第七章 命题与证明专题02 平行线的性质【八大考点+知识串讲】(原卷版+解析版）-北师大版数学8上

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专题02 平行线的性质 考点类型 知识一遍过（一）平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.。几何符号语言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 考点一遍过考点1：平行线的性质——角的关系典例1：下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（　　）A．  B．  C．  D。  【变式1】如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,且BF∥DE,则∠ABE与∠D的关系是（　　）  A．∠ABE=3∠DB．∠ABE+∠D=90°C．∠ABE+3∠D=180°D．∠ABE=2∠D【变式2】如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是 ．【变式3】如图，AB∥EF，∠C=60°，∠A=α,∠E=β,∠D=γ,则α、β、γ的关系是 ．考点2：平行线的性质——求角典例2：将一块等腰直角三角板按如图所示的方式放置在一块矩形硬纸板上，若∠1=150°，则∠2的度数是（    ）A．100°B．120°C．130°D．140°【变式1】如图，EF∥CD，∠1+∠2=180°．若DG平分∠CDB，∠ACD=40°，则∠A的度数为（　　）A．35°B．40°C．45°D．50°【变式2】如图，已知AB∥CD，点E是AB上方一点，点M、N分别在直线AB、CD上，连结EM、EN、MF平分∠AME，NG交MF的反向延长线于点G，若∠ENG+∠END=180°，且∠G+2∠E=102°，则∠AMF度数为 ．【变式3】如图，CD平分∠ACB，∠AED=70°，则∠ECD= °时DE∥BC考点3：平行线的性质——实际应用典例3：根据物理学知识可知：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线y1射到平面镜a上，被a反射后的光线为y2，则入射光线y1，反射光线y2与平面镜a所夹的角相等，即∠1=∠2，若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线和反射光线所在直线的解析式分别为y1=k1x，y2=k2x，则下列关于k1、k2的关系说法正确的是（    ）A．k1⋅k2=1B．k1=2k2C．k1=k2D．k1=−k2【变式1】光线在不同介质中传播时会发生折射，如图，在水中发射的两条平行光线，在空气中发生折射．若水面和杯底是互相平行的，且∠1=∠3=45°，∠2=120°，则根据以下理由：①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，同旁内角相等；④同旁内角互补，两直线平行．能得到结论：（Ⅰ）在空气中两条光线也是平行的；（Ⅱ）∠4=∠3=45°；（Ⅲ）∠5=180°−∠2=60°．其中结论与理由都正确并且配对相符的是（　　）A．Ⅰ-②B．Ⅱ-①C．Ⅲ-③D．Ⅲ-④【变式2】图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座AO⊥OE于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的∠MDN始终保持不变．如图2，调节台灯使光线DN∥BA，此时∠BAO=130°，且CD的延长线恰好是∠MDN的角平分线，则∠MDN= ．【变式3】如图，线段AB和CD表示两面镜子，且直线AB∥直线CD，光线EF经过镜子AB反射到镜子CD，最后反射到光线GH．光线反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论：①直线EF平行于直线GH；②∠FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；③∠BFE的角平分线所在的直线垂直于∠4的角平分线所在的直线；④当CD绕点G顺时针旋转90°时，直线EF与直线GH不一定平行．其中正确的是 ．考点4：平行线的判定与性质——证明典例4：如图，已知CD平分∠MCB，点F在线段BC上，FH⊥NB于点H,∠1=132°,∠2=∠3，∠MCB=48°．(1)求证：NB⊥CD；(2)求∠NDE的度数．【变式1】已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC,AC为对角线，点E在BC边上，点F在AB边上，且∠1=∠2．(1)求证：EF∥AC；(2)若CA平分∠BCD,∠B=50°，∠D=120°，求∠BFE的度数．【变式2】如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2． 求证：∠E=∠F．【变式3】完成下面推理过程，填写下列空格．已知：如图，AD⊥BC，GF⊥BC，∠1=∠2．求证：∠4=∠B．证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC（已知），∴∠ADC=90°，∠GFD=90°（垂直的定义），∴∠ADC=∠GFD（等量代换），∴AD∥GF（ ），∴∠1=∠ （两直线平行，同位角相等）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠3（ ），∴DE∥AB（ ），∴∠B=∠4（ ）．考点5：平行线的判定与性质——求角典例5：如图，直线AE∥直线BC，∠BAD=∠BCD．(1)补全对AB∥CD的说理过程；∵AE∥BC（已知），∴∠BAD+ =180°（ ）．∵∠BAD=∠BCD（ ），∴∠BCD+ =180°（等量代换），∴AB∥CD（ ）；(2)若AC平分∠BAD，且∠1+∠2=115°，求∠EDF的度数．【变式1】如图1，点D是∠ABC的边AB上一点，过点D作直线EF∥BC,BM平分∠ABC，以点D为端点作线段DN，连接MN．(1)如图1，DN平分∠ADF，证明：∠M+∠N=180°：(2)如图2，DN平分∠BDE，则∠M与∠N又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由：(3)如图3，DN平分∠ADE,∠N=15°，请求出∠M的度数．【变式2】如图1，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF=180°，EF∥AB．(1)求证：CE∥DF；(2)如图2，∠DFE的平分线FG交AB于点G．若∠CEF=130°，求∠DGF的度数．【变式3】如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C． (1)求证：AB∥CD；(2)若∠2+∠4=180°，且∠BFC−30°=2∠1，求∠B的度数．考点6：平行线的判定与性质——规律典例6：实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线 m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． ∠1=∠2.(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：m∥n．(2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行， 且 ∠1=48°,则 ∠6= °(3)请你猜想：图3中， 当两平面镜 AB、CD的夹角∠ABC= °时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，请说明理由．【变式1】如图1，MN，EF是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC， 则一定有∠1=∠2．光线CD是由EF镜反射得到．  (1)判断AB与CD的位置关系，并说明理由；(2)如图2， EF镜上有一光源 P， 发射的光线交反射光线BC于点Q， 若AB∥PQ，猜想∠PQB与∠1的数量关系，并说明理由．【变式2】(1)阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等.如图,一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2, ∠3=∠4.①由条件可知：∠1与∠3的大小关系是_____,∠2与∠4的大小关系是________;②反射光线BC与EF的位置关系是___________,理由是___________;(2)解决问题：①如图,一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m,且∠1=35°,则∠2=_______,∠3=_______;②在①中，若∠1=40°,则∠3=_______,③由①②请你猜想：当∠3=_______时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的?请说明理由.【变式3】科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射出去，若b镜反射出的光线n平行于m，且∠1＝30°，则∠2＝　 　，∠3＝　 　；（2）在（1）中，若∠1＝70°，则∠3＝　 　；若∠1＝a，则∠3＝　 　；（3）由（1）（2）请你猜想：当∠3＝　 　时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的？请说明理由．（提示：三角形的内角和等于180°）考点7：平行线的判定与性质——转角典例7：在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°．（1）【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1=56°，则∠2=____°；（2）【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由；（3）【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1=4∠CBD（∠CBD