第五章 二元一次方程组专题03 二元一次方程组与一次函数【七大考点+知识串讲】(原卷版+解析版）-北师大版数学8上

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专题03 二元一次方程组与一次函数 考点类型 知识一遍过（一）二元一次方程组与一次函数一次函数与二元一次方程组的关系： 一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个点的坐标（x，y），都是这个二元一次方程的解。由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解 考点一遍过考点1：由两直线交点坐标解二元一次方程组典例1：如图，已知函数y=x+1和y=ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组x−y=−1ax−y=−3的解是（    ）.A．x=1y=2B．&x=2y=1C．x=1y=−2D．x=−2y=1【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数图像与二元一次方程（组），掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标成为解题的关键．先利用x−y=−1确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可解答．【详解】解：当x=1时，1−y=−1，解得：y=2，即两直线的交点坐标为1，2，所以关于x,y的方程组x−y=−1ax−y=−3的解为x=1y=2．故选：A．【变式1】如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象l1、l2，设y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，则方程组y1=k1x+b1y2=k2x+b2的解是（    ）A．x=−2y=2B．x=−2y=3C．x=−3y=3D．x=−3y=4【答案】B【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），分别求得两个函数解析式，联立可得两个函数的交点坐标为−2,3，即可求解．【详解】解：由图得，函数y1、y2的图分别过−1,0，0，−3两点和4,1,−2,3两点，∴0=−k1+b1−3=b1，3=−2k2+b21=4k2+b2解得：k1=−3b1=−3，k2=−13b2=73∴y1=−3x−3y2=−13x+73解得：x=−2y=3，故选：B．【变式2】已知直线y=2x与y=−x+b的交点坐标为a,−4，则关于x、y的方程组2x−y=0x+y=b的解是 ．【答案】x=−2y=−4【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征、根据两直线的交点坐标求方程组的解，先求出两直线的交点坐标，从而即可得出答案．【详解】解：∵直线y=2x经过a,−4，∴2a=−4，解得：a=−2，∴交点坐标为−2,−4，∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，∴关于x、y的方程组2x−y=0x+y=b的解是x=−2y=−4，故答案为：x=−2y=−4．【变式3】如图，直线y=x+m与直线y=−12x−n相交于点A，则二元一次方程组x−y=−m12x+y=−n的解为 ．【答案】x=−4y=1【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，先求出点A的坐标，再根据一次函数与二元一次方程的关系求解即可．熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．【详解】解：根据图像可知：直线y=−12x−n过点−2,0，∴0=−12×−2−n，∴n=1，∵直线y=x+m与直线y=−12x−n相交于点A，当x=−4时，y=−12×−4−1=1，∴直线y=x+m与直线y=−12x−n相交于点A−4,1，∴二元一次方程组x−y=−m12x+y=−n的解为x=−4y=1．故答案为：x=−4y=1．考点2：由二元一次方程组的解求交点坐标典例2：已知关于x，y的方程组x+y−b=03x+y−2=0的解是x=−1y=m，则直线y=−x+b与直线y=−3x+2的交点坐标是（　　）A．5,−1B．−1,5C．0,2D．−1,−5【答案】B【分析】把x=−1y=m带入3x+y−2=0中，求出m的值，根据两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果．【详解】解：∵关于x，y的方程组x+y−b=03x+y−2=0的解是x=−1y=m，∴3×−1+m−2=0，∴m=5，∵方程组x+y−b=03x+y−2=0是由y=−x+b与y=−3x+2组成的，∴直线y=−x+b与直线y=−3x+2的交点坐标是−1,5；故选B．【点睛】本题考查二元一次方程组与一次函数的关系．熟练掌握两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，是解题的关键．【变式1】已知关于x、y的方程组 y=x+1，y=kx+b的解为 x=4，y=5，则直线y=x+1 与直线y=kx+b (k、b 为常数，且k≠0)的交点坐标是（    ）A．(4,0)B．(5,4)C．(4,5)D．(5,0)【答案】C【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，将函数y=x+1和y=kx+b的图象交点问题，转化为函数解析式所组成方程组解得问题即可．【详解】解：直线y=x+1与直线y=kx+b的交点，可转化为函数解析式所组成方程组的解，∵关于x、y的方程组 y=x+1，y=kx+b的解为 x=4，y=5，∴则直线y=x+1 与直线y=kx+b(k、b 为常数，且k≠0)的交点坐标是(4,5)故选：C．【变式2】已知k、m为常数，且km≠0，若关于x、y的二元一次方程组y=kx+2y=mx−4的解为x=2y=4，则y关于x的一次函数y=kx+2、y=mx−4的交点坐标为 ．【答案】2,4【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据二元一次方程组与两直线交点的关系进行解答即可，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组y=kx+2y=mx−4的解为x=2y=4，∴y关于x的一次函数y=kx+2，y=mx−4的交点坐标为2,4，故答案为：2,4．【变式3】已知关于x、y的二元一次方程组y=ax+b,y=−x−2,的解是x=−4,y=m，则一次函数y=ax+b和y=−x−2的图象的交点坐标为 ．【答案】−4,2【分析】根据方程组是由两个函数的解析式所构成，因此方程组的解即为两函数的交点坐标．【详解】解：把x=−4代入y=−x−2，则y=−(−4)−2=2，∴方程组的解为x=−4y=2，∴次函数y=ax+b和y=−x−2的图象的交点坐标为−4,2；故答案为：−4,2．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．考点3：由图像解二元一次方程组典例3：已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组y=ax+by=kx的解是（    ）  A．x=−3y=1B．x=3y=−1C．x=−3y=−1D．x=1y=−3【答案】A【分析】根据函数图象可知，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P的坐标是（-3，1），故可得方程组的解集即为点P的横纵坐标．【详解】根据函数图象可知，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P的坐标是（-3，1），∴二元一次方程组y=ax+by=kx的解是x=−3y=1，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数与方程和不等式的关系是解题的关键．【变式1】小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个方程组可能是（     ）A．y=−2x+2y=12x−1B．y=−2x+2y=−x−1C．y=3x−8y=12x−3D．y=−2x+2y=−12x−1【答案】D【分析】根据图象的位置，得出k、b的符号，从而排除A、C，把x=2y=−2代入B、C即可得到结论．【详解】根据函数图象可知：两个函数的k都小于0，一个b大于0，另一个b小于0，由此可排除A、C．当x=2时，-2-1=-3≠-2，∴（2，-2）不在直线y=-x-1上，∴B错误，当x=2时，－2×2+2=－2，−12×2−1=－2，x=2y=−2满足方程组y=−2x+2y=−12x−1．故选D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解与一次函数交点的关系．熟练掌握两者的关系是解答本题的关键．【变式2】如图，一次函数y=−2x和y=kx+b的图象相交于点A−2,4，则关于x、y的方程组：kx−y+b=02x+y=0的解是 ．【答案】x=−2y=4【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解．【详解】解：∵一次函数y=−2x和y=kx+b的图象相交于点A−2,4，∴ kx−y+b=02x+y=0的解为x=−2y=4，故答案为：x=−2y=4．【变式3】如图，一次函数y=kx+b与y=x+5的图象相交于点P−3，m，则方程组y=kx+by=x+5的解是 ．【答案】x=−3y=2【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答．【详解】解：把x=−3代入y=x+5得：y=−3+5=2，∴P−3，2，∵点P为一次函数y=kx+b与y=x+5的图象交点，∴方程组y=kx+by=x+5的解是x=−3y=2；故答案为：x=−3y=2．【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解．考点4：求直线围成图形的面积典例4：如图，直线AB：y=12x+1与x轴、y轴交于点A、B，直线CD：y=x−1分别与x轴y轴交于C、D，直线AB与CD相交于点P．(1)求点P的坐标；(2)求△ADP的面积．【答案】(1)4,3(2)6【分析】本题主要考查了求两直线的交点坐标，直线围成的图形面积：（1）将直线AB与直线CD的解析式组成方程组，求出x，y，即得P点的坐标；（2）首先求出点B、A、D的坐标，可得BD的长，然后求出△ADB与△BDP的面积，即可得△ADP的面积．【详解】（1）解：联立y=12x+1y=x−1，解得：x=4y=3，∴P点的坐标为4,3；（2）解：把x=0，代入y=12x+1得，y=1，∴点B的坐标为0,1在y=12x+1中，令y=0，解得：x=−2，∴A点坐标为−2,0；把x=0，代入y=x−1得，y=−1，∴点D的坐标为0,−1；∴BD=2，∴S△ADB=12×2×2=2，S△BDP=12×2×4=4，∴△ADP的面积为：2+4=6．【变式1】如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B．(1)求这个一次函数的解析式．(2)求三角形AOB的面积．【答案】(1)y=−x+3(2)32【分析】（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）首先求得A的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．【详解】（1）在y=2x中，令x=1，解得y=2，则B的坐标是(1,2)，设一次函数的解析式是y=kx+b，则b=3k+b=2，解得：k=−1b=3．则一次函数的解析式是y=−x+3；（2）由题意得：A的坐标是(0,3)．则SΔBOA=12OA×1=12×3×1=32．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．【变式2】在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线y=mx+mm>0与直线AB交于点E，与x轴交于点C，点E坐标为1，n．(1)求E的坐标和m的值；(2)点P在直线AB上，若△ACP的面积为3，求点P的坐标．【答案】(1)点E坐标为1，4，m=2；(2)P4，1或6，−1．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先求得点C坐标为−1，0，点A坐标为5，0，设点Pt，−t+5，根据三角形的面积公式可列出关于t的方程，求出t，即可得出P点的坐标，【详解】（1）解：当x=1时，y=−x+5=4，即点E坐标为1，4，将点E的坐标代入y=mx+m得：4=m+m，解得：m=2；（2）解：由（1）知，直线CD：y=2x+2，令y=0，则0=2x+2，∴x=−1，令y=0，则0=−x+5，∴x=5，∴点C坐标为−1，0，点A坐标为5，0，设点Pt，−t+5，由题意得S△ACP=12AC⋅yP=12×6×−t+5=3，∴−t+5=1，即−t+5=1或−t+5=−1，解得t=4或t=6，∴P4，1或6，−1．【点睛】本题考查的是一次函数应用，涉及到一次函数的性质，面积的计算等，求得点的坐标是解题的关键．【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线OA相交于点A(−4,2)．  (1)求点B的坐标．(2)求△OAC的面积．(3)在直线AC上是否存在一点M，使△OMC的面积是△OAC面积的12？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)−6,0(2)12(3)点M的坐标为2,8或−2,4【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，根据一次函数解析式，求三角形的面积，解题的关键是数形结合．（1）把y=0代入y=x+6，求出点B的坐标即可；（2）先求出点C0,6，然后求出△OAC的面积即可；（3）设点M的坐标为a,a+6，根据S△OMC=12S△OAC，得出12×6×a=12×12，求出a的值，即可得出答案．【详解】（1）解：在y=x+6中，令y=0，得：0=x+6，解得：x=−6，∴点B的坐标为−6,0．（2）解：在y=x+6中，令x=0，则y=6，∴点C(0,6)，∴S△AOC=12×6×4=12．（3）解：存在．设点M的坐标为a,a+6．∵S△OMC=12S△OAC，∴12×6×a=12×12，∴a=±2．当a=2时，点M1的坐标是2,8；当a=−2时，点M2的坐标是−2,4．综上所述，点M的坐标为2,8或−2,4．考点5：利用二元一次方程组求一次函数解析式典例5：甲车从A地去B地，同时乙车从B地去A地，两车都匀速行驶，甲车到达B地后停留1小时，然后按原路原速返回A地，乙车经过10小时到达A地，两车距A地的路程ykm与甲车所用的时间xh的关系如下图所示．  (1)A、B两地的路程为________km，甲车返回A地时x的值是________；(2)求直线OE、CD的解析式；(3)甲车到达B地之前，直接写出乙车出发多长时间两车相距150km？【答案】(1)600；11(2)OE所在直线的解析式为y=120x，CD所在直线的解析式为y=−60x+600(3)乙车出发52或256小时，两车相距150km【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，理解题意，从函数图像中获取信息是解题的关键．（1）根据图像可知，两地的路程，根据速度=路程÷时间可得乙车的速度；（2）根据图像信息，待定系数法求得OE,CD的直线解析式即可；（3）分两种情况进行讨论：①甲车与乙车相遇前，②甲车与乙车相遇后；根据函数解析式的函数值之差为150，即可求得时间．【详解】（1）解：由图像可知，两地相距600km，∵甲车从A地去B地，甲车到达B地后停留1小时，∴甲车从A地去B地的时间为：6−1=5h，∵甲车按原路原速返回A地，∴甲车返回A地所用时间为5h，∴甲车返回A地时x的值是：6+5=11．（2）解：设OE所在直线的解析式为：y=kx，由题意可知，点E(5 ,  600) ，∴600=5k∴k=120，∴OE所在直线的解析式为：y=120x，∵乙车经过10小时到达A地，∴D10,0，设CD所在直线的解析式为：y=mx+b ，把点C0 ,600 ，D10,0代入得：∴b=60010m+b=0，解得m=−60b=600  ，∴CD所在直线的解析式为：y=−60x+600；（3）①甲车与乙车相遇之前时，有−60x+600−120x=150，解得x=52；②甲车与乙车相遇之后时，120x−−60x+600=150，解得：x=256 ，答：乙车出发52或256小时，两车相距150km．【变式1】如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B．(1)求该一次函数的解析式：(2)判定点C5,−2是否在该函数图象上？说明理由；(3)若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．【答案】(1)y=−x+3(2)点C5,−2在该函数图象上(3)3【分析】本题主要考查一次函数，掌握待定系数法是解题的关键．（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．【详解】（1）解：当x=1时，y=2，∴点B的坐标为(1,2)，设一次函数的解析式为：y=kx+b，把(0,3)和(1,2)代入得k+b=2b=3，解得k=−1b=3∴一次函数的解析式为y=−x+3；（2）当x=5时，y=−5+3=−2，∴点C5,−2在该函数图象上；（3）解：令y=0，则−x+3=0，解得x=3，∴点D的坐标为(3,0)，∴S△OBD=12OD⋅yB=12×3×2=3．【变式2】市政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．(1)前2天乙队平均每天挖管道________米；(2)求OA段及BC段所在直线的函数解析式（不写自变量的取值范围）；(3)开始挖掘后，几天时甲、乙两队所挖管道长度相同？【答案】(1)150(2)y=100x；y=50x+200；(3)4天【分析】本题考查了一次函数的应用．理解函数图象代表的意义是解决本题的关键，应注意：函数问题也可以用一元一次方程解决．（1）由函数图像可知，乙队2天挖了300米，用300÷2即可得出答案．（2）用待定系数法分别求出OA段及BC段的解析式即可．（3）当甲、乙两队所挖管道长度相同时，得100x=50x+200，解一元一次方程即可得出答案．【详解】（1）解：300÷2=150米，故答案为：150．（2）设OA段的函数解析式为y=k1x(k1≠0)，把点(6,600)代入得600=6k1，解得：k1=100，∴OA段的函数解析式为y=100x；设BC段的函数解析式为y=k2x+b（k2，b为常数，且k2≠0）．将(2,300)和(8,600)分别代入y=k2x+b，得2k2+b=300，8k2+b=600，解得k2=50，b=200，BC段的函数解析式为y=50x+200；（3）当甲、乙两队所挖管道长度相同时，得100x=50x+200，解得x=4．∴开始挖掘后，4天时甲、乙两队所挖管道长度相同．【变式3】一次函数y=kx+b的图象经过A(1,3)，B(−2,−1)两点．(1)求此一次函数的解析式；(2)若一次函数与x轴交于C点，求△AOC的面积．【答案】(1)y=43x+53(2)158【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式；（2）先求出直线AB与x轴的交点坐标，然后通过计算两个三角形的面积和得到△AOB的面积．本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．【详解】（1）解：依题意，把A(1,3)，B(−2,−1)代入y=kx+b得到k+b=3−2k+b=−1，解得k=43b=53，所以直线AB的解析式为y=43x+53；（2）解：把y=0代入y=43x+53得，解得x=−54，∴直线AB与x轴的交点C为(−54，0)，∴△AOC的面积=12×54×3=158．考点6：解三元一次方程组典例6：解方程组：2x+y−z=−1x−y−z=0x−2y+z=5【答案】x=1y=−1z=2【分析】本题考查了解三元一次方程组，根据加减消元法解方程组即可求解．【详解】解：2x+y−z=−1①x−y−z=0②x−2y+z=5③①+③得，3x−y=4④①−②得，x+2y=−1⑤④×2+⑤得，6x+x=8−1解得：x=1，将x=1代入④得3−y=4解得：y=−1将x=1y=−1代入②得，1+1−z=0解得：z=2∴方程组的解为：x=1y=−1z=2【变式1】解方程组：4x+y−3z=13①5x−y+z=7②x−2z=4③．【答案】x=2y=2z=−1【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组前两个方程相加消去y得到x与z的方程，与第三个方程联立求出x与z的值，进而求出y的值即可．【详解】解：4x+y−3z=13①5x−y+z=7②x−2z=4③①+②得：9x−2z=20④，④−③得：8x=16，解得：x=2，把x=2代入③得：2−2z=4，解得：z=−1，把x=2，z=−2代入②得：10−y−1=7，解得：y=2，则方程组的解为x=2y=2z=−1．【变式2】解方程组：(1)x2−y+23=−13x+2y=14；(2)x+y+z=102x+3y+z=173x+2y−z=8．【答案】(1)x=2y=4(2)x=3y=2z=5【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算．（1）方程组化简后，利用加减消元法求解即可；（2）分别用②-①，②+③得到两个关于x、y的二元一次方程，联立为二元一次方程组求出x、y的值，再代入①求出z的值即可．【详解】（1）解：方程组整理，得3x−2y=−2①3x+2y=14②，①+②，得6x=12，解得x=2，把x=2代入②，得6+2y=14，解得y=4，故原方程组的解为x=2y=4；（2）解：x+y+z=10①2x+3y+z=17②3x+2y−z=8③，②−①，得x+2y=7④，②+③，得5x+5y=25，即x+y=5⑤，④−⑤，得y=2，把y=2代入⑤，得x=3，把x=3，y=2代入①，得z=5，故原方程组的解为x=3y=2z=5．【变式3】解方程组：3x+y−4z=13①5x−y+3z=5②x+y−z=3③．【答案】x=2y=−1z=−2．【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，即消元法，是解答本题的关键．①+②得8x−z=18④，②+③得6x+2z=8⑤，④×2+⑤得x=2，把x=2代入④得z=−2，把x=2、z=−2代入③得y=−1，由此得到答案．【详解】解：根据题意：由①+②得8x−z=18④，由②+③得6x+2z=8⑤，④×2+⑤得22x=44，得x=2，把x=2代入④得16−z=18，得z=−2，把x=2、z=−2代入③得2+y−(−2)=3，得y=−1，∴原方程组的解为x=2y=−1z=−2．考点7：三元一次方程组的应用典例7：一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？(2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，己知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量．【答案】(1)需甲车型8辆，需车型10辆；(2)方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆．【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为非负整数，求出x，y，z的值，从而得出答案．【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得：5x+8y=120300x+400y=6400，解得：x=8y=10，答：需甲车型8辆，需车型10辆；（2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得：x+y+z=185x+8y+10z=120，消去z得5x+2y=60，∴x=12−25y，因x，y是非负整数，且不大于18，得y=0，5，10，15，则x=12，10，8，6；又z是非负整数，解得z=6，3，0，∴x=12y=0z=6或x=10y=5z=3或x=8y=10z=0，∴共有三种运送方案：方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆．【变式1】（1）已知二元一次方程组3x+2y=72x+3y=3则x−y=______，x+y=______．（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算∶x∗y=ax+b+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=16，2∗3=12，那么5∗9=______．【答案】（1）4，2；（2）21元；（3）24．【分析】本题主要考查解方程组及整体代入法，掌握解方程组的方法是关键．（1）让两个式子相加即可求出x+y，然后让两个式子相减即可求出x−y；（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意列出方程组求解即可；（3）首先根据已知建立一个关于a，b，c的方程组，通过对方程变形即可得出答案．【详解】（1）3x+2y=7①2x+3y=3②①−②得x−y=4，①+②得5x+5y=10，∴x+y=2；（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意得13x+5y+2z=31①25x+9y+3z=55②①×2−②得：x+y+z=7，∴3x+3y+3z=21，答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元．（3）∵3∗5=16，2∗3=12，x∗y=ax+b+c，∴3a+b+c=16①2a+b+c=12②，①−②得a=4，代入②得：c+b=4，∴5∗9=5a+b+c=5×4+4=24．【变式2】感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x−y=5①，2x+3y=7②，求x−4y和7x+5y的值．思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．如①－②可得x−4y=−2；①+②×2可得7x+5y=19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．体会思想：(1)已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x−y=______，x+y=______；(2)已知方程组：x+y=5x+z=3y+z=4，则x+y+z=______；(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需______元．【答案】(1)−1，5(2)6(3)30【分析】（1）把两个方程相加可求x+y=5，相减可求x−y=−1；（2）把3个方程相加得x+y+z=6；（3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可．【详解】（1）解：2x+y=7①x+2y=8②，①+②得3x+3y=15，解得x+y=5，①-②得x−y=−1，故答案为：−1，5；（2）解：x+y=5①x+z=3②y+z=4③， ①+②+③得，2x+2y+2z=12，即x+y+z=6；故答案为：6；（3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,根据题意列方程组得，20a+3b+2c=32①39a+5b+3c=58②．①×2−②得，a+b+c=6，则5a+5b+5c=30；答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．故答案为：30．【点睛】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解．【变式3】合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息：营业员A：月销售件数200件，月总收入4500元；营业员B：月销售件数300件，月总收入5000元．假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．(1)求x、y的值；(2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需1500元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需1620元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？【答案】(1)x=3500y=5(2)780元【分析】（1）设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据题意列出三元一次方程组，得出a+b+c＝780，即可求解．【详解】（1）解：设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元，根据题意得：x+200y=4500x+300y=5000，x=3500y=5，（2）解：设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据题意得：3a+2b+c=1500a+2b+3c=1620，(①+②)÷4，得：a+b+c＝780．答：购买甲、乙、丙服装各一件共需780元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）300400500