渐近线的双曲线方程为
eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2eq \r(4λ)＝6⇒λ＝eq \f(9,4).
当λ0)，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.
12、已知双曲线（）的右焦点为，直线与双曲线只有1个交点，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】双曲线的渐近线方程为，
直线经过焦点，当时，只有直线与渐近线平行，与双曲线有1个交点，可得，同理可得，当时，，故．
故选：C．
13、已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线交于，两点，且点恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由已知得，又，，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意
故选：C
14、【多选】已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为eq \r(2)
【解析】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝2eq \r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2)，故D正确．故选A、C、D.
15、已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1D.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
【解析】设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)－\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
两式作差得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝eq \f(－12b2,－15a2)＝eq \f(4b2,5a2)，
又AB的斜率是eq \f(－15－0,－12－3)＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.故选B
16、【多选】若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，则下列结论正确的是 ( )
A．C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
B．C的离心率为eq \f(5,4)
C．焦点到渐近线的距离为3
D．|PF|的最小值为2
【解析】双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，A正确；离心率为e＝eq \f(5,3)，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d＝eq \f(4×5,\r(42＋32))＝4，C不正确；
|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．
17、若双曲线的渐近线与圆相切，则______．
【解析】双曲线的渐近线：，
圆的圆心与半径，
双曲线的渐近线与圆相切，
，解得或（舍去）．
故答案为：．
18、已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(\r(3)＋1,2) C.eq \r(3) D．2
【解析】由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，
则PF1⊥TF2，|TF2|＝c，
在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60°⇒|PF1|＝2eq \r(3)c，
则由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝2eq \r(3)c－2a，
所以2c＝2eq \r(3)c－2a，解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3)＋1,2).故选B
19、已知F为双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(eq \r(13)，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为______.
【解析】根据题意，双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1的左焦点F(－eq \r(13)，0)，
所以点A(eq \r(13)，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点．虚轴长为6，
所以|PQ|＝12.双曲线图象如图．
|PF|－|AP|＝2a＝4，①
|QF|－|QA|＝2a＝4，②
①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，
∴周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.
题组C 培优拔尖练
20、已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当eq \f(|PF1|2,|PF2|)取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
【解析】因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
所以eq \f(|PF1|2,|PF2|)＝eq \f(2a＋|PF2|2,|PF2|)＝eq \f(4a2,|PF2|)＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当eq \f(4a2,|PF2|)＝|PF2|，
即|PF2|＝2a时取等号，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，
因为|PF1|－|PF2|＝2a0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
∴|AB|＝eq \r(2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)×eq \r(4＋12)＝4eq \r(2).
又点O到直线AB的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.
24、设A，B分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4eq \r(3)，焦点到渐近线的距离为eq \r(3).
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝eq \f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，求t的值及点D的坐标．
【解析】(1)由题意知a＝2eq \r(3).
∴一条渐近线为y＝eq \f(b,2\r(3))x，即bx－2eq \r(3)y＝0.
∴eq \f(|bc|,\r(b2＋12))＝eq \r(3).
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，
∴b2＝3.
∴双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1.
(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得x2－16eq \r(3)x＋84＝0.
则x1＋x2＝16eq \r(3)，y1＋y2＝12.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\\al(2,0),12)－\f(y\\al(2,0),3)＝1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))
由eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，
得(16eq \r(3)，12)＝(4eq \r(3)t,3t)．
∴t＝4，点D的坐标为(4eq \r(3)，3)．
课程标准
核心素养
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质．
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用.
直观想象
数学运算
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；
虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；
半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x