第二章 一元二次方程 专题04 一元二次方程实际应用【九大考点+知识串讲】(原卷版+解析版）-北师大版初中数学九上

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专题04 实际问题与一元二次方程 考点类型 知识一遍过（一）解一元二次方程步骤解题步骤：列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：“审”：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”：指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”：指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”：就是求出说列方程的解； “答”：就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。（二）一元二次方程实际应用常见类型（1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）（2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数（3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。（4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。（5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） 考点一遍过考点1：增长率问题典例1：中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司2021年盈利4000万元，2023年盈利6760万元，且从2021年到2023年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，则列方程得（     ）A．40001+2x=6760B．4000(1+x)2=6760C．4000×2×1+2x=6760D．4000+40001+x+4000(1+x)2=6760【答案】B【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每年盈利的年增长率为x，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键．【详解】解：设每年盈利的年增长率为x，由题意得：4000(1+x)2=6760，故选：B．【变式1】2024年3月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼3月份销售额为200万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计3−5月份可以累计销售收入达400万．设月收入的增长率为x，则程可列为（ ）A．2001+x3=400B．2001+x2=400C．200+200x+200x2=400D．200+2001+x+2001+x2=400【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，设月收入的增长率为x，则四月份销售额为2001+x，五月份销售额为2001+x2，列出方程，即可．【详解】设月收入的增长率为x，∴四月份销售额为2001+x；五月份销售额为2001+x2，∴列出方程为：200+2001+x+2001+x2=400．故选：D．【变式2】某种商品原来每件售价为100元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，试根据题意求x的值 ．【答案】10%【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．【详解】设平均每次降价的百分率为x，依题意得：1001−x2=81，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去），故答案为：10%．【变式3】“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．【答案】7001+x2=1537【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键．设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为x，利用这款新能源汽车2024年的销售量=这款新能源汽车2022年的销售量×(1+这款新能源汽车销售量的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为x，依题意得：700(1+x)2=1537．故答案为：700(1+x)2=1372考点2：传播问题典例2：某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信210条，则这个小组的人数为（　　）A．21人B．20人C．14人D．15人【答案】D【分析】设这个小组的人数为x人，根据题意“全组共发微信210条”列出方程并求解，即可获得答案．【详解】解：设这个小组的人数为x人，根据题意可得x(x−1)=210，整理可得x2−x−210=0，∴(x−15)(x+14)=0，∴x1=15，x2=−14（不合题意，舍去），所以，这个小组的人数为15人．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清等量关系是解题关键．【变式1】一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（    ）A．xx+1=56 B．xx−1=56 C．2xx+1=56D．xx−1=56×2 【答案】B【分析】每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数−1）即可得出对应方程．【详解】解：设有x人参加聚会，则每人送出x−1件礼物，由题意列方程得：xx−1=56．故选：B．【点睛】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积．【变式2】某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ．【答案】7【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设这种植物每个支干长出x个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是57”，列出方程求解即可．【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，1+x+x2=57，解得：x1=7,x2=−8（舍去），∴这种植物每个支干长出7个小分支，故答案为：7．【变式3】请根据图片内容，回答下列问题：  （假设每轮传染人数相同）每轮传染中，平均一个人传染了 个人．【答案】10【分析】设每轮传染中，平均一个人传染了x人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每轮传染中，平均一个人传染了x人，依题意得：1+x+x(1+x)=121，即(1+x)2=121，解得：x1=10，x2=−12（不符合题意，舍去），∴每轮传染中，平均一个人传染了10人．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．考点3：循环问题典例3：一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（    ）A．11B．12C．22D．33【答案】B【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他x−1人握手，共握手次数为12xx−1，根据一共握了66次手列出方程求解．【详解】解：设参加会议有x人，依题意得，12xx−1=66，整理，得x2−x−132=0，解得x1=12，x2=−11，(舍去)则参加这次会议的有12人．故选：B．【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为12xx−1．【变式1】中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（　　）A．80个B．120个C．15个D．16个【答案】D【分析】根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，可列出方程．【详解】解：设参加比赛的队共有x，根据题意可得：xx−1=240，解得：x1=16，x1=−15（舍去），故选：D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．【变式2】某校九(1)班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九(1)班有 名学生．【答案】40【分析】设有x名学生，由题意知xx−1=1560，计算求出符合要求的解即可．【详解】解：设有x名学生由题意知xx−1=1560解得x=40或x=−39（不符合要求，舍去）故答案为：40．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程．【变式3】2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡190张，设全班有x名同学则可列方程为 ．【答案】x(x-1)=190【分析】根据题意x名同学，每个人送出（x-1）张贺卡，由此列出方程．【详解】由题意得x(x−1)=190，故答案为：x(x−1)=190．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．考点4：几何面积问题典例4：如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的13．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（    ）  A．6−x5−x=10B．6+x5+x=10C．6−x5−x=20D．6+x5+x=20【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键．直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可．【详解】解：由题意可得：6−x5−x=6×51−13，即6−x5−x=20，故C正确．故选：C．【变式1】我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（   ）A．x2+32−x2=72B．πx2+32−x2=72C．πx+32−x2=72D．x+62−x2=72【答案】B【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案，正确表示出圆的面积是解题关键．【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是，πx2+32−x2=72，故选：B．【变式2】一块面积为875cm2的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为25cm，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为xcm，则可列方程为 ．【答案】10x2+125x=875【分析】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，设长方体盒子高为xcm，则宽为3xcm，被剪去的正方形边长为xcm；根据题意可得，无盖的长方体盒子的表面积为：25×3x+2×25x+3x2=6x2+125x；被剪去的四个正方形的面积为：4x2，二者相加为原矩形材料的面积，方程即可列出．【详解】解：设长方体盒子高为xcm，则宽为3xcm，被剪去的正方形边长为xcm，则无盖的长方体盒子的表面积为：25×3x+2×25x+3x2=6x2+125x；被剪去的四个正方形的面积为：4x2，根据题意得：10x2+125x=875，故答案为：10x2+125x=875．【变式3】如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖长方体铁盒．设正方形的边长为xcm，则可列方程为 ，剪去的正方形的边长为 cm．【答案】 1212−2x10−2x=24 2cm【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设正方形的边长为xcm，则铁盒的底面长为10−2xcm，宽为1212−2xcm，根据“底面积是24cm2”即可列出方程，求解即可．【详解】解：设正方形的边长为xcm，根据题意，得1212−2x10−2x=24，解得：x1=2，x2=9（不合题意，舍去）∴剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：1212−2x10−2x=24；2cm考点5：销售利润问题典例5：一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？(3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．【答案】(1)2x，40−x(2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；(3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答；（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为120−x−80元，平均每天的销售量为20+2x件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答；（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为120−y−80元，平均每天的销售量为20+2y件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答．【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加2x件，每件商品盈利120−x−80=40−x元．故答案为：2x，40−x．（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为120−x−80元，平均每天的销售量为20+2x件，依题意得：120−x−8020+2x=1200，整理得：x2−30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．又∵需要让利于顾客，∴x=20．答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．（3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：设每件服装降价y元，则每件的销售利润为120−y−80元，平均每天的销售量为20+2y件，依题意得：120−y−8020+2y=1800，整理得：y2−30y+500=0．∵Δ=b2−4ac=−302−4×1×500=−1100