第五章 二元一次方程组专题01 二元一次方程组及解法【十大考点+知识串讲】(原卷版+解析版）-北师大版数学8上

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专题01 二元一次方程组及解法 考点类型 知识一遍过（一）二元一次方程概念含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。【注意】①二元：含有两个未知数；②一次：所含未知数的项的次数都是1。例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。③方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程有无数个解。（二）二元一次方程组概念含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．【注意】①二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋1＝0，,x＋2y＝2))也是二元一次方程组。②方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。【注意】①二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。②一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。如：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,4x＋4y＝20.))有的方程组无解，如：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,x＋y＝2.))（三）解二元一次方程组——代入消元代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。代入消元法的一般步骤： ①变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。 ②代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。③解：解一元一次方程④求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。 ⑤写：写出方程组的解。⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。（四）解二元一次方程组——加减消元加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。加减消元法的一般步骤： ①变：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。②加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。③解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。④求：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。⑤写：写出方程组的解。⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。 考点一遍过考点1：二元一次方程（组）定义典例1：若方程m+2nxm+n=3yn+2+4是二元一次方程，则mn的值为（   ）A．2B．−1C．0D．−2【变式1】下列方程中是二元一次方程组的有（   ）①2xy=6x+y=1，②3x=y+52x−y4=−2，③xy=34x−2y=5，④2x+y=1x−2z=3，A．1个B．2个C．3个D．4个【变式2】已知关于x，y的方程k2−1x2+k+1x+k−7y=k+2，当k= 时，此方程为二元一次方程．【变式3】下列方程组中，不是二元一次方程组的是 ．①x+y=104x−y=25；②x=3y=5；③x+2y=41x+y=2；④x2+y=32x−y=5考点2：二元一次方程（组）的解典例2：下列各组数中，是二元一次方程2x−y=4的一个解的是（   ）A．x=1y=3B．x=3y=2C．x=0y=4D．x=2y=8【变式1】解为x=−1y=−3 的方程组可以是（      ）A．x−y=22x−y=5B．x+y=−22x+y=5C．x−y=22x−y=1D．x+y=−22x−y=5【变式2】已知x=1y=2是二元一次方程mx−3y=1的一个解，则m的值为 ．【变式3】下面三组数据：①x=1y=−5  ②x=2y=−3  ③x=−2y=−1满足方程2x−y=7的是 ，满足方程x+2y=−4的是 ，同时满足这两个方程的是 ．故二元一次方程组2x−y=7x+2y=−4的解是 ．（填序号）考点3：二元一次方程（组）解的应用典例3：两位同学在解方程组时，甲同学由ax+by=2cx−7y=8正确地解出x=3y=−2，乙同学因把c写错了解得x=−2y=2，那么a、b、c的正确的值应为（    ）A．a=4，b=5，c=−1B．a=4，b=5，c=−2C．a=−4，b=−5，c=0D．a=−4，b=−5，c=−2【变式1】为紧急安置109名地震灾民，需要同时搭建可容纳7人和5人的两种帐篷（帐篷都住满人），则搭建方案共有（    ）A．3种B．4 种C．5种D．6种【变式2】足球起源于我国古代“蹴鞠”，2024年6月，在乌兰察布市举行的内蒙古自治区第十六届中学生运动会高中组足球项目比赛中，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，根据比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队获胜的场数有 种可能．【变式3】小亮解方程组2x−y=●2x+y=15的解为x=3y=★，由于不小心，滴上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回●这个数，●＝ ．考点4：解方程组——代入消元典例4：解方程组：2x−5y=1①y=x−2②．【变式1】用代入消元法解下列二元一次方程组：(1)2x−y=15x−3y=8；(2)x3+1=y2x+1−y=6．【变式2】（1）观察发现：解方程组x+y=4①3x+y+y=14②将①整体代入②，得3×4+y=14，解得y=2．将y=2代入①，解得x=2．所以原方程组的解是x=2y=2．这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法解答．请直接写出方程组x−y−1=0①4x−y−y=5②的解为________；（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：2x−y+2=0①4x−2y+62+4y=9②．【变式3】解方程组：x=2y+2x+4y=14．考点5：解方程组——加减消元典例5：解方程组．(1)x+2y=03x+4y=6；(2)2x+y+3x−y=302x+y−3x−y=6．【变式1】解方程组：(1)2x−y=53x−2y=8；(2)3x−12y=12x+y=2．【变式2】解方程组：(1)2x−y=511x−3y=20(2)x3−y4=13x−4y=2【变式3】解方程组：(1)x+y=33x−y=−1；(2)2x−y=−44x−5y=−23．考点6：解方程组——特殊法典例6：阅读材料：小强同学在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即22x+5y+y=5…③，把方程①代入③得：2×3+y=5即y=−1，把y=−1代入方程①，得x=4，所以方程组的解为x=4y=−1．请你解决以下问题(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组3x+5y=166x+11y=35；(2)已知x，y满足方程组2x2−xy+3y2=246x2+4xy+9y2=51，求xy的值．【变式1】阅读探索（1）知识累计解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6解：设a−1=x，b+2=y，原方程组可变为&&x+2y=62x+y=6解方程组得：x=2y=2，即a−1=2b+2=2所以a=3b=0此种解方程组的方法叫换元法．（2）拓展提高运用上述方法解下列方程组：a3−1+2b5+2=42a3−1+b5+2=5（3）能力运用已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=5y=3，直接写出关于m、n的方程组5a1m+3+3b1n−2=c15a2m+3+3b2n−2=c2的解为m=n= ．【变式2】阅读感悟：有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x−y=5①，2x+3y=7②，求x−4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得x−4y=−2，由①+②×2可得7x+5y=19．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值．解决问题：(1)已知二元一次方程组2x+3y=173x+2y=13，请用“整体代入法”求x−y和x+y的值；(2)对于实数x，y，定义新运算：x∗y=ax−by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，求a−b+c的值．【变式3】阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组3(m+5)−2(n+3)=−13(m+5)+2(n+3)=7时，采用了一种“整体换元”的解法．把m+5，n+3看成一个整体，设m+5=x，n+3=y，则原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7，解得x=1y=2，即m+5=1n+3=2，解得m=−4n=−1．根据材料，回答下列问题(1)已知关于x,y的方程组a1x−b1y=c1a2x−b2y=c2的解为x=3y=4，请直接写出关于m、n的方程组a1(m+2)−b1n=c1a2(m+2)−b2n=c2的解是_______．(2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组x+y3+x−y5=4x+y3−x−y5=−2．考点7：构造二元一次方程组典例7：在等式y=kx+b中，当x=3时，y=3；当x=−1时，y=1．(1)求k、b的值；(2)求当x=−2时y的值．【变式1】若一个四位正整数abcd满足：a+c=b+d，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，因为3+7=6+4，所以3674是“交替数”，对于四位数2353，因为2+5≠3+3，所以2353不是“交替数”．(1)判断3986是否是“交替数”，并说明理由；(2)最小的“交替数”是______，最大的“交替数”是______．(3)若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是21，且十位数字与个位数的和能被5整除．请求出所有满足条件的“交替数”．【变式2】在平面直角坐标系xOy中，点Ax1,y1,Bx2,y2，若x2−x1=y2−y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A−2,4，点B1,7，因为1−−2=7−4≠0，所以点A与点B互为“对角点”．(1)若点A的坐标是3,−1，则在点B12,0，B2−1,−5，B30,−4中，点A的“对角点”为点______；(2)若点A的坐标是4,−2的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；(3)若点A的坐标是−3,6与点B2m,−n互为“对角点”，且m，n互为相反数，求B点的坐标．【变式3】对有理数x、y定义一种新运算“※”，规定：※x，y=ax+2by−1，这里等式右边是通常的四则运算，例如：※0，1=a∗0+2∗b∗1−1=2b−1，已知：※1，−1=−4，※4，2=11(1)求a、b的值；(2)求※m2，m+5的最小值．考点8：解方程组——错解复原问题典例8：甲、乙两名同学在解方程组mx+y=52x−ny=13时，甲解题时看错了m，解得；x=72y=−2，乙解题时看错了n，解得x=3y=−7．请你根据以上两种结果：(1)求m，n的值；(2)求出原方程组的正确解．【变式1】甲乙两位同学在解同一个关于x，y的二元一次方程组2x+ay=5①bx−y=1②时，甲看错了②中的b解得x=2y=1，乙看错了①中的a解得x=1y=2．请回答：(1)求a，b的值；(2)求该二元一次方程组正确的解．【变式2】甲，乙两名同学解方程组ax+y=4①4x−by=−2②．甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−1y=2；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=3y=−2．(1)求a，b的值；(2)求12a2024−2b2023的值．【变式3】在解方程组ax+3y=−2①2x−by=7②时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=1y=−1，乙看错了方程组中的b，而得解为x=5y=1，根据上面的信息解答∶(1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？(2)求出正确的a，b的值；(3)求出原方程组的正确解．考点9：解方程组——同解问题典例9：已知关于x，y的方程组2x+y=−1ax+by=13和3x−y=6bx−ay=9有相同的解．(1)求这个相同的解；(2)求12a+b2023的值．【变式1】已知关于x，y的方程组4x−y=5ax+by=−1和3x+y=93x+4by=18有相同的解．(1)求出它们的相同解；(2)求2a+3b2023的值．【变式2】已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x−y=3nx+m−1y=3有相同的解．(1)求这个相同的解；(2)已知实数a+16的两个平方根是±m,3b−a的立方根是n，求12b−a的算术平方根．【变式3】（1）已知关于x，y的方程组x+2y=10ax+by=1与2x−y=5bx+ay=6有相同的解，求方程组的解及a，b的值．（2）已知▲x+●y=1■x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组x+2y=1x+3y=0的解相同；因为看错了第二个方程中的x的系数■，求出的解是x=−2y=1，请你根据以上信息，把方程组复原出来．考点10：解方程组——由解求字母典例11：对于未知数x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x−y|=1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．(1)方程组x+2y=7x−y=1，的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；(2)若方程组2x−y=64x+y=6m的解x与y具有“邻好关系”，求m的值；(3)未知数为x，y的方程组x+ay=72y−x=5，其中a与x，y都是正整数，则该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值；如果不具有，请说明理由．已知关于x、y的方程组 x+2y=5，m−2y+mx+9=0．(1)请写出方程 x+2y=5的一组正整数解；(2)不管m取任何值，方程：m−2y+mx+9=0总有一个固定解，请求出这个解；(3)若方程组的解满足．x+y=0，直接写出m的值．阅读以下内容：已知x，y满足x+2y=5， 且满足3x+7y=5m−32x+3y=8，求m的值．三位同学分别提出了自己的解题思路：甲同学：先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8，再求m的值；乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值；丙同学：先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m的值．(1)以上三位同学的解题思路中，正确的有_______个，你最欣赏_______（填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路；(2)根据你所选的思路解答此题．【变式1】【变式2】【变式3】已知关于x，y的方程组x+2y=5x−2y+mx+9=0．(1)请直接写出方程x+2y=5的所有正整数解；(2)若方程组的解满足x+y=0，求m的值；(3)如果方程组有整数解，求整数m的值．