湖南省娄底市涟源市部分高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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（时量：120 分钟 满分：120 分）
一、单选题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 实数 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用相反数的定义求解.
【详解】实数 的相反数是 .
故选：A
2. 氧气是人类赖以生存的物质，一个氧原子的直径是 ， 这个数用科
学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法表示即可.
【详解】因为 .
故选：B.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合幂的运算法则，通过举反例判断 A，B，D，结合同底数幂的乘法法则判断 C．
【详解】对于 A，当 时， ， ， ，A 错误，
对于 B，当 时， ， ， ，B 错误，
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对于 D，当 时， ， ， ，D 错误，
对于 C， ，C 正确，
故选：C.
4. 长沙窑创始于唐代，窑址首选发现于今湖南省长沙市郊铜官镇瓦渣坪，故而又称铜官窑，晚唐至五代是
其盛期，而衰于五代，产品以青釉为主，器物为家用寻常品，壶和罐 造型多样，其突出成就是创烧了釉
下彩绘装饰新工艺．图为一长沙瓷作品，有关其三视图下列说法正确的是（ ）
A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同
C. 主视图和左视图相同 D. 三视图各不相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用几何体的特征判断即得.
【详解】观察几何体，知该几何体绕竖直的轴线任意旋转，图形不变，因此该几何体主视图和左视图相同，
而俯视图是几个同心圆构成，与主视图、左视图都不相同，ABD 错误，C 正确.
故选：C
5. 的平方根是（ ）
A. 8 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平方根的定义求解即可.
【详解】 的平方根是 .
故选：C.
6. 下列说法中，假命题的个数为（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等
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②如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行
③过一点有且只有一条直线与这条直线平行
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线、垂线的性质，平行线公理判断命题真假即可.
【详解】①两条直线被第三条直线所截，只有这两条直线相互平行时，同位角才相等，故①是假命题；
②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是假命题；
③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是真命题；
综上①②③是假命题，
故选：C
7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆，已知
圆心 O 在水面上方，且圆 O 被水面截得的弦 AB 长为 6 米，半径长为 4 米．若点 C 为运行轨道的最低点，
则点 C 到 AB 的距离等于（ ）
A. 1 米 B. 米 C. 2 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和圆的性质知点 为 的中点，连接 交 于 ，在 应用勾股定理求得
，即得答案.
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【详解】
根据题意和圆的性质知点 为 的中点，
连接 交 于 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即点 到弦 所在直线的距离是 米，
故选：
8. 某数学社团开展“讲数学家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里
得这 4 位著名数学家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界数学发展起到的巨大推进作用．现从这 4
位数学家中随机选取其中 2 位的故事进行分享，则选取的 2 位都是中国数学家的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率.
【详解】由题意知，祖冲之、刘徽、赵爽是中国数学家，欧几里得不是中国数学家，
从 4 位数学家中随机选取 2 位是中国数学家的情况有：(祖冲之,刘徽)、(祖冲之,赵爽)、(赵爽,刘徽)，共 3 种，
从 4 位数学家中随机选取 2 位数学家的总情况有：(祖冲之,刘徽)、(祖冲之,赵爽)、
(赵爽,刘徽)、(祖冲之,欧几里得)、(刘徽,欧几里得)、(赵爽,欧几里得)，共 6 种，
所以从 4 位数学家中随机选取其中 2 位是中国数学家的概率是 .
故选：C
9. 如图，等边 中， ，D 是 BC 上一个动点（不与点 B，C 重合）， 交 AC 于点 E．设
， 的面积是 y，则 y 与 x 的函数图象大致为（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数关系，进而确定函数的图象.
【详解】在等边 中， ，则 是等边三角形， ，
作 交 于点 ，则 边 上的高 ，
因此 的面积是 ，
所以 y 与 x 的函数图象是开口向下，对称轴为 的抛物线的一部分，D 正确.
故选：D
10. 定义一种新运算：m※n＝ ，下列说法：
①若 ※ ，则 ；
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②若 ※ ，则 ※ 的解集为 ；
③代数式|2※ |＋|3※ | |9※ |取得最小值时， ；
④函数 | ※x|的图象与直线 ※ （k 为常数）有且仅有两个交点，
则 ．
其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】对①，根据新定义运算判断；对②，根据新定义运算判断；对③，根据新定义分 ，
， ， 讨论求解；对④，根据新定义分 ， ， 讨论，数形结合求
解判断.
【详解】对于①，由新定义 ※ ，即 ，解得 ，故①正确；
对于②，当 时，则 ，
所以 ※ ，解得 ，所以不等式的解集为 ，故②错
误；
对于③，|2※ |＋|3※ |++|9※ | ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以代数式|2※ |＋|3※ |++|9※ |取得最小值时， ，故③错误；
对于④， | ※ | ， ※ ，
当 时， ，令 ，则 ，
所以 与 在第二象限必有一个交点，则在第一象限只有一个交点，
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联立得 ，则 ，
，解得 ，且此时交点 ，
当 时， ，则 与 有且只有两个交点，
当 时， ，
对称轴为 ，开口向上，如图，必有两个交点，
综上，函数 | ※ |的图象与 ※ 有且仅有两个交点，则 或
，故④错误.
综上，正确的个数有 1 个.
故选：A.
二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
11. 若代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______．
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【答案】
【解析】
【分析】二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】根据被开方数非负可得 ，即 ，
所以代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 .
故答案为： .
12. 分解因式： ＝_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法及公式法分解因式.
【详解】 .
故答案为：
13. 《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由 8 个卦组成，其中每一卦又由 3 根线
构成（线形为 或 ），例如正上方的卦为 ，它由 3 根 线构成．现
从图中任取一卦，它是由 2 根 和 1 根 构成的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由古典概型的概率计算公式可得结果.
【详解】从 8 个卦中任取一卦，基本事件总数 ，
其中由 2 根 和 1 根 构成的基本事件个数 ，
所以从图中任取一卦，它是由 2 根 和 1 根 构成的概率是 .
故答案为： .
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14. 如图，点 A，B 分别是函数 和 部分图象上的点， 轴，则 的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点 横坐标的关系，进出求出三角形面积.
【详解】设 ，由 轴，得 ，解得 ，
，而 边 上的高 ，
所以 的面积 .
故答案为：
15. 在平面直角坐标系中，对于点 P（x，y），若 x，y 均为整数，则称点 P 为“整点”．特别地，当 x＝y
时，称“整点”P 为“平衡整点”．已知点 是一个“平衡整点”，则 a＝______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平衡整点的定义，列方程即可求解.
【详解】由题意可得 ,化简可得 ，解得 或 ，
当 时，点 不是整点，舍去，
故 ，
故答案为：
16. 如图，圆锥底面圆直径 长是 ，母线 长是 ，一只蚂蚁在圆锥表面从 点爬到 的中
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点 ，最短路径长是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】求出圆锥的底面圆的周长，再求圆锥的侧面展开图的圆心角的大小，结合展开图求结论.
【详解】由已知，圆锥的底面圆的半径为 ，所以底面圆的周长为 ，
设圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为 ，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 ，
解得： ，所以展开图中 ，
由勾股定理可得 ，
所以该蚂蚁在圆锥表面从 点爬到 的中点 的最短路径长是 ，
故答案为：
17. 某款“不倒翁”（图 1）的主视图是图 2， 分别与 所在圆相切于点 ．若该圆半径是
， ，则 的长是______．
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【答案】
【解析】
【分析】设圆心为 ，连接 ,先由相切得 ，再由四边形内角和求出
，则优弧 对应的圆心角为 ，进而求得优弧 的长.
【详解】如图，设圆心为 ，连接 ,
因为 分别与 所在圆相切于点 ．所以 ,
因为 ，所以 ,
优弧 对应的圆心角为 ，
所以优弧 的长是
故答案为：
18. 已知平行四边形 ABCD 中， 为边 CD 上的一动点，则 的
最小值等于______.
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【答案】
【解析】
【分析】过 作 ，交 的延长线于 ，利用三点共线时直线最短即可求解.
【详解】过 作 ，交 的延长线于 ，
，四边形 ABCD 为平行四边形， ，
又 ，所以 ，
当 三点共线时 取得最小值 ，
此时 ，
所以 得最小值为 .
故答案为： .
三、解答题（本题共 8 小题，共 66 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值运算和指数运算即可求解.
【详解】原式 .
20. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】
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【分析】根据多项式的运算法则，化简原式为 ，再将 代入计算，即可求解.
【详解】解：由 ＝ ，
当 时，原式 ．
21. 某调查小组采用随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所
得数据整理后绘制成如下不完整的统计图．
（1）填空：本次调查的中位数为______小时；
（2）通过计算补全条形统计图；（写出求解过程）
（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
【答案】（1）1 （2）作图见解析
（3） 小时．
【解析】
【分析】（1）先由扇形统计图和条形统计图得到运动 0.5 小时的人数及所占比例，求出总人数；再根据中位
数定义求解即得；
（2）由（1）中的总人数求出 1.5 小时的人数即得对应的条形的高；
（3）由总时间除以总人数即得.
小问 1 详解】
由题意可得： 小时的人数为：100 人，所占比例为： ， ，
∴本次调查共抽样了 500 名学生；
由条形统计图得：第 250 名、第 251 名学生的运动时间均为 1 小时，
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∴中位数 小时，
故答案为：1；
【小问 2 详解】
1.5 小时的人数为： （人）.
补全条形统计图，如图所示：
【小问 3 详解】
根据题意得： ，
即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约 小时．
22. 如图，在△ABC 中，点 F 是 BC 的中点，点 E 是线段 AB 的延长线上的一动点，连接 EF，过点 C 作
，与线段 EF 的延长线交于点 D，连接 CE，BD．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，在点 E 的运动过程中，当 时，请问四边形 是什么图
形？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形 是菱形，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用全等三角形性质、平行四边形的判定推理得证.
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（2）由（1）的结论，利用等边三角形性质、菱形的判定判断即可.
【小问 1 详解】
由点 F 是 的中点，得 ，由 ，得 ，
则 ，因此 ，又 ，
所以四边形 是平行四边形.
【小问 2 详解】
由 ，得 ，
由 ，得 是等边三角形，则 ，
又四边形 是平行四边形，则四边形 是菱形，
所以当 时，四边形 是菱形.
23. 市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，
②是其示意图，其中 AB、CD 都与地面 l 平行，车轮半径为 32cm， ， ，坐垫 E
与点 B 的距离 BE 为 15cm．
（1）求坐垫 E 到地面的距离；
（2）小明的腿长为 80cm，根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8 时，坐骑比较舒适，现
将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 ，求 的长（结果精确到 0.1）（参考数据： ，
， ）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出 E 到地面的距离.
（2）利用直角三角形边角关系求出 ，进而求出 的长.
【小问 1 详解】
如图，过点 作 ，垂足 ，
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依题意 ， ， ，
在 中， ，
所以坐垫到地面的距离为 .
【小问 2 详解】
如图，过 作 于 ，当 时，人骑行最舒服，
在 中， ，
所以 .
24. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔
资金购进甲、乙两种农机具，已知购进 2 件甲种农机具和 1 件乙种农机具共需 3.5 万元，购进 1 件甲种农机
具和 3 件乙种农机具共需 3 万元．
（1）求购进 1 件甲种农机具和 1 件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共 10 件，且投入资金不少于 9.8 万元而不超过 12 万元，
应该购进甲种农机具 m 件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价 0.7 万元，每件乙种农机
具降价 0.2 万元，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少？
【答案】（1）购进 1 件甲种农机具 万元，1 件乙种农机具 万元．
（2）答案见解析 （3）购买甲种农机具 5 件，乙种农机具 5 件需要的资金最少，最少资金是 万元．
【解析】
【分析】（1）根据题意，设购进 1 件甲种农机具 x 万元，1 件乙种农机具 y 万元，列方程组求解即可.
（2）根据题意，设购进甲种农机具 m 件，购进乙种农机具 件，列不等式组求解即可.
（3）根据题意，设需要的资金为 w 万元，列出资金 w 关于农机具件数 m 的函数，根据函数性质分析即可
求解.
【小问 1 详解】
设购进 1 件甲种农机具 x 万元，1 件乙种农机具 y 万元．
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根据题意得 ，解得
答：购进 1 件甲种农机具 1.5 万元，1 件乙种农机具 0.5 万元.
【小问 2 详解】
设购进甲种农机具 m 件，购进乙种农机具 件，
根据题意得 ，解得 ．
因为 m 为整数，所以 m 可取 5、6、7．故有三种方案：
方案一：购买甲种农机具 5 件，乙种农机具 5 件；
方案二：购买甲种农机具 6 件，乙种农机具 4 件；
方案三：购买甲种农机具 7 件，乙种农机具 3 件.
【小问 3 详解】
设需要的资金为 w 万元．
则 ，
因为 ，所以 w 随 m 的增大而增大，
所以 时，w 最小，此时 ．
答：购买甲种农机具 5 件，乙种农机具 5 件需要的资金最少，最少资金是 5.5 万元．
25. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于 A（－1，0），B（3，0）两点，y 轴
交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，过点 P 作 y 轴的平行线 PE 交直线 BC 于点 E，过点
P 作 x 轴的平行线 PF 交直线 BC 于点 F，求△PEF 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
（3）如图 2，连接 AC，BC，抛物线上是否存在点 Q，使∠CBQ＋∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点 Q
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的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）最大值为 ，此时点 P 的坐标为
（3）存在，Q 的坐标为 或
【解析】
【分析】（1）将点 两点坐标代入解析式求得 即可求解；
（2）设直线 的解析式为 ，代入坐标求得直线 的方程， ，设
，求得 ，可求△PEF 面积的最大值；
（3）当点 在 上方时，作点 关于 轴的对称点 ，过点 作 交抛物线于点
，可求得直线 的方程，设直线 解析式为 ，分情况讨论可求得 的坐标.
【小问 1 详解】
把 代入 得， ，
解得 ，∴抛物线的解析式为 ；
【小问 2 详解】
由 可得， ，设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ， ，
， ，
∵ 轴， 轴， ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
设 ，则 ，
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，
当 时，即 取最大值 ，此时 的面积最大，
则 ；
【小问 3 详解】
存在．当点 在 上方时，作点 关于 轴的对称点 ，
过点 作 交抛物线于点 ，
∵ 与 关于 轴对称， ，又∵ ，
， ，
， ，
同理可得直线 解析式为 ，
设直线 解析式为 ，将 代入得， ，
， ，由 ，解得 或 ， ；
当点 在 下方时，作点 ，直线 与抛物线交于点 ，
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，同理可得直线 解析式为 ，
， ，
， ，
联立 ，解得 或 ， ，
综上，点 的坐标为 或 ．
26. 如图， 是⊙O 的直径， 是⊙O 上异于 C、D 的一点，点 B 是 DC 延长线上一点，连接 AB、AC、AD
，且∠BAC＝∠ADB．
【认识图形】（1）求证：直线 AB 是⊙O 的切线；
【探索关系】（2）若 ，探求 BC 与 CD 的数量关系；
【解决问题】（3）在（2）的条件下，作∠CAD 的平分线 AP 交⊙O 于 P，交 CD 于 E，连接 PC、PD，若
，求 PA 和 PE 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ， ．
【解析】
【分析】（1）利用平面几何知识可得 ，进而可得结论；
（2）利用已知可得 ，进而可得 ，结合已知计算可得结论；
（3）由已知可得 ， ，进而利用相似求得 ，可求得 ，过 C
作 于 H， 于 G，可证明 和 是等腰直角三角形，利用面积法求得 ，
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进而计算可求解.
【详解】（1）证明：如图，连接 ， ，
， ，
， 是 的直径，
， ，
， 是 半径， 直线 是 的切线；
（2） ， ，
， ， ，
， ， ， ，
；
（3）由（2）可知， ， ， ，
， ， 平分 ， ，
， ， ，
， 是 的直径， ，
， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
∴ （舍负），
过 C 作 于 H， 于 G，
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∵ ， ，∴由 ，
∴ ， ，∵ ， 平分 ，
∴ ，则 和 是等腰直角三角形，
，
四边形 的面积 ，
，
，
，
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