2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题8.2两条直线的位置关系(九类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题8.2两条直线的位置关系(九类重难点题型精练)(学生版+解析)，共47页。试卷主要包含了已知直线l过点，分别与直线等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 两条直线的交点问题
1．（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线l过点，分别与直线：，：交于A，B两点，圆C：过A，B两点，则△ABC面积的最大值为 ；当△ABC面积取最大值时，直线l的方程为
5．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 .
6．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ．
重难点题型2 两条直线的平行与垂直的判定与性质
1．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．5D．10
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·浙江杭州·期中）过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ．
6．（2023·上海青浦·二模）过点与直线垂直的直线方程为 .
7．已知直线，则过坐标原点且与l垂直的直线方程是 ，点到l的距离是 ．
8．（2024·江西九江·一模）若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为 ．
重难点题型3 距离问题
1．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A．B．C．D．
4.（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 .
5．（2025·甘肃·模拟预测）若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，则 .
重难点题型4 有关距离的最值问题
1．（2024·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（ ）
A．B．2C．D．不存在
2．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南益阳·三模）已知圆C：的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l：的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A．16B．32C．48D．64
4．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．6C．D．9
5．（2025高三下·全国·专题练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为，且，，若点P在抛物线C上，则的最小值为 ．
7．（23-24高三上·江苏苏州·周测）已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为 .
重难点题型5 点点对称
1．已知，，点是线段的中点，则 .
2．（2024·江苏南通·高二统考期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为 .
3．设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于
4．已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为 ．
重难点题型6 点线对称
1．若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（ ）
A．B． C．D．
2．（2023·湖北·高二校联考周测）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2025·江西赣州·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知点关于直线对称的点在圆上，则（ ）
A．4B．5C．-4D．-5
7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ．
8．（2024·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 .
9．（2024·山东烟台·一模）若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为 .
重难点题型7 线点对称
1．（2024·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（ ）
A．B．
C．D．
2．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点
A．B．
C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为 ．
4．（2024·河北廊坊·高三校考月考）与直线关于点对称的直线的方程为 .
5．直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ．
6．若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为 .
7．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
重难点题型8 线线对称
1．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．直线关于直线对称的直线方程是
A．B．
C．D．
4．（2024·甘肃兰州·一模）已知是离心率为的椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
5．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）与直线关于对称的直线的方程为 .
7．直线关于直线对称的直线方程是 .
8．直线关于直线对称的直线为（ ）
A．B．C．D．
重难点题型9 直线方程的综合应用
1．在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上
B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行
C．若，则直线经过线段M，N的中点；
D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；
2．在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
3．（2024·江西·模拟预测）（多选题）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．当时，
C．当时，D．，使得
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）（多选题）已知圆，P为圆O上的动点，则（ ）
A．圆心O关于直线AB的对称点为
B．动点P到直线AB的距离最大值为
C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线
D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等
5．（2025·湖南·三模）（多选题）已知动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为4，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C的轨迹方程为
B．曲线C的图象关于y轴对称
C．若点在曲线C上，则
D．曲线C上的点到直线的距离的最大值为12
6．（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 .
8．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ．
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 .
序号
题型
重难点题型1
两条直线的交点问题
重难点题型2
两条直线的平行与垂直的判定与性质
重难点题型3
距离问题
重难点题型4
有关的距离的最值问题
重难点题型5
点点对称
重难点题型6
点线对称
重难点题型7
线点对称
重难点题型8
线线对称
重难点题型9
直线系方程
专题8.2 两条直线的位置关系
目录●重难点题型分布
重难点题型1 两条直线的交点问题
1．（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标
【分析】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得.
【详解】由，解得，则所求方程的直线过点，
设所求直线方程为，于是，解得，
所以所求直线方程为.
故选：D
2．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题、求直线交点坐标
【分析】由与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，根据题意该圆过三个定点，利用割线定理求得第四个点的坐标，从而求得k的值．、
【详解】由题意易知，与坐标轴交于与
因为，所以必过于是如下图：
由割线定理得，得，即第四个交点为
所以．，
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】正切函数的诱导公式、二倍角的正切公式、直线斜率的定义、三线能围成三角形的问题
【分析】分为围成的等腰三角形底边在x轴上、底边在直线上和底边在直线上三种情况，分别求解即可.
【详解】令直线的倾斜角分别为，则，
当围成的等腰三角形底边在x轴上时，，；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，或，
因为，且，解得，
所以，或；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，，则.
故选：D．
4．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线l过点，分别与直线：，：交于A，B两点，圆C：过A，B两点，则△ABC面积的最大值为 ；当△ABC面积取最大值时，直线l的方程为
【答案】 1 或
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、求直线交点坐标、求平面两点间的距离
【分析】由题意作图，根据三角形的面积计算，结合正弦函数的性质，可得面积最值，根据等腰直角三角形的性质，可得的值，分直线的斜率存在与不存在两种情况，联立方程求交点，由两点距离公式，建立方程，可得答案.
【详解】
由，则其圆心，半径，设，
易知，则当时，取得最大值为，
在等腰中，
当直线的斜率不存在时，直线，
代入直线，解得，则；
代入直线，解得，则；
所以，显然此时取得最大值为.
当直线的斜率存在时，可设直线，
联立可得，解得，，则；
联立可得，解得，，则；
，
由，则，解得，即直线，
所以取得最大值为，则直线或.
故答案为：；或.
5．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标
【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程.
【详解】联立与可得，
故交点为，倾斜角为，所以斜率为1，
故直线方程为，即，
故答案为：
6．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求平行线间的距离
【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可.
【详解】直线和直线互相平行，
故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离，
且两条直线间的距离：.
故答案为：
重难点题型2 两条直线的平行与垂直的判定与性质
1．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求平行线间的距离
【分析】首先根据导数的几何意义求切线的方程，再代入平行线的距离，即可求解.
【详解】设直线与曲线切于点，直线的斜率为4，
由导数的几何意义可知，，得，则，
所以直线，即，
所以直线与之间的距离为.
故选:A
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】先根据两直线平行求出的值，再由两直线间的距离公式求解.
【详解】因为直线与平行，
所以，即，
则，也就是，
所以两直线间的距离为.
故选：D
3．（24-25高二下·浙江杭州·期中）过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由两条直线垂直求方程、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】由抛物线的焦点坐标和直线垂直的斜率关系求解.
【详解】抛物线的焦点为，
设与直线垂直的直线方程为，
代入，可得，故所求直线方程为，
即.
故选：B.
4．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程
【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解.
【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为
又过点，所以直线方程为，整理可得.
故选：D.
5．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】由两直线平行可求得，再由平行线间的距离公式代入计算可得结果.
【详解】由与两直线平行可得，解得；
即可得：，
所以与间的距离为.
故答案为：
6．（2023·上海青浦·二模）过点与直线垂直的直线方程为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由两条直线垂直求方程
【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得，
解得，
故所求直线方程为.
故答案为：.
7．已知直线，则过坐标原点且与l垂直的直线方程是 ，点到l的距离是 ．
【答案】 1
【难度】0.65
【知识点】由两条直线垂直求方程、求点到直线的距离
【分析】利用直接法求出直线方程；利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】直线的斜率为，所以可设与l垂直的直线方程为，把代入，求得c=0，所以过坐标原点且与l垂直的直线方程是；
点到l的距离为.
故答案为：；1．
8．（2024·江西九江·一模）若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为 ．
【答案】/0.5
【难度】0.94
【知识点】基本不等式求积的最大值、由两条直线垂直求方程
【分析】根据两直线垂直的a、b关系，再用基本不等式可解.
【详解】由两直线垂直得，即，，
当且仅当，时，等号成立，故的最大值为．
故答案为：
重难点题型3 距离问题
1．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可.
【详解】直线即直线，与直线平行，则，
故所求即为平行直线与之间的距离，
即所求为.
故选：B.
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】先由直线平行求出参数k，再由两平行直线的距离公式即可求解.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，所以，
所以直线：即，
所以这两条直线间的距离为.
故选：B.
3．过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离、过圆上一点的圆的切线方程
【分析】先判断点在圆上，求出切线的方程以及的值，利用两平行直线间的距离公式即可求解．
【详解】因为满足圆的方程，
所以点在圆上，又，所以，
因，则，解得，
故切线：，即.
因为切线与直线平行，所以，解得，
故直线：，
则平行直线与间的距离为.
故选：A.
4.（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、轨迹问题——圆
【分析】先分析两条直线经过的定点，得出的坐标，根据两直线的位置关系分析可得的运动轨迹是挖去一点的圆，然后判断出直线和圆相切，从而得解.
【详解】动直线 过定点 ，
动直线 即 过定点 .
因为，所以直线与直线垂直，
又直线的斜率一定存在，
注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在，
故点在以为直径的圆上（去除点），
圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离为
所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0；
圆的直径，且点到直线 的距离为，所以，
即的取值范围为 .
故答案为：
5．（2025·甘肃·模拟预测）若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】先求出圆的圆心坐标和半径，以及圆心到的距离，结合题意可得圆的半径为，进而建立方程求解即可.
【详解】由圆，即，则，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到的距离为，
因为圆上恰有三个不同的点到的距离为1，所以圆的半径为，
则，解得.
故答案为：.
重难点题型4 有关距离的最值问题
1．（2024·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（ ）
A．B．2C．D．不存在
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离
【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案.
【详解】直线即，
令，解得，
即直线过定点，设为B，
当直线与l垂直时，点到直线的距离最大，
即为，
此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解，
即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值，
故选：D
2．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【详解】由题意得，圆的圆心为，半径.
因为到直线的距离，
当且仅当时，等号成立，
所以直线与该圆相离，
所以的最小值为.
故选：C.
3．（2025·湖南益阳·三模）已知圆C：的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l：的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A．16B．32C．48D．64
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径
【分析】先将圆的方程化为标准方程，利用参数表示点坐标，最后利用三角函数即可求解.
【详解】由有，
设点，
所以点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
所以，
所以当，即时，取最大值为.
故选：B.
4．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．6C．D．9
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离
【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可.
【详解】设曲线在点处的切线与直线平行，
由，得，则或，
则动点到直线的距离的最小值为.
所以点到直线的距离的最小值为，
故选：B.
5．（2025高三下·全国·专题练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】设点，则直线的方程为，
（注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是），
化简可得：，
所以圆心到直线的距离为：
所以
，
当时，的最小值为.
故选：C.
6．（2024·全国·模拟预测）已知过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为，且，，若点P在抛物线C上，则的最小值为 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】求平行线间的距离、抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题
【分析】先利用中点坐标公式及抛物线的定义得出，抛物线方程为；再根据点的坐标特点得出点Q在直线上，求出与l平行且与抛物线C相切的直线方程；最后将求的最小值转化为求切线与直线l之间的距离．
【详解】设，，
由AB的中点为，可得，
由抛物线的定义可得.
又因为，
所以，故抛物线C的方程为．
由可知：点Q在直线上.
设与l平行且与抛物线C相切的直线方程为，
联立方程组可得：，
则，解得：，
则与l平行且与抛物线C相切的直线方程为.
所以该切线与直线l之间的距离即的最小值，
故的最小值为．
故答案为：.
7．（23-24高三上·江苏苏州·周测）已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】将军饮马问题求最值、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】根据题意，得到点，可得点在直线上的动点，把的最大值转化为则，结合对称法和圆的性质求最值，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心，半径为，
又由点，可得点在直线上的动点，
因为点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，
则，
如图所示，设点关于直线的对称点为，
可得，解得，即，
设直线与直线的交点为，
则直线的方程为，联立方程组，解得，
即，则，
当点与重合时，此时，则，
此时取得最大值，最大值为，
所以，即的最大值为.
故答案为：.
重难点题型5 点点对称
1．已知，，点是线段的中点，则 .
【答案】
【解析】由中点坐标公式知：，，解得：，，.
故答案为：.
2．（2024·江苏南通·高二统考期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为 .
【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，，
则为直角三角形，且为斜边，
故.
故答案为：
3．设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于
【答案】
【解析】根据点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，利用中点坐标公式得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解.因为点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，
所以，
所以，
故答案为：
4．已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为 ．
【答案】
【解析】设，则．由点Q在直线上，得，．故．
所以直线l的斜率为，所以
故答案为
重难点题型6 点线对称
1．若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【解析】因为直线过定点，
点关于直线对称的点为，
故直线恒过定点.
故选：C
2．（2023·湖北·高二校联考周测）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，，
故直线的方程为，
又由，，，则 的重心为，
设，其中，点关于直线 的对称点，则有，
解得，即，
易得关于 轴的对称点，
由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率，
故直线的方程为，
由于直线过 的重心，代入化简可得，
解得：或 舍，即，故，
故选：C．
3．（2025·江西赣州·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】求点关于直线的对称点、求两圆的交点坐标
【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k.
【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心，
所以点关于直线对称的点在圆上，
又点关于直线对称的点在圆上，
所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为，
所以与两点所在直线，与垂直，故.
故选：D
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求点关于直线的对称点、求两圆的交点坐标
【分析】点在圆上，由题意分析可知对称点必是圆与圆的公共点，通过计算，即可得出答案.
【详解】因点的坐标满足，则点在圆上，
因直线过的圆心，
则点关于直线对称的点必然在圆上，
联立，得，
因圆与圆仅有唯一公共点，
因此点关于直线对称的点只能是点，
设直线与线段交于点，
因，，
则由垂径定理可得，，
则在中，，
因此.
故选：C
5．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点
【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解；
【详解】设关于直线的对称点为，
由对称关系可得，
解得．
则点到直线：的距离为．
故选：C．
6．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知点关于直线对称的点在圆上，则（ ）
A．4B．5C．-4D．-5
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数
【分析】先求出点的对称点，代入圆的方程求解即可.
【详解】设，则
所以
由题可知，
故选：B
7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数
【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围．
【详解】设与关于直线对称，则，解得，即，
因为在圆的内部，
所以，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
8．（2024·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数
【分析】首先求对称点，再根据点与圆的位置关系，列式求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，得，
又题意可知，，解得：.
故答案为：
9．（2024·山东烟台·一模）若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为 .
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数
【分析】利用轴对称列式求出点关于直线的对称点的坐标，再代入圆方程即得.
【详解】依题意，点关于直线的对称点在圆上，
则，解得，因此点在圆上，
则，解得，
所以实数的值为4.
故答案为：4
重难点题型7 线点对称
1．（2024·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求直线关于点的对称直线
【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案
【详解】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为，
因为点在直线上，
所以，化简得，
所以所求直线方程为，
故选：B
2．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】直线过定点问题、求直线关于点的对称直线
【分析】先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点.
【详解】直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).
【点睛】本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.
3．（2024·全国·模拟预测）圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】由题意求得点关于直线l对称的点的坐标，即可写出圆的方程.
【详解】由题意知圆C的圆心为，半径为2；
设点关于直线l对称的点为，则，
解得，
因此圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为，
故答案为：
4．（2024·河北廊坊·高三校考月考）与直线关于点对称的直线的方程为 .
【答案】
【解析】直线关于点对称的直线的方程可设为，其中
又点到直线与到直线的距离相等
所以，即，所以或（舍）.
故所求直线方程为：.
故答案为：.
5．直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ．
【答案】
【解析】由得：，当时，，；
设直线关于点对称的直线方程为，
，解得：或（舍），
直线关于点对称的直线方程为.
故答案为：.
6．若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为 .
【答案】
【解析】因为直线恒过定点，
所以关于点对称，
所以关于点的对称点为，
此时和都在直线上，
由直线方程的两点式可得，即，
所以点到直线的距离为．
故答案为：．
7．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b
取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ，
，解得b＝.
∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
重难点题型8 线线对称
1．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
2．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】两条直线的到（夹）角公式、求直线交点坐标、直线关于直线对称问题
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.
【详解】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
3．直线关于直线对称的直线方程是
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】直线关于直线对称问题
【解析】利用当对称轴斜率为时,由对称轴方程分别解出x,y,代入已知直线的方程,即得此直线关于对称轴对称的直线方程
【详解】因为直线的斜率为1,
故有,将其代入直线,
即得：,
整理即得,
故选：A
【点睛】本题考查直线关于直线的对称直线的方程的求法,当对称轴斜率为时,由对称轴方程分别解出x,y,代入已知直线的方程,即得此直线关于对称轴对称的直线方程
4．（2024·甘肃兰州·一模）已知是离心率为的椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】直线关于直线对称问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
【分析】由题意知，设过点的直线方程为：，反射后的切线方程为：，联立切线方程与椭圆的方程，利用求解即可.
【详解】由题意可知，又，故，
设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即
则反射后的切线方程为：
由得，
因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，
，
化简得：，即，解得
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，及关于直线对称的直线方程，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
5．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【分析】先求出故入射光线与反射轴的交点为，在入射光线上再取一点，由点关于反射轴的对称点在反射光线上，用两点式求得反射光线的方程．
【详解】由 得，故入射光线与反射轴的交点为，
在入射光线上再取一点，
则点关于反射轴的对称点在反射光线上．
根据、两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为，即．
故选B．
【点睛】本题考查求一条直线关于另一直线的对称直线方程的求法，用两点式求直线的方程，属于基础题.
6．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）与直线关于对称的直线的方程为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线关于直线对称问题
【分析】求出直线与直线的交点，在直线上取点，求出它关于直线的对称点，再由两点式可求出结果.
【详解】联立，解得，所以直线与直线的交点为，
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以点关于直线的对称点为，
由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为：
，即.
故答案为：
7．直线关于直线对称的直线方程是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线关于直线对称问题
【分析】先求得两条直线的交点坐标,再在直线上取一个点,求得点关于直线的对称点,即可利用两个点的坐标求得其对称点的直线方程.
【详解】因为直线与直线
所以联立直线方程可得,解方程组可得
即两条直线的交点的坐标为
在直线上取一个点,设关于直线的对称点为,由中点坐标公式及斜率关系可得
,解方程组可得
所以
则直线方程的斜率为
由点斜式可得直线的方程为
化简可得
即直线关于直线对称的直线方程为
故答案为:
【点睛】本题考查了直线交点坐标的求法,点关于直线的对称点求法,两条垂直直线的斜率关系点斜式方程的用法,属于基础题.
8．直线关于直线对称的直线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设所求直线上的任意一点为
则关于直线对称点为
点在直线上
满足直线方程，即
直线关于直线对称的直线为
故选：C
重难点题型9 直线方程的综合应用
1．在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上
B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行
C．若，则直线经过线段M，N的中点；
D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】直线综合、由一般式方程判断直线的平行、直线过定点问题
【分析】根据题意对一一分析，逐一验证．
【详解】解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确．
对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确；
对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确；
对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确；
故选A
【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
2．在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】直线综合、圆锥曲线新定义
【解析】根据新定义“和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.
【详解】（1）当时，点的轨迹如图，其面积为2，正确；
（2）是直线上的一点，，
可知，，时递减，时递增，故的最小值在时取得，，正确；
（3）同（2），，可知当时，都满足，“和”最小的点有无数个，故错误；
（4）可设椭圆参数方程为，
易知其最大值为，正确.
故选：B.
【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.
3．（2024·江西·模拟预测）（多选题）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．当时，
C．当时，D．，使得
【答案】AB
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、已知直线平行求参数、求直线交点坐标
【分析】对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：根据空集的定义结合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解.
【详解】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线，
可知表示直线上所有的点，
所以，故A正确；
对于选项B：当时，则，，
联立方程，解得，所以，B正确；
对于选项C：当时，则有：
若，则；
若，可知直线与直线平行，且，
可得，解得；
综上所述：或，故C错误；
对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误．
故选：AB．
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）（多选题）已知圆，P为圆O上的动点，则（ ）
A．圆心O关于直线AB的对称点为
B．动点P到直线AB的距离最大值为
C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线
D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】求出直线的方程，求出对称点坐标判断A；利用圆的性质求出最大距离判断B；确定两圆位置关系判断C；求出切线长判断D.
【详解】直线的斜率，直线的方程为，
对于A，设圆心关于直线对称点为，则，解得，A正确；
对于B，圆心到直线的距离，因此动点P到直线AB的距离最大值为，B错误；
对于C，，线段中点，则，以AB为直径的圆半径为，
而圆半径为，且，即以AB为直径的圆与圆O相交，有2条公切线，C正确；
对于D，过点作圆的切线长为，过点作圆的切线长为，D错误.
故选：AC
5．（2025·湖南·三模）（多选题）已知动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为4，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C的轨迹方程为
B．曲线C的图象关于y轴对称
C．若点在曲线C上，则
D．曲线C上的点到直线的距离的最大值为12
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离、由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程
【分析】直接求动点P的轨迹方程判断A；整理或，利用方程和图象可判断BC；由曲线上的点处的切线方程与直线平行找到距离最大的点，再由点到直线的距离公式可判断D.
【详解】对于A：因为曲线C上的点到定点的距离与到定直线的距离之和为4，
则，即，故A正确；
对于B：整理得或，
所以可作出曲线C的图象如图所示：
所以曲线C的图象关于y轴对称，故B正确；
对于C：当时，由，得，
当时，由，得，
所以当点在曲线C上时，，故C错误；
对于D：因为函数过点，且，所以，
所以函数在点处的切线方程为即，
所以该切线与直线即平行，
所以曲线C上的点到直线距离最大为，故D正确．
故选：ABD．
6．（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【难度】0.94
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系
【分析】讨论、，结合斜率与夹角关系判断各项的正误.
【详解】当时，；
当时，.
故选：AB
7．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 .
【答案】
【解析】依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为.
故答案为：
8．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ．
【答案】x－y＝0.
【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因为它与直线x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－，
故所求直线为x－y＝0.
故答案为：x－y＝0.
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 .
【答案】 或； .
【难度】0.65
【知识点】直线综合、直线过定点问题
【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依题意可得，即，
解得或；
直线的方程可化为，所以，
所以，所以直线过定点，
所以，由直线可得：，
若不经过第三象限，则，
故答案为：或；.
序号
题型
重难点题型1
两条直线的交点问题
重难点题型2
两条直线的平行与垂直的判定与性质
重难点题型3
距离问题
重难点题型4
有关的距离的最值问题
重难点题型5
点点对称
重难点题型6
点线对称
重难点题型7
线点对称
重难点题型8
线线对称
重难点题型9
直线系方程