第二章 一元二次方程 专题03 根的判别式、根与系数的关系【八大考点+知识串讲】(原卷版+解析版）-北师大版初中数学九上

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专题03 根的判别式、根与系数的关系 考点类型 知识一遍过（一）根的判别式概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac①b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。②b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。③b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。④b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。（二）根与系数的关系（1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？根据求根公式可知，x1＝，x2＝．由此可得x1＋x2＝＋＝＝－，x1x2＝·＝＝． 因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝．（2）注意事项：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。（三）根与系数的关系常见变形常见与两根有关的代数式变形① QUOTE + QUOTE =(x1+x2)2-2x1x2; ② QUOTE + QUOTE = QUOTE ;③ QUOTE + QUOTE = QUOTE ; ④(x1−x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 考点一遍过考点1：由△判断根的情况典例1：定义运算：a☆b=a2b−2ab−1，例如：4☆5=42×5−2×4×5−1．方程x☆3=0的根的情况（      ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【变式1】下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）A．1−x2=0B．(2x−1)(2−3x)=0C．2x2−x+1=0D．x2−6x+9=0【变式2】一元二次方程x2−4x+3=0的根的判别式的值为 ．【变式3】一元二次方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是 实数根（填“有”或“没有”）．考点2：由根的情况求字母取值典例2：已知关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为（    ）A．1B．1或−1C．−1D．2【变式1】若关于x的方程ax2−6x+3=0有实数根，则a的取值范围是（    ）A．a≤6B．a≤3C．a≤3且a≠0D．a≤6且a≠0【变式2】关于x的方程kx2+4x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．解：根据题意得k≠0且Δ＝42−4k×2>0，解得k