2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题1.3复数(四类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题1.3复数(四类重难点题型精练)(学生版+解析)，共25页。试卷主要包含了复数的虚部是 等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 复数的基本概念
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2004·浙江·高考真题）在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·广东·二模）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
5．（2025·安徽·三模）已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·湖南·二模）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·河北石家庄·一模）（多选题）已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A．若，则的充要条件是
B．若复数满足，则
C．
D．若复数满足，则的最大值为6
8．（2025·河北沧州·模拟预测）（多选题）已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A．若复数满足，则的最大值为6
B．
C．若复数，，满足，则
D．若，则的充要条件是，
9．（2024·上海奉贤·三模）复数的虚部是 ．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数是纯虚数，则的虚部为 ．
重难点题型2 复数的四则混合运算
1．（2023·全国甲卷·高考真题）（ ）
A．B．1C．D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．（2025·湖南·模拟预测）复数的模为（ ）
A．2B．1C．D．
4．（2025·安徽·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．2
5．（2025·湖北宜昌·二模）设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．5
6．（2025·陕西榆林·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·湖北武汉·二模）（多选题）若复数，则（ ）
A．
B．
C．z在复平面内对应的点位于第四象限
D．复数满足，则的最大值为
8．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．
9．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
10．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
重难点题型3 复数的几何意义及应用
1．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2025·湖南永州·三模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·广东揭阳·二模）复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2025·福建福州·模拟预测）复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
7．（2025·四川成都·模拟预测）（多选题）若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．是纯虚数B．
C．复数对应的点在第四象限D．
8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）（多选题）已知复数z满足，则（ ）
A．B．在复平面内z对应的点在曲线上
C．D．的虚部为2
重难点题型4 与复数有关的最值问题
1．（23-24高三上·上海静安·期末）已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（ ）
A．2B．
C．D．3
3．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
4．（2023·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
6．（2023·江苏南通·三模）复数的虚部为( ).
A．B．C．1011D．2022
7．（2024·山东青岛·一模）（多选题）已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z为实数B．若，则
C．若，则的最大值为2D．若，则z为纯虚数
8．（2024·山东济南·二模）（多选题）若复数z 满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．z的虚部为
C．
D．若复数ω满足，则的最大值为
9．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 .
10．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知复数满足，则的最大值是 ．
序号
题型
重难点题型1
复数的基本概念
重难点题型2
复数的四则混合运算
重难点题型3
复数的几何意义及应用
重难点题型4
与复数有关的最值问题
专题1.3复数
目录●重难点题型分布
重难点题型1 复数的基本概念
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由复数模求参数
【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项.
【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
2．（2004·浙江·高考真题）在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、解正弦不等式
【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】在中，，
由，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部
【分析】利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，
故选：B.
4．（2025·广东·二模）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
【答案】D
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、求复数的模、共轭复数的概念及计算
【分析】由复数除法运算可求得复数，结合复数的模长、虚部、共轭复数和几何意义依次判断各个选项即可.
【详解】
所以，A错误；
因为，所以虚部为，B错误；
，C错误；
在复平面内对应的点为在第四象限，故D正确.
故选：D
5．（2025·安徽·三模）已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】应用复数除法化简复数，再由共轭复数的概念写出复数，即可得.
【详解】因为，所以，虚部为．
故选：A
6．（2025·湖南·二模）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算
【分析】根据复数的周期性以及复数的除法运算计算复数，然后由共轭复数的定义求出，最后由虚部的定义得出结果.
【详解】因为复数满足，所以，
可得：，所以，故的虚部为.
故选：B
7．（2025·河北石家庄·一模）（多选题）已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A．若，则的充要条件是
B．若复数满足，则
C．
D．若复数满足，则的最大值为6
【答案】ACD
【知识点】虚数单位i及其性质、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的相等、复数代数形式的乘法运算
【分析】对于A，利用复数的相等易得；对于B，通过举反例排除即可；对于C，利用的乘方的周期性计算即得；对于D，利用复数的几何意义结合动点轨迹知识易得.
【详解】对于A，因，则等价于，
等价于，即，故A正确；
对于B，由可得，
当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误；
对于C，因对于， ，
则，
于是，故C正确；
对于D，由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，
而可看成点到该圆上点的距离，
易得的最大值即，故D正确.
故选：ACD.
8．（2025·河北沧州·模拟预测）（多选题）已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A．若复数满足，则的最大值为6
B．
C．若复数，，满足，则
D．若，则的充要条件是，
【答案】ABD
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、根据相等条件求参数、虚数单位i及其性质、复数的坐标表示
【分析】对于A，令，根据条件，利用复数的几何意义及圆的性质，即可求解；对于B，利用的性质，即可求解；对于C，取，即可求解；对于D，利用复数相等的定义，即可求解.
【详解】对于选项A，令，因为，则，
所以复数对应点在以原点为圆心，为半径的圆上，
又，其几可意义表示点到距离，
又到原点的距离为，所以的最大值为，故选项A正确，
对于选项B，因为，所以选项B正确，
对于选项C，取，显然有，但不一定相等，所以选项C错误，
对于选项D，因为，所以选项D正确，
故选：ABD.
9．（2024·上海奉贤·三模）复数的虚部是 ．
【答案】
【知识点】求复数的实部与虚部
【分析】根据复数虚部的定义即可得解
【详解】复数的虚部是.
故答案为：.
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数是纯虚数，则的虚部为 ．
【答案】1
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、已知复数的类型求参数
【分析】根据复数的除法运算将复数化简，由复数是纯虚数求得的值，进而求得复数得虚部.
【详解】，因为复数是纯虚数，
所以，即，经检验，符合题意，所以.
所以复数得虚部是1.
故答案为：1.
重难点题型2 复数的四则混合运算
1．（2023·全国甲卷·高考真题）（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】虚数单位i及其性质、复数的除法运算
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
3．（2025·湖南·模拟预测）复数的模为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】方法一：利用复数除法求复数，再根据复数的几何意义求复数的模；
方法二：利用复数模的运算性质求复数的模.
【详解】方法一：，
所以.
故选：D
方法二：.
故选：D
4．（2025·安徽·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】复数的除法运算、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算
【分析】先利用，化简，再利用复数的除法运算求，再求出，最后利用复数的加法运算即可.
【详解】因，，则，
则，.
故选：D.
5．（2025·湖北宜昌·二模）设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算
【分析】由复数模的概念即可求解.
【详解】由题设，则.
故选：C.
6．（2025·陕西榆林·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】复数的乘方、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】根据共轭复数的定义及复数的运算直接可得解.
【详解】由，
得，
则，
即，
故选：A.
7．（2025·湖北武汉·二模）（多选题）若复数，则（ ）
A．
B．
C．z在复平面内对应的点位于第四象限
D．复数满足，则的最大值为
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题、判断复数对应的点所在的象限
【分析】A.利用复数的除法化简判断；B.结合A得到共轭复数，再求模判断；C.利用复数的几何意义判断；D.利用复数的模的几何意义判断.
【详解】复数，，故A错误；
，，故B正确；
z的实部为4大于零，虚部为-1，小于零，则z在复平面内对应的点位于第四象限，故C正确；
因为复数满足，设在单位圆上，则表示和点z之间的距离，
其最大值为z到原点的距离加半径，最大值为，故D正确，
故选：BCD
8．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据复数的除法和乘法计算化简得出虚部判断A，根据复数对应点判断B，应用模长计算判断C，计算化简求和判断D.
【详解】对于A，，故，其虚部为，故A错误；
对于B，由A选项可知，，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选:BCD.
9．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可.
【详解】由题意可得.
故答案为：.
10．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】复数代数形式的乘法运算
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】.
故答案为：.
重难点题型3 复数的几何意义及应用
1．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的坐标表示
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算
【分析】根据复数乘法运算，结合几何意义可得.
【详解】因为，所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
4．（2025·湖南永州·三模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的几何意义确定其所在的象限即可.
【详解】因为，
所以，
则z在复平面内对应的点为.
故选：D.
5．（2025·广东揭阳·二模）复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D
6．（2025·福建福州·模拟预测）复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方
【分析】利用复数的乘方、除法运算结合几何意义判定选项即可.
【详解】因为，所以，
所以复数在复平面内所对应的点为，
所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限.
故选：B.
7．（2025·四川成都·模拟预测）（多选题）若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．是纯虚数B．
C．复数对应的点在第四象限D．
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的除法运算可判断A C；先计算，再利用计算可判断B；利用复数求模公式即可判断D.
【详解】因，则，则，是纯虚数，故A正确；
因，则，故B错误；
，对应的点为，在第一象限，故C错误；
，故D正确.
故选：AD
8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）（多选题）已知复数z满足，则（ ）
A．B．在复平面内z对应的点在曲线上
C．D．的虚部为2
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】设，根据复数的乘法运算及复数相等即可判断A；由复数的几何意义得出z对应点的坐标即可判断B；由共轭复数的性质即可判断C；由复数的运算法则计算，再由虚部的定义即可判断D．
【详解】对于A，设，
由，得，
所以，即，解得
所以，故A正确；
对于B，在复平面内z对应的点为，当时，，
所以点不在曲线上，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，
所以的虚部为2，故D正确．
故选：ACD．
重难点题型4 与复数有关的最值问题
1．（23-24高三上·上海静安·期末）已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.
【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
表示圆C上的点到的距离，
的最大值是，
故选B
【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.
2．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（ ）
A．2B．
C．D．3
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离，计算即可.
【详解】设，其中，则，
∵，
∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∴即为圆上动点到定点的距离，
∴的最大值为.
故选：B.
3．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，进而求出的最大值.
【详解】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，
所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值，
如图所示，最大值为.
故选：D.
4．（2023·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】复数加减法几何意义的运用、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.
【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，
由图可知，.
故选：C
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】设，根据模长得到方程，求出，并求出，从而得到.
【详解】设，则，
即，由于，故，解得，
则，
故选：D
6．（2023·江苏南通·三模）复数的虚部为( ).
A．B．C．1011D．2022
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、求复数的实部与虚部、复数的除法运算
【分析】利用错位相减法求和，结合复数的除法运算求出复数z，即可求得答案.
【详解】由题意得，
所以，
所以
，
所以
，
所以复数z的虚部为1012，
故选：A
7．（2024·山东青岛·一模）（多选题）已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z为实数B．若，则
C．若，则的最大值为2D．若，则z为纯虚数
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模、复数的基本概念
【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】设，则，
若，即，即，则z为实数，故A正确；
若，即，
化简可得，即，即，
当时，，，此时不一定满足，
当时，，，此时不一定满足，故B错误；
若，即，
所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，
且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；
若，即，
，即，
化简可得，则且，
此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；
故选：AC
8．（2024·山东济南·二模）（多选题）若复数z 满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．z的虚部为
C．
D．若复数ω满足，则的最大值为
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】复数的除法运算、复数的向量表示、求复数的实部与虚部、求复数的模
【分析】根据复数的除法运算求出，利用复数模的公式计算可判断A；由虚部概念可判断B；由共轭复数概念和复数乘法运算可判断C；根据复数的减法的几何意义求解可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，A正确；
对于B，由上可知，z 的虚部为，故B错误，
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，记复数对应的点为，复数对应的点为，
则由可得，即点在以B为圆心，1为半径的圆上，
所以，的最大值为，即的最大值为，D错误.
故选：AC
9．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】复数概念及基本运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】设，根据题意求得，根据复数的几何意义求得对应点的轨迹，再根据几何意义求目标式的最大值.
【详解】令复数，，，则，
所以，所以，，即.
又因为，即在复平面内，复数所对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
又点到点的距离为，
所以的最大值为.
故答案为：.
10．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知复数满足，则的最大值是 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、椭圆定义及辨析、求含sinx（型）的二次式的最值、求复数的模
【分析】根据复数模公式，复数的几何意义及椭圆的定义可得复数对应的点，然后利用三角代换结合条件即可求解．
【详解】设，由，得，
因此在复平面内，复数对应的点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，
所以可设椭圆方程为，则，
所以椭圆方程为，
而表示点与点的距离，可设，
所以与点的距离，
所以当时，，即的最大值是.
故答案为：
序号
题型
重难点题型1
复数的基本概念
重难点题型2
复数的四则混合运算
重难点题型3
复数的几何意义及应用
重难点题型4
与复数有关的最值问题