2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(八类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(八类重难点题型精练)(学生版+解析)，共71页。试卷主要包含了动直线l等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 直线与圆的位置关系的判断
1．（2024·陕西宝鸡·统考二模）直线l：与曲线C：的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
2．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆相交于，两点，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ）
A．12B．9C．D．
4．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．（2025·甘肃金昌·三模）设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（ ）.
A．B．C．D．
7．（2025·江西·模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 .
8．（2025·山东·三模）在平面直角坐标系中，已知点、，曲线上动点满足，与曲线交于、两点，则最小值为 ．
9．（2024·四川泸州·三模）动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 ．
重难点题型2 弦长与面积问题
1．（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ．
2．（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．10
3．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则（ ）
A．B．2C．D．4
4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知圆和，动圆与圆均相切，是的内心，且，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
．
5．（2025·湖南长沙·三模）已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
6．（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（ ）
A．3B．C．4D．
7．（2025·河南郑州·二模）已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．
8．（2025·云南玉溪·二模）已知点，，若直线l过且平分的面积，则l被外接圆截得的弦长为 ．
9．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8，圆心的轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于A、两点．则 ．
10．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为 ．
重难点题型3 切线问题与切线长问题
1．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
2．（2025·江苏苏州·三模）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2025·辽宁锦州·二模）设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O的两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ．
6．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 .
7．（2025·山东·模拟预测）已知三个正数构成公比为的等比数列，圆：，过圆上一点P分别作圆，的切线，切点分别为，若，则 ．
8．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 .
9．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 .
重难点题型4 圆上的点到直线距离的个数问题
1．若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．圆上到直线的距离为的点共有
A．个B．个C．个D．个
6．若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
重难点题型5 直线与圆的位置关系判断最值（范围）问题
1．（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·陕西西安·一模）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是 .
6．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ．
7．（2025·江西·三模）已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 .
8．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为 .
重难点题型6 圆与圆的位置关系
1．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5B．C．D．10
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求两圆的交点坐标、两圆的公共弦长
【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案.
【详解】，，，
由，解得，或，
则，
因为，所以四边形的面积为.
故选：A.
2．（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．外离C．内含D．相交
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断圆与圆的位置关系
【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可.
【详解】圆即，圆心为，半径为；
圆即，圆心为，半径为；
圆心距为，因为，所以两个圆外离.
故选：B
3．（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可.
【详解】由题可得，
解得：．
故选：B
4．（2025·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆 与圆 相交于 两点，则四边形 的周长为（ ）
A．4B．7C．8D．10
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据题意，可得，，得解.
【详解】圆的圆心为，半径为3，
如图，，，
所以四边形 的周长为.
故选：C.
5．（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、判断圆与圆的位置关系、两圆的公共弦长
【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长.
【详解】圆： ①，所以，.
圆： ②，所以，.
因为，所以圆与圆相交.
因此公共弦所在直线的方程为①②：，
圆的圆心到公共弦的距离为，
即公共弦长为.
故选：A
6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】相交圆的公共弦方程
【分析】先求得直线的方程，代入点坐标来求得.
【详解】圆，即，圆心为，半径；
圆，即，
圆心为，半径.
两个圆的方程相减并化简得，将代入得，
此时圆，，
，满足两圆相交，符合题意.
故选：B
7．（2024·福建龙岩·三模）已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交轴于点，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、相交圆的公共弦方程
【分析】先根据两圆相交求得，求出点P的横坐标，构造函数，利用导数求出值域即可得解.
【详解】根据题意，曲线即，是以为圆心，半径为3的圆，
曲线即，是以为圆心，半径为3的圆，
由两圆相交得，解得，又，所以，
两圆相减得直线AB方程，令得，
令，则，所以在单调递增，
所以.
所以点的横坐标的取值范围为.
故选：D
重难点题型7 两圆的公共弦长问题
1．（2025·广西北海·模拟预测）（多选题）已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（ ）
A．若直线与圆相切，则
B．若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据直线与圆相切可求得A正确，再根据点的个数计算可求得B正确，利用圆与圆的公切线条数，可解得，即C错误，由可求得两圆关系可知D正确.
【详解】易知圆的圆心的坐标为，半径为1，圆心到直线的距离，
对于A，因为直线与圆相切，所以，解得，A正确；
对于B，当时，圆心到直线的距离，
故圆上到直线的距离为的点恰有3个，B正确；
对于C，圆与圆恰有三条公切线，
则两圆外切，即，解得，C错误；
对于D，如图，

点在位置时，，此时，点在位置时，此时，
所以中间必然有位置使得，故D正确．
故选：ABD
2．（2025·甘肃白银·三模）（多选题）已知圆与圆相切，则的取值可以为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据两圆相外切和相内切两种情况，列式求解.
【详解】若这两个圆外切，则，
两边平方后，解得或3；
若这两个圆内切，则，
解得.
故选：BC
3．（2025·天津北辰·三模）已知圆与圆相交的两个公共点所在直线为，若与抛物线交于两点，则 .
【答案】20
【难度】0.65
【知识点】相交圆的公共弦方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长
【分析】先通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求出.
【详解】已知圆，圆，将两式相减消去二次项可得直线的方程：，即.
联立直线与抛物线方程联立，将代入可得：
，即，
设，，由韦达定理可得，.
根据弦长公式（其中为直线的斜率），直线的方程为，其斜率，则：

故答案为：20.
4．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
【答案】9
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积；
法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积.
【详解】由已知，圆，圆，
圆心，半径，圆心，半径，
法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：
到距离为，所以，即，
又，
所以，四边形的面积.
故答案为：9.
5．（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、两圆的公共弦长
【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到直线的的距离，则公共弦长为，即可得出答案.
【详解】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为，
又知，，则到直线的的距离为：
，所以公共弦长为，
故答案为：.
重难点题型8 两圆的公切线问题
1．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线方程、圆的公切线长
【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解.
【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点，
又圆的半径为1，所以切线长为，
故选：C．
2．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数.
【详解】圆的方程等价于，
所以圆是以为圆心，为半径的圆，
圆 是以为圆心，为半径的圆，
所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线．
故选：C
3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据公切线条数可确定两圆外切，由圆与圆位置关系的判断可构造方程得到，令，代入消元，将问题转化为一元二次方程有解的问题，由此可求得的取值范围.
【详解】由圆方程知：圆心，半径；
由圆方程知：圆心，半径；
圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切，
，即，
设，则，，
即，，解得：，
的取值范围为.
故选：D.
4．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】圆的公切线方程
【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，
故选：.
5．（24-25高二上·广东·期末）已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A．5B．16C．32D．36
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得.
【详解】由可知圆心为，半径为2；
由可知且圆心为，半径为.
因两个圆有三条公切线可知两圆外切，
即，
解得：.
故选：C.
6．已知点，到直线的距离分别为和，若这样的直线恰有两条，则的取值范围是（ ）
A．（5，9）B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据给定条件，查得以A为圆心，为半径的圆与以B为圆心，为半径的圆的两圆相交，再借助两点间距离公式列式求解.
【详解】恰好存在两条直线，使得点A，B到的距离分别为和，
以A为圆心，为半径的圆，以B为圆心，为半径的圆，这两圆有两条公切线，
因此这两个圆相交，即，而，
则，解得或，
所以的取值范围是.
故选：C
7．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】首先要将圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.
【详解】将圆的方程化为标准方程,
圆，将其配方可得.
此时圆的圆心坐标为，半径.
圆，其圆心坐标为，半径.
根据两点间距离公式，两圆的圆心距.
两圆半径之和，两圆半径之差.
因为，所以两圆相交. 当两圆相交时，公切线的条数为条.
故选：B.
8．（2024·贵州遵义·三模）已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是 ．
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、相交圆的公共弦方程、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，进而可求得的坐标，再求出和点到直线的距离，求出面积的表达式，进而可得出答案.
【详解】设，
则以为直径的圆的方程为，
与圆的方程相减得，
即是过切点的直线方程，
则，所以，
又因为点到直线的距离，
所以，
又因为在点P在椭圆上，
所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
即面积的最小值是.

故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，是解决本题的关键.
9．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】圆的公切线方程
【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得.
【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6，
因为，所以两圆内切，只有一条公切线，
将圆化为一般式得：
，，
两式相减得，即，
所以圆的公切线的方程为.
故答案为：
10．（2024·山东·模拟预测）已知圆：，圆：，直线与圆分别相交于四点，若，则直线的方程可以为 .（写出一条满足条件的即可）．
【答案】，，，，，，，，，，，，，，，（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆的公切线方程
【分析】由已知直线与平行或直线过的中点，设出直线方程，根据结合圆心到直线的距离即可求解.
【详解】对于一个半径为的圆，若一条直线被该圆截得的弦与圆心构成面积为的三角形，则这意味着弦对应的圆心角满足，即或.
由于弦到圆心的距离，故或.
这就将命题转化为：直线到的距离是或，到的距离也是或.
分别以和为圆心，以为半径作圆和，以为半径作圆和.
则直线需要满足：与或相切，与或相切.
首先，由于，故不可能同时和一条竖直直线相切，从而的斜率一定存在.
①若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
②若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
③若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
④若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，.
综上，满足条件的直线一共有16种可能：，，，，，，，，，，，，，，，.
故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，.（答案不唯一）
【点睛】关键点点睛：本题总共有16种可能的答案，但只需答出其中1个即可.在时间宝贵的考场上，全部将16条直线的方程求出显然是不明智的做法.
11．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．．
【答案】①②④
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、圆的公切线条数
【分析】①在和处的切线都是，故有“自公切线”;②此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③化简为，求出，设切点分别为，，通过，解方程即可判定；④画出图形即可判断.
【详解】①，在和处的切线都是，故①有“自公切线”；
②，其中，，
此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，
故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；
③，即，则 ，
假设有“自公切线”，设切点分别为，，且，
所以切线的斜率，解得：，
则，故，
化简得：，无解，所以③没有“自公切线”.
④，
当，则，当，则，
表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.
故答案为：①②④
12．（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ．
【答案】10
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据两圆外切得到方程，求出，对不等式变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
两圆外切，则，即，
故，
又，故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为10.
故答案为：10
序号
题型
重难点题型1
直线与圆的位置关系的判断
重难点题型2
弦长与面积问题
重难点题型3
切线问题与切线长问题
重难点题型4
圆上的点到直线的距离的个数问题
重难点题型5
直线与圆的位置关系的判断的最值（范围）问题
重难点题型6
圆与圆的位置关系
重难点题型7
两圆的公共弦长问题
重难点题型8
两圆的公切线问题
专题8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录●重难点题型分布
重难点题型1 直线与圆的位置关系的判断
1．（2024·陕西宝鸡·统考二模）直线l：与曲线C：的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【答案】B
【解析】曲线C：是圆心在上，半径的圆，
则圆心与直线l的距离，
，
曲线C与直线l相切，即只有一个交点，
故选：B
2．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆相交于，两点，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】由点到直线的距离公式、圆的弦长公式列方程即可求解.
【详解】设圆心到直线的距离为，
则由点到直线的距离公式可得，
因为，圆的半径为，所以，解得.
故选：D.
3．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ）
A．12B．9C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、过圆外一点的圆的切线方程、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可.
【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或，
所以，所以，
所以.
当且仅当时取最小值.
故选：A.
4．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可.
【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径，
即，故，也即，解得，则的最小值为.
故选：C.
5．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用基底表示向量、直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、已知模求数量积
【分析】根据直线的定点可知，直线必过圆心，由向量分解运算可得结果.
【详解】圆即，圆心为，半径，
又直线恒过定点，所以直线恒过圆心，
又直线与圆交于，两点，所以,
所以，
.
故选：D.
6．（2025·甘肃金昌·三模）设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用定义求向量的数量积、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦
【分析】求出弦长后根据数量积的定义可求.
【详解】（图片优化老师注意：图中BC倾斜角30度，需调整）优化完后请删除此段提醒
由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
因为圆与轴相切于点，所以，故，
而到直线的距离为，
所以，而直线斜率为，
故直线的倾斜角为，故，
则.
故选：B.
7．（2025·江西·模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】根据垂径定理可求弦心距，故可求参数的值.
【详解】由，得，
知点到直线的距离为，
所以，得.
故答案为：.
8．（2025·山东·三模）在平面直角坐标系中，已知点、，曲线上动点满足，与曲线交于、两点，则最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦
【分析】设点，利用平面内两点间的距离公式化简可得出曲线的方程，可知曲线是以点为圆心，半径为的圆，求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，圆心到直线的距离取最大值，结合勾股定理可求出的最小值.
【详解】设点，由得，
化简得，所以曲线是以点为圆心，半径为的圆，
直线的方程可化为，
由得，即直线过定点，
且，故点在圆内，易知轴，
当时，即当时，圆心到直线的距离取最大值，且，
故，即最小值为.
故答案为：.
9．（2024·四川泸州·三模）动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 ．
【答案】8
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】求出直线所过定点A，判断定点A在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，即可由勾股定理求出此时的弦长.
【详解】直线，即，
所以直线过定点，又圆，且，
所以点在圆内部，，
当垂直于直线时，到直线的距离最大，此时弦长最小，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为.
故答案为：8.
重难点题型2 弦长与面积问题
1．（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ．
【答案】/
【解析】由，得，则圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离为
所以，解得．
故答案为：
2．（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．10
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求二次函数的值域或最值、直线过定点问题、圆内接三角形的面积
【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值.
【详解】直线过定点，圆，
易知
设到距离为，
，
当时，.
故选:B．
3．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦
【分析】利用垂径定理求得，由题意可得直线的倾斜角为，根据，可求.
【详解】由，可得圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
所以，又因为的斜率为1，故直线的倾斜角为，
所以，所以.

故选：C.
4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知圆和，动圆与圆均相切，是的内心，且，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】圆内接三角形的面积、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由两圆方程得圆内含于圆，由P是的内心，且得，动圆M内切于圆，分别讨论圆内切、外切于动圆M，由圆心距得，即可求解
【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，
由，得，是圆内含于圆，设圆M的半径为r，
由P为的内心，设内切圆的半径为，由，
得，整理得，
当动圆M内切于圆，与圆外切（），则，
，则，，因此a＝17；
当动圆M内切于圆，圆内切于动圆M时，则，
，则，，得a＝19
所以a＝17或19.
故选：C．
5．（2025·湖南长沙·三模）已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】根据圆心到直线的距离可得，由于，所以与互补，从而得弦长AB最小得情况，即可得所求.
【详解】圆心到直线的距离为，
在直角三角形OAP中，，
所以，由于，
所以可得，则，
因为，所以与互补，
所以当时，弦长AB最小，此时，弦长.
故选：C.
6．（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、圆内接三角形的面积
【分析】注意到直线过点C，将直线与圆方程联立，设，则面积为，然后由韦达定理可得面积关于k的表达式，据此可得答案.
【详解】注意到直线过点C，将直线方程与联立，
可得，其判别式为，
设，则.
又，，
则
，
当且仅当时取等号.
故选：B
7．（2025·河南郑州·二模）已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题
【分析】由题意写出交点坐标和准线方程，由圆的方程求出圆心和半径，作图.结合切线的性质和求出直线的倾斜角，从而得到直线方程，联立方程组求出点坐标，从而知道的面积.
【详解】由题意可知，，
∵，∴，，
如图：设点为与圆的切点，
则，，
∴，则，，
∴直线，
联立方程组，即，解得（舍去）或，
∴，∴，
∴.
故选：C.
8．（2025·云南玉溪·二模）已知点，，若直线l过且平分的面积，则l被外接圆截得的弦长为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦
【分析】分析可知外接圆圆心为，半径，直线过，结合垂径定理求弦长.
【详解】分别取的中点，
则，可知外接圆圆心为，半径，
由题意可知：直线过，则直线，即，
则圆心到直线的距离，
所以所求弦长为.
故答案为：.
9．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8，圆心的轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于A、两点．则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】数量积的坐标表示、圆的弦长与中点弦、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数
【分析】结合题意利用弦长公式求出圆心的轨迹方程，再设直线方程为，联立后表示出韦达定理，然后由向量的数量积的坐标化简即可.
【详解】设，直线的斜率不为零，设方程为，
由题意可得，化简可得，
联立，消去可得，，
，
所以.
故答案为：.
10．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为 ．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、圆内接三角形的面积
【分析】由题意，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，根据几何法求弦长，表示出三角形的面积为，结合导数求出面积的最大值即可.
【详解】如图，
点到直线的距离为，则，
，
所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，
得，即的最大值为.
故答案为：2
重难点题型3 切线问题与切线长问题
1．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】切线长
【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值.
【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径.
因为PQ为圆的切线，所以，
在中，根据勾股定理可得.
已知，则.
点，根据两点间距离公式，可得.
因为，当且仅当时，，此时取得最小值，.
因为，当取最小值时，，
则.
的最小值为.
故选：A.
2．（2025·江苏苏州·三模）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、切线长
【分析】当时最小，最小，求出最小值即得的值.
【详解】
如图，
当的最大值为时，，
当时，最小时，最大.
由题得，
所以，则；
故选：A.
3．（2025·辽宁锦州·二模）设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O的两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程
【分析】根据题意，求出方程，根据，求出的运动轨迹为为圆心，为半径的圆，进而得到圆外点到圆上点距离的最大值，最小值得到答案.
【详解】

因为直线与x轴交于点A，所以，
因为为上一点，所以，
设，，
则，得直线的方程为，故
同理得的方程为，，
故直线的方程为，
因为为中点，所以，
所以方程为，即，
联立，
消得，
所以为为圆心，为半径的圆，
其中点到圆心的距离为，
所以，，
所以的取值范围是，
故选：A.
4．（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数
【分析】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解.
【详解】因为圆的半径为，
且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，
所以圆心到直线l的距离，解得或，
故实数的取值范围是.
故选：D
5．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】切线长、抛物线的焦半径公式
【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值.
【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为．
设点，根据抛物线的定义，可得，
解得．把代入，得，
因为，所以，即．
圆，圆心为，半径，
故．
故答案为：．
6．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、切线长、圆的弦长与中点弦
【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题.
【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得，
结合已知点，可得：
所以，
故答案为：.
7．（2025·山东·模拟预测）已知三个正数构成公比为的等比数列，圆：，过圆上一点P分别作圆，的切线，切点分别为，若，则 ．
【答案】3
【难度】0.65
【知识点】等比中项的应用、由标准方程确定圆心和半径、切线长
【分析】根据相切和勾股定理可得，即可利用三角换元求解.
【详解】不妨设，，，三个圆心分别为，，，
根据勾股定理得，，
所以，因为点P在圆上，
故可设点，其中，
则，整理得，即，解得．
故答案为：3
8．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 .
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】结合图象得到，问题转化成求最小值即可求解.
【详解】圆的圆心，半径，
，
当最小时，最大.
的最小值为圆心到直线的距离，
根据点到直线距离公式，
所以.
故答案为：.

9．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线的倾斜角、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】依题意，直线l与以为圆心，2为半径作圆C至少有一个交点，根据直线与圆的位置关系求出直线倾斜角的范围即可.
【详解】以为圆心，2为半径作圆C，如图所示，
依题意直线l与圆C至少有一个交点，
①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角；
②当直线l的斜率存在时，设为，则，即
依题意，解得或，
此时直线l的倾斜角
综上所述，直线l的倾斜角，
故直线l的倾斜角的最大值为．
故答案为：
重难点题型4 圆上的点到直线距离的个数问题
1．若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为，
设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，
则，解得或，
所以，直线、均与圆相交，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
2．（2023·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆C：的圆心，半径R
点C到直线的距离为
圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由圆的方程可知圆心为，半径为2，因为圆上的点到直线的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线的距离，即，解得，故选A.
4．（2023·全国·高三专题练习）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为圆心到直线的距离，
故要满足题意，只需，解得.
故选：A.
5．圆上到直线的距离为的点共有
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.圆可变为，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
圆上到直线的距离为的点共有个.
故选：C.
6．若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围．作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，
且到直线的距离等于1的两条直线，
圆的圆心为原点，
原点到直线的距离为，
两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，
又圆上有4个点到直线的距离为1，
两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交．
由此可得圆的半径，
即，实数的取值范围是．
故选：．
重难点题型5 直线与圆的位置关系判断最值（范围）问题
1．（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】先确定圆心的轨迹方程，再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离最大值.
【详解】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为，
可得圆心到点的距离为，
即，化简可得，
所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆.
可得原点到直线的距离为：，
所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即.
故选：B.
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】先将直线方程变形求出直线所过的定点，再结合点与圆的位置关系，分析点到直线距离的最值情况，进而确定距离的取值范围.
【详解】直线：，可化为，
由，解得，，所以过定点，
又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径，
所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为，
此时，所以直线的斜率为1，即，无解，
故直线不存在，所以；
当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0，
故点到直线的距离的取值范围为．
故选：B．
3．（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】求出圆的圆心为，半径为，利用勾股定理求出的值，利用圆的几何性质可求得的最小值.
【详解】圆的标准方程为，
所以，圆心为，半径为，
由中垂线的性质可得，则，
所以，点在以点为圆心，半径为的圆上，
点到直线的距离为，
所以，.
故选：C.
4．已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解.
【详解】直线l：，
令，解得，所以直线l恒过定点，
圆C：的圆心为，半径为，
且，即P在圆内，
当时，圆心C到直线l的距离最大为，
此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为．
故选：A．
5．（2023·陕西西安·一模）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线与圆中的定点定值问题、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】先把圆的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值.
【详解】圆化成标准形式为圆，
圆心，半径，
直线过定点，并在圆内，
最短时，点为弦的中点，即时，
所以.
故答案为：.
6．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ．
【答案】或
【难度】0.85
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由两圆位置关系构造方程求解即可.
【详解】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切，
由题可得，解得或．
故答案为：或
7．（2025·江西·三模）已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 .
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】首先根据两个圆的方程判断两个圆的位置关系，从而确定点之间距离的最小值.
【详解】因为圆，圆，
所以圆心，圆的半径为1；圆心，圆的半径为1.
两圆心之间的距离为，所以两圆相离.
所以的最小值为.
故答案为：2.
8．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求平面两点间的距离、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】，则，可看成点到两定点，的距离和，而两点在轴的两侧，所以连线与轴的交点就是所求点.
【详解】的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
设，则，
所以，
取，
则，
当三点共线时取等号，
此时直线：
令，则，，
故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为点到两定点，的距离和的最小值，结合
重难点题型6 圆与圆的位置关系
1．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5B．C．D．10
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求两圆的交点坐标、两圆的公共弦长
【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案.
【详解】，，，
由，解得，或，
则，
因为，所以四边形的面积为.
故选：A.
2．（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．外离C．内含D．相交
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断圆与圆的位置关系
【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可.
【详解】圆即，圆心为，半径为；
圆即，圆心为，半径为；
圆心距为，因为，所以两个圆外离.
故选：B
3．（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可.
【详解】由题可得，
解得：．
故选：B
4．（2025·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆 与圆 相交于 两点，则四边形 的周长为（ ）
A．4B．7C．8D．10
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据题意，可得，，得解.
【详解】圆的圆心为，半径为3，
如图，，，
所以四边形 的周长为.
故选：C.
5．（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、判断圆与圆的位置关系、两圆的公共弦长
【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长.
【详解】圆： ①，所以，.
圆： ②，所以，.
因为，所以圆与圆相交.
因此公共弦所在直线的方程为①②：，
圆的圆心到公共弦的距离为，
即公共弦长为.
故选：A
6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】相交圆的公共弦方程
【分析】先求得直线的方程，代入点坐标来求得.
【详解】圆，即，圆心为，半径；
圆，即，
圆心为，半径.
两个圆的方程相减并化简得，将代入得，
此时圆，，
，满足两圆相交，符合题意.
故选：B
7．（2024·福建龙岩·三模）已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交轴于点，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、相交圆的公共弦方程
【分析】先根据两圆相交求得，求出点P的横坐标，构造函数，利用导数求出值域即可得解.
【详解】根据题意，曲线即，是以为圆心，半径为3的圆，
曲线即，是以为圆心，半径为3的圆，
由两圆相交得，解得，又，所以，
两圆相减得直线AB方程，令得，
令，则，所以在单调递增，
所以.
所以点的横坐标的取值范围为.
故选：D
重难点题型7 两圆的公共弦长问题
1．（2025·广西北海·模拟预测）（多选题）已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（ ）
A．若直线与圆相切，则
B．若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据直线与圆相切可求得A正确，再根据点的个数计算可求得B正确，利用圆与圆的公切线条数，可解得，即C错误，由可求得两圆关系可知D正确.
【详解】易知圆的圆心的坐标为，半径为1，圆心到直线的距离，
对于A，因为直线与圆相切，所以，解得，A正确；
对于B，当时，圆心到直线的距离，
故圆上到直线的距离为的点恰有3个，B正确；
对于C，圆与圆恰有三条公切线，
则两圆外切，即，解得，C错误；
对于D，如图，

点在位置时，，此时，点在位置时，此时，
所以中间必然有位置使得，故D正确．
故选：ABD
2．（2025·甘肃白银·三模）（多选题）已知圆与圆相切，则的取值可以为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据两圆相外切和相内切两种情况，列式求解.
【详解】若这两个圆外切，则，
两边平方后，解得或3；
若这两个圆内切，则，
解得.
故选：BC
3．（2025·天津北辰·三模）已知圆与圆相交的两个公共点所在直线为，若与抛物线交于两点，则 .
【答案】20
【难度】0.65
【知识点】相交圆的公共弦方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长
【分析】先通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求出.
【详解】已知圆，圆，将两式相减消去二次项可得直线的方程：，即.
联立直线与抛物线方程联立，将代入可得：
，即，
设，，由韦达定理可得，.
根据弦长公式（其中为直线的斜率），直线的方程为，其斜率，则：

故答案为：20.
4．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
【答案】9
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积；
法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积.
【详解】由已知，圆，圆，
圆心，半径，圆心，半径，
法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：
到距离为，所以，即，
又，
所以，四边形的面积.
故答案为：9.
5．（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、两圆的公共弦长
【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到直线的的距离，则公共弦长为，即可得出答案.
【详解】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为，
又知，，则到直线的的距离为：
，所以公共弦长为，
故答案为：.
重难点题型8 两圆的公切线问题
1．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线方程、圆的公切线长
【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解.
【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点，
又圆的半径为1，所以切线长为，
故选：C．
2．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数.
【详解】圆的方程等价于，
所以圆是以为圆心，为半径的圆，
圆 是以为圆心，为半径的圆，
所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线．
故选：C
3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据公切线条数可确定两圆外切，由圆与圆位置关系的判断可构造方程得到，令，代入消元，将问题转化为一元二次方程有解的问题，由此可求得的取值范围.
【详解】由圆方程知：圆心，半径；
由圆方程知：圆心，半径；
圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切，
，即，
设，则，，
即，，解得：，
的取值范围为.
故选：D.
4．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】圆的公切线方程
【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，
故选：.
5．（24-25高二上·广东·期末）已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A．5B．16C．32D．36
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得.
【详解】由可知圆心为，半径为2；
由可知且圆心为，半径为.
因两个圆有三条公切线可知两圆外切，
即，
解得：.
故选：C.
6．已知点，到直线的距离分别为和，若这样的直线恰有两条，则的取值范围是（ ）
A．（5，9）B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据给定条件，查得以A为圆心，为半径的圆与以B为圆心，为半径的圆的两圆相交，再借助两点间距离公式列式求解.
【详解】恰好存在两条直线，使得点A，B到的距离分别为和，
以A为圆心，为半径的圆，以B为圆心，为半径的圆，这两圆有两条公切线，
因此这两个圆相交，即，而，
则，解得或，
所以的取值范围是.
故选：C
7．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】首先要将圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.
【详解】将圆的方程化为标准方程,
圆，将其配方可得.
此时圆的圆心坐标为，半径.
圆，其圆心坐标为，半径.
根据两点间距离公式，两圆的圆心距.
两圆半径之和，两圆半径之差.
因为，所以两圆相交. 当两圆相交时，公切线的条数为条.
故选：B.
8．（2024·贵州遵义·三模）已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是 ．
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、相交圆的公共弦方程、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，进而可求得的坐标，再求出和点到直线的距离，求出面积的表达式，进而可得出答案.
【详解】设，
则以为直径的圆的方程为，
与圆的方程相减得，
即是过切点的直线方程，
则，所以，
又因为点到直线的距离，
所以，
又因为在点P在椭圆上，
所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
即面积的最小值是.

故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，是解决本题的关键.
9．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】圆的公切线方程
【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得.
【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6，
因为，所以两圆内切，只有一条公切线，
将圆化为一般式得：
，，
两式相减得，即，
所以圆的公切线的方程为.
故答案为：
10．（2024·山东·模拟预测）已知圆：，圆：，直线与圆分别相交于四点，若，则直线的方程可以为 .（写出一条满足条件的即可）．
【答案】，，，，，，，，，，，，，，，（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆的公切线方程
【分析】由已知直线与平行或直线过的中点，设出直线方程，根据结合圆心到直线的距离即可求解.
【详解】对于一个半径为的圆，若一条直线被该圆截得的弦与圆心构成面积为的三角形，则这意味着弦对应的圆心角满足，即或.
由于弦到圆心的距离，故或.
这就将命题转化为：直线到的距离是或，到的距离也是或.
分别以和为圆心，以为半径作圆和，以为半径作圆和.
则直线需要满足：与或相切，与或相切.
首先，由于，故不可能同时和一条竖直直线相切，从而的斜率一定存在.
①若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
②若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
③若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
④若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，.
综上，满足条件的直线一共有16种可能：，，，，，，，，，，，，，，，.
故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，.（答案不唯一）
【点睛】关键点点睛：本题总共有16种可能的答案，但只需答出其中1个即可.在时间宝贵的考场上，全部将16条直线的方程求出显然是不明智的做法.
11．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．．
【答案】①②④
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、圆的公切线条数
【分析】①在和处的切线都是，故有“自公切线”;②此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③化简为，求出，设切点分别为，，通过，解方程即可判定；④画出图形即可判断.
【详解】①，在和处的切线都是，故①有“自公切线”；
②，其中，，
此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，
故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；
③，即，则 ，
假设有“自公切线”，设切点分别为，，且，
所以切线的斜率，解得：，
则，故，
化简得：，无解，所以③没有“自公切线”.
④，
当，则，当，则，
表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.
故答案为：①②④
12．（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ．
【答案】10
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据两圆外切得到方程，求出，对不等式变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
两圆外切，则，即，
故，
又，故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为10.
故答案为：10
序号
题型
重难点题型1
直线与圆的位置关系的判断
重难点题型2
弦长与面积问题
重难点题型3
切线问题与切线长问题
重难点题型4
圆上的点到直线的距离的个数问题
重难点题型5
直线与圆的位置关系的判断的最值（范围）问题
重难点题型6
圆与圆的位置关系
重难点题型7
两圆的公共弦长问题
重难点题型8
两圆的公切线问题