第二十四章 圆 专题01 圆的基本性质+垂径定理【六大考点+知识串讲】(原卷版+解析版）-人教版初中数学九上

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专题01 圆的基本性质+垂径定理 考点类型 知识串讲（一）圆的相关概念（1）圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．（2）确定圆的条件：①圆心；②半径，③其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．（3）相关概念同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆． （二）垂径定理及其推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③圆的两条平行弦所夹的弧相等 （3）常见辅助线做法：①过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度（多为方程勾股）；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 考点训练考点1：圆的相关概念典例1：如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ABC=10°，∠BOC=80°，则∠ABO的度数是（    ）A．54°B．58°C．60°D．74°【变式1】有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（    ）A．1B．2C．3D．4【变式2】平面上有⊙O及⊙O内一点P，P到⊙O上一点的距离最长为10cm，最短为4cm，则⊙O的半径为 cm．【变式3】如图，CD是⊙O的直径，A为DC延长线上一点，点E在⊙O上，∠EOD=81°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，则∠A的度数是 ．考点2：利用垂径定理——求线段典例2：如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（    ）A．22B．4C．6D．43【变式1】如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（    ）  A．1米B．2米C．3−5米D．3+5米【变式2】如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则OD= ．【变式3】如图是一条火车隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，圆的半径OA=10，高CD=16，则轨道宽AB的长为 ．考点3：利用垂径定理——求平行弦典例3：⊙O的半径是10，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则弦AB与CD的距离是（    ）A．2B．14C．2或14D．7或1【变式1】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cmA．1B．3C．3或4D．1或7【变式2】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．【变式3】如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．考点4：利用垂径定理——求同心圆典例4：如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC=2．则BD的长（  ）A．1B．2C．3D．0.5【变式1】如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（    ）A．1组B．2组C．3组D．4组【变式2】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm【变式3】如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）  考点5：利用垂径定理——实际应用典例5：某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ）  A．4.8cmB．5cmC．5.2cmD．6cm【变式1】为了落实“双减”政策，一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课，如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为（    ）cmA．240B．2402C．120D．1202【变式2】赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径约为 m（结果保留整数）【变式3】一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 ．考点6：垂径定理的推论——定圆心典例6：一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离a=0.72m，弧的中点到弧所对弦的距离ℎ=0.25m，如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？（结果精确到0.001m）【变式1】赵州桥（如图）建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，求赵州桥桥拱所在圆的半径．（精确到0.1m）【变式2】请你利用直尺和圆规把弧AB四等分．【变式3】如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP=5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条．