沪科版（2024）第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.2 命题与证明课堂教学ppt课件

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第13章三角形中的边角关系、命题与证明八年级数学沪科版·上册13.2 第3课时 三角形内角和定理及其推论新课引入我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧！新知探究思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？新知探究三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.你能用数学的方法说明这个结论吗？还有其他的拼接方法吗？活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.三角形的内角和的证明新知探究三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.ED新知探究新知探究EDF证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴ ∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同学们还有其他的方法吗？新知探究思考：多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.新知探究在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结 为了证明三角形三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线新知探究 问题1：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？三角形内角和定理的推论1、2直角三角形的两锐角互余.三角形内角和推论1：由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论新知探究直角三角形的两个锐角互余．　　应用格式：在Rt△ABC 中，∵　∠C =90°，∴　∠A +∠B =90°．　直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．总结归纳新知探究方法一（利用平行的判定和性质）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性质）：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A 与∠D有什么关系？图新知探究解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与 ∠C有什么关系？请说明理由.图与图有哪些共同点与不同点？新知探究例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：∠CAE= ∠DBE.理由如下： 在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中, ∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED，∴ ∠CAE= ∠DBE.新知探究解：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠BEA=∠BDF=90°， ∴∠ABE+∠A=90°， ∠ABE+∠DFB=90°， ∴∠A=∠DFB. ∵∠DFB+∠BFC=180°， ∴∠A+∠BFC=180°.【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？新知探究思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？基本图形∠A=∠C∠A=∠D总结归纳新知探究问题2：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.三角形内角和推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.新知探究ABC应用格式：在△ABC 中，∵　∠A +∠B =90°，∴　△ABC 是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形.　　总结归纳新知探究典例精析例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三 角形吗？为什么？解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °.即△ADE是直角三角形.新知探究例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，求证：△ABD是直角三角形.证明：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.新知探究问题3 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗？新知探究D证明：过C作CE平行于AB，ABC∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等）∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.验证结论新知探究图图解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.拓展探究新知探究推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.∠B+∠C=∠CAD∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C归纳总结三角形内角和定理的推论新知探究练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：∠1=40 °, ∠2=140 °∠1=18 °, ∠2=130 °新知探究例5 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．E新知探究解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.新知探究【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.新知探究解法一：连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.E ))12)3)4你发现了什么结论？新知探究E )1解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.)2F 课堂小结三角形内角和定理的证明及推论三角形内角和定理的证明推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 （ 　　）A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C D课堂小测3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于 （ ）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A课堂小测4.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.90°5.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C， 若∠BOD=38°，则∠A=________.52°第4题图第5题图6.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.直角三角形课堂小测12FG解：∵∠1是△FBE的外角,∴∠1=∠B+ ∠E,同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180º,∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º.7.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.课堂小测