湖南省娄底市涟源市部分高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷

这是一份湖南省娄底市涟源市部分高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了 x ≥1， 3， 5等内容，欢迎下载使用。

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
C
C
C
B
C
D
A
11． x ≥1
12． m n  2n  2
13． 3
5
3
8
2.5
1
19． 5
3
22.5πcm
6
【详解】解：原式 2  1  9  14 分
=  5
20．
.6 分
a， 3  2 3
a  23
1a2  4

【详解】解： 1 a 1   a2  a
 a 11  a a 13 分
a 1a  2a  2
a
＝
a  2
，4 分
3
3  2
3  2  2
当a  2 时，原式
21．(1)1
(2)见解析
(3)1.18 小时．

3  2
3
3  2 3
3
．6 分
【详解】（1）解：由题意可得： 0.5 小时的人数为：100 人，所占比例为： 20% ，
100  20%  500 ，
∴本次调查共抽样了 500 名学生；
∴第 250 名学生的运动时间为 1 小时，第 251 名学生的运动时间为 1 小时，
∴中位数= 1+1 =1小时，
2
故答案为：1；2 分(填空可不用写过程）
（2）1.5 小时的人数为： 500 100  200  80  120 （人）3 分
补全条形统计图，如图所示：
.5 分
（3）根据题意得： 100  0.5  200 1120 1.5  80  2  1.18 ，7 分
100  200 120  80
即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1.18 小时．8 分
22．(1)证明见解析
(2)四边形 DBEC 是菱形
【详解】（1）解：∵点 F 是 BC 的中点，
∴ BF  CF ，1 分
∵ AB ∥CD ，
∴∠CDF  ∠BEF，∠DCF  ∠EBF ，
∴△DCF≌△EBF  AAS ，2 分
∴ CD  BE ，3 分
又∵ CD ∥ BE ，
∴四边形 DBEC 是平行四边形；4 分
（2）解：∵ ABC  120 ，
∴ CBE  180  ABC  60 ，5 分
∵ AB  BC  BE  4
∴VBCE 是等边三角形，
∴ BE  CE ，6 分
又∵四边形 DBEC 是平行四边形
∴四边形 DBEC 是菱形，
∴当 BE  4 时，四边形 DBEC 是菱形，8 分
23．(1)100.4cm
(2) 4.9cm
【详解】（1）解：如图，过点 E 作 EM
 CD ，垂足为 M ，
根据题意可知CF  32cm ， BC  61cm ， BE  15cm ，
在RtVECM 中，EM  EC sin BCM  6115sin 64  76  0.9  68.4cm ，2
分
所以坐垫到地面的距离为 EM  CF  68.4  32  100.4cm ，
答：坐垫到地面的距离约为100.4cm ．4 分
（2）如图，由题意得，当 EM   80  0.8  64cm 时，人骑行最舒服，
在RtVECM  中， EC 
EM 
sin ECM 
64 sin 64
 71.1cm ，6 分
所以 EE  CE  CE  6115  71.1  4.9cm ，
答： EE 的长约为4.9cm ．9 分
24．(1)购进 1 件甲种农机具1.5 万元，1 件乙种农机具0.5 万元． (2)有三种方案：
方案一：购买甲种农机具 5 件，乙种农机具 5 件．方案二：购买甲种农机具 6 件，乙种农机具 4 件．方案三：购买甲种农机具 7 件，乙种农机具 3 件．
(3)购买甲种农机具 5 件，乙种农机具 5 件需要的资金最少，最少资金是5.5 万元．
【详解】（1）解：设购进 1 件甲种农机具 x 万元， 1 件乙种农机具 y 万元．
2x  y  3.5

根据题意得： x  3y  3，
x  1.5

解得：  y  0.5
答：购进 1 件甲种农机具 1.5 万元，1 件乙种农机具 0.5 万元；3 分
设购进甲种农机具 m 件，购进乙种农机具10  m 件，

1.5m  0.510  m  9.8
根据题意得：
1.5m  0.510  m  12 ，
解得： 4.8  m  7 ．5 分
Q m 为整数．
m 可取 5、6、7．
有三种方案：
方案一：购买甲种农机具 5 件，乙种农机具 5 件．方案二：购买甲种农机具 6 件，乙种农机具 4 件．
方案三：购买甲种农机具 7 件，乙种农机具 3 件；6 分
设需要的资金为 w 万元．
w  1.5  0.7 m  0.5  0.210  m  0.5m  3
Q 0.5  0
 w 随 m 的增大而增大，
 m  5 时， w 最小， w  0.5 5  3  5.5 ．
，7 分
购买甲种农机具 5 件，乙种农机具 5 件需要的资金最少，最少资金是 5.5 万元．9 分
25．(1) y  x2  2x  3
VPEF 面积的最大值为 81 ，此时点 P 的坐标为 3 , 15 
24
32
 

存在，Q 的坐标为(2, 3) 或  2 , 11 
39 


【详解】（1）解：把 A(1, 0), B(3, 0) 代入 y  ax2  bx  3 得， a  b  3  0，
9a  3b  3  0

a  1
解得
b  2
，1 分
∴抛物线的解析式为 y  x2  2x  3 ；2 分
（2）解：由 y  x2  2x  3 可得， C(0, 3) ，设直线 BC 的解析式为 y  kx  n ，

把 B(3, 0), C(0, 3) 代入得， 0  3k  n ，
3  n
k  1

解得n  3 ，
∴直线 BC 的解析式为 y  x  3 ，3 分
Q B(3, 0), C (0, 3) ，
OC  OB  3 ，
OBC  OCB  45 ，
∵ PE∥y 轴， PF ∥ x 轴，
PEF  PFE  45, PE  PF ，
∴ PEF 为等腰直角三角形，
 SV PEF
 1 PE2 ，4 分
2
设 P  p,  p2  2 p  3 ，则 E( p,  p  3) ，

 PE   p2  2 p  3  ( p  3)   p 

3 2

2

 9 ，5 分
4
当 p  3 时，即 P  3 , 15 , PE 取最大值 9 ，此时PEF 的面积最大，
24
 
24
1 9 281

则 SV PEF 最大值  2  4 
；6 分
32
（3）解：存在．
当点Q 在 BC 上方时，作点 A(1, 0) 关于 y 轴的对称点 A(1, 0) ，过点 B 作 BT ∥ AC 交抛物线于点Q ，
∵ A 与 A 关于 y 轴对称，
ACO  ACO ，又 ∵ BT ∥ AC ，
QBC  BCA ，
QACO  BCA  45 ，
ACO  OBC  45 ，
QC(0, 3), A(1, 0) ，
同理可得直线CA 解析式为 y  3 x  3 ，7 分
设直线 BT 解析式为 y  3x  t ，将 B(3, 0) 代入得， 0  9  t ，
t  9 ，
 y  3x  9 ，
 y  x2  2x  3

由 y  3x  9，
x  2x  3
解得 y  3 或 y  0 ，

Q(2, 3) ；8 分
当点Q 在 BC 下方时，作点 D(0,1) ，直线 BD 与抛物线交于点Q ，
Q D(0,1), B(3, 0) ，
同理可得直线 BD 解析式为 y   1 x 1，9 分
3
 AO  OD  1

QCOA  BOD  90 ，

OC  OB  3
VCOA≌VBOD(SAS) ，
ACO  DBO ，
CBQ  ACO  45 ，
 y  x2  2x  3

联立 y   1 x 1，
3
x   2
3
解得

 y  11
9
x  3

或 y  0 ，
Q  2 , 11  ，
39 

综上，点Q 的坐标为(2, 3) 或  2 , 11  ．10 分
39 

15
26．（1）见解析（2） CD  3BC ，见解析（3） PA  9 15 ， PE 
5
【详解】（1）证明：如图，连接OA ，
OA  OD ，
∴OAD  ODA ，
QBAC  ADB ，
BAC  OAD ，1 分
Q CD 是eO 的直径，
CAD  90 ，
CAO  OAD  CAO  BAC  BAO  90 ，
OA  AB ，2 分
QOA 是eO 的半径，
直线 AB 是eO 的切线；3 分
QABC  DBA ， BAC  ADB ，
△ABC∽△DBA ，
 AB  BC  AC ，4 分
BDABAD
QtanADB 
AC  1 ，
AD2
 AB  BC  1 ，
BDAB2
 AB  2BC ， BD  2 AB ，
 BD  4BC ，
CD  BD  BC  3BC ；6 分
由（2）可知， AB  2BC ， CD  3BC ，
6
Q AB  2，
6
 BC ， CD3 6 ，
Q AP 平分CAD ，
CAP  DAP ，
QCAP  CDP ， DAP  DCP ，
CDP  DCP ，
 PC  PD ，
QCD 是eO 的直径，
CPD  90°，
CD2  PC 2  PD2  2PC 2  54 ，
 PC 2  27 ，7 分
QAPC  ADC ， CAP  DAP ，
ACP  AED ，
QAED  CEP ，
ACP  CEP ，
QAPC  CPE ，
V ACP∽VCEP ，
 PA  AC  PC ，
PCCEPE
 PE  PA  PC 2  27 ，
3
∴ PC  3
（舍负）8 分
过 C 作CH  AP 于 H， DG  AP 于 G，
∵ AC  1 ， CD3 6
AD2
∴由 AC 2  AD2  CD2 ，
∴ AC  3 30 ， AD  6 30 ，
55
∵ CAD  90， AP 平分CAD ，
∴ CAP  DAP  45 ，
则V ACH 和VDAG 是等腰直角三角形，
CH  AH 2 AC  3 15 , AG  DG 2 AD  6 15 ，9 分
2525
Q四边形 ACPD 的面积 SV ACD  SV PCD  SV ACP  SV ADP ，
 AP  CH  DG   AC  AD  PC  PD ，
3 30
 6 30  3 3  3 3
 AP  55  9 15 ，
3 15  6 155
55
QPE  PA  PC2  27 ，
15
 PE 10 分